精品解析：江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期2月考试数学试卷

南京一中2023-2024学年度第二学期2月考试试卷 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意. 1. 若直线与直线垂直，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知过圆外一点作圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（ ） A. 121 B. 122 C. 123 D. 124 6. 记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式： （其中） 现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分. 9. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 圆心到直线的距离为1 B. 圆心到直线的距离为2 C. D. 10. 已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的最小值为 C. 若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为 D. 设的左焦点为，若的面积为，则 11. 已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ） A. 和均为数列中的项 B. 数列为等差数列 C. 仅有有限个整数使得成立 D. 记数列的前项和为，则恒成立 12. 已知函数，，则下列结论中正确的有（ ） A. 必有唯一极值点 B. 若，则在上有极小值 C. 若，对有恒成立，则 D. 若存在，使得成立，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线l与曲线和都相切，则l的方程为______. 14. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________． 15. 如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________． 16. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数． （1）求的单调区间及极值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 18. 已知数列，满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）若等差数列的公差为成等比数列，求数列的前项和. 19. 已知椭圆的焦距为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求实数的值. 20. 过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 21. 已知数列的前项和为，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 22. 已知函数. （1）求的极大值； （2）设、是两个不相等的正数，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2023-2024学年度第二学期2月考试试卷 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意. 1. 若直线与直线垂直，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】直线与直线垂直， 则，解得． 故选：． 2. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由得出数列的公差，得到，利用等比中项公式和等比数列的性质，求得，代入即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以公差，所以， 因为成等比数列，所以， 设该等比数列的公比为，可得，所以， 所以. 故选：C. 3. 已知过圆外一点作圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线的特征可知所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程， 【详解】根据题意得所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程， 因为，所以圆， 两圆相减得所在的直线方程为. 故选：A. 4. 已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出曲线的方程，再根据抛物线的性质计算可得； 【详解】解：依题意曲线上任意一点到定点的距离和点到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知：曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为．分别设点M、N、Q到准线的距离分别为，，d， 则，所以中点Q到y轴的距离为3， 故选：A． 5. 如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（ ） A. 121 B. 122 C. 123 D. 124 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知，利用构造法以及等比数列求数列的通项，再根据选项进行计算求解. 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 对于A，当时，，解得，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C错误； 对于D，当时，，此时，故D错误. 故选：A. 6. 记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较. 【详解】令，则， 当时恒有，所以， 则在上单调递增， 所以，则，即，选项A错误； ，则，即，选项B正确； ，则，又为奇函数，所以，选项C错误； 由得，选项D错误； 故选：B 7. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用离心率定义，斜率公式，三角形面积表示，代入条件即可. 【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为， 设，则①， 因为，所以， 所以②， 又因为的面积为，所以，即， 所以③，由②③得④， 将④③代入①得，，所以. 故选：D. 8. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式： （其中） 现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到，求解即可. 【详解】因为（其中），且， 所以对两边分别求导可得： . 令x=1可得：. 又，则. 故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分. 9. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 圆心到直线的距离为1 B. 圆心到直线的距离为2 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算可知A错误，B正确；利用几何法求出弦长可知C错误，D正确． 【详解】因为圆心到直线的距离，所以A错误，B正确． 因为，所以C错误，D正确． 故选：BD 10. 已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的最小值为 C. 若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为 D. 设的左焦点为，若的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意列关于的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，的最小值，结合动点满足的方程，列式计算，在焦点三角形中，由双曲线的定义，余弦定理以及三角形面积公式列式即可计算出. 【详解】由已知可得，，所以， 则的方程为，离心率为，A正确； 因为的最小值为，所以B错误； 设，则，， ，所以C正确； 设，由 可得，得， 则，所以D正确． 故选：ACD 11. 已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ） A. 和均为数列中的项 B. 数列为等差数列 C. 仅有有限个整数使得成立 D. 