精品解析：四川省大数据学考大联盟2023-2024学年高一下学期期中期质量检测数学试卷

四川省大数据学考大联盟高一下期半期质量检测 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 已知点在角的终边上，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知复数满足，的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等边的边长为3，点，为边的两个三等分点，点靠近点，点在线段上运动，设的最大值为，最小值为，则（ ） A. 8 B. 10 C. 19 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 10. 如图，在中，，，，点为的中点，，，与交于点，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 若，则 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________. 13. 函数的部分图象如图所示，则__________. 14. 已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量和非零向量，，，. （1）求及； （2）求与的夹角. 16. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期； （2）将的图象向左平移个单位得到的函数，求的单调递减区间. 17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的周长. 18. 如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形的四个顶点均在边界上，扇形的半径，，，，分别交于，. （1）当时，求边的长； （2）当矩形的面积取最大值时，求的值. 19. 在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量. （1）设为函数的有序相伴向量，求实数的值； （2）若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）将（1）中所得函数的图象向左平移得到函数.已知，，请问在函数图象上是否存在一点，使得成立.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省大数据学考大联盟高一下期半期质量检测 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其模. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 2. 已知点在角的终边上，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为点在角的终边上， 所以，所以. 故选：D 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助余弦定理与面积公式计算即可得. 【详解】，即， 即，解得或（负值舍去）， 则. 故选：C. 4. 已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及共线定理判断即可. 【详解】对于A：因为，，， 则， 因为，所以，则，，三点共线，故A正确； 对于B：因为，，又，为平面内两个不共线向量， 所以不存在实数，使得， 所以与不共线，故，，三点不共线，故B错误； 对于C：因为，，， 所以， 又，为平面内两个不共线向量，所以不存在实数，使得， 所以与不共线，故，，三点不共线，故C错误； 对于D：因为，， 又，为平面内两个不共线向量，所以不存在实数，使得， 所以与不共线，故，，三点不共线，故D错误； 故选：A 5. 已知复数满足，的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，进而得到，计算出答案. 【详解】， 故， 则. 故选：B 6. 在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，由正四面体的表面积求出，从而求出正方体的表面积. 【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 所以， 所以. 故选：B 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三角函数的变换规则得到，根据奇偶性求出的取值，即可得解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位得到： ， 又函数是奇函数， 所以，解得， 又，所以当时取得最大值，最大值为. 故选：D 8. 已知等边的边长为3，点，为边的两个三等分点，点靠近点，点在线段上运动，设的最大值为，最小值为，则（ ） A. 8 B. 10 C. 19 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的模长公式先表示出，然后结合二次函数的性质即可求解． 【详解】设，，则，， 设， 又点，为边的两个三等分点，点靠近点， 所以，， 所以，， ①， 因为，令， 所以，即， ①式可化为，， 根据二次函数的性质可知，时①取得最小值，当时①取得最大值， 当时， 取得最大值