记数列的前项和为，则恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】分别令、，解出的值，可判断A选项；利用等差数列的定义可判断B选项；解不等式可判断C选项；利用等比数列的求和公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，分析可知当为奇数时，为奇数， 当为偶数时，为偶数， 令可得，不合乎题意， 令可得，合乎题意， 所以，不是数列中的项，是数列中的项，A错； 对于B选项，因为， 所以，数列是公差为的等差数列，B对； 对于C选项，若为偶数，由可得，矛盾， 若为奇数，由可得，即，解得， 所有满足条件的奇数都合乎题意， 所以，有无限个整数使得成立，C错； 对于D选项，为偶数，则，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，D对. 故选：BD. 12. 已知函数，，则下列结论中正确的有（ ） A. 必有唯一极值点 B. 若，则在上有极小值 C. 若，对有恒成立，则 D. 若存在，使得成立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取，利用导数分析函数的单调性，可判断A选项；当时，利用导数求出函数在上的极小值，可判断B选项；利用参变量分离法可判断CD选项的正误. 【详解】对于A选项，当时，对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，则函数无极值点，A错； 对于B选项，当时，，则， 令可得，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，当时，在上有极小值，B对； 对于C选项，当时，有恒成立，即恒成立. 当时，则有，此时，， 当时，由可得，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，故. 综上所述，，C对； 对于D选项，若存在，使得，可得， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增，所以，， 所以，，解得，D错. 故选：BC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线l与曲线和都相切，则l的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】曲线转化为，或，利用导数几何意义表达出切线斜率，写出切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径，得出方程. 【详解】由题意，，则，或， 设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 则直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则当直线l与曲线和都相切，方程为； 同理可求当直线l与曲线和都相切，方程为 故答案为：或. 【点睛】本题考查求出曲线切线方程，解题的关键是利用导数表示出斜率，进而得出切线的表达式. 14. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，若求的最大值，转化为求的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 若求的最大值，转化为求的最大值， 设关于直线的对称点为B，设B坐标为， 则 ，解得，故B， 因为，可得， 当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 15. 如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C的长轴长2a而得解. 【详解】连接，则，因为，如图： 所以，所以 在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R，即， 过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图： 椭圆的长轴长是，过A向做垂线，垂足是B，则， 由题意得：，又， 则，，即， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 16. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【详解】∵成等比数列，a1=1， ∴=， ∴（1+2d）2=1+12d，d≠0， 解得d=2． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． Sn=n+×2=n2． ∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4， 当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数． （1）求的单调区间及极值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是，极大值，极小值； （2）最大值为，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答. （2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值作答. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为1. 18. 已知数列，满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）若等差数列的公差为成等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1）由，得， 所以，两式相减得， 即，所以数列是等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）先对递推式变形得，作差即可得，再利用等差中项证明数列是等差数列； （2）利用等比中项及等差数列基本量的运算求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由等差数列的公差为2，得， 因为成等比数列，所以，即，解得， 所以， 所以， 所以. 19. 已知椭圆的焦距为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解； （2）联立方程组，根据，求得，且，得到，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的焦距为，离心率为， 可得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：联立方程组，整理得， 由，解得. 设，则， 所以， 因为， 所以， 解得，即实数的值为. 20. 过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）直线MN恒过定点． 【解析】 【分析】（1）利用导数求解切线方程，即可得切点坐标，由面积公式即可求解， （2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得M，N的坐标，即可由点斜式求解直线的方程，化简即可求解. 【小问1详解】 由题，， 设切点，则切线方程为，, 的坐标代入，得，解得，由于，所以， 由的面积，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立方程组消去并整理得，， 则， 设，，则，， 所以， 因为为CD中点，所以， 同理可得， 所以，直线MN的方程为， 整理得，所以，直线MN恒过定点． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 21. 已知数列的前项和为，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【小问1详解】 ∵ ∴当时，， 当时，由， 得，即， 数列是公差为2的等差数列， 由条件得，即数列是公比为2的等比数列， ； 【小问2详解】 ∵， 则， ， ， ， 恒成立， 则恒成立， 令，则， ， ， ， 故实数的取值范围是﹒ 22. 已知函数. （1）求的极大值； （2）设、是两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1） （2） 证明：因为，则，即， 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为、是两个不相等的正数，，且满足，不妨设， 构造函数，则， 令，则. 当时，，则，此时函数单调递减， 当时，，则，此时函数单调递减， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递减， 当时，，即，故函数在上为增函数， 故，所以，， 且，函数在上为减函数，故，则. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的极大值； （2）由已知条件可得出，设，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，可推导出，再利用函数在上的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 解：因为的定义域为，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数的极大值为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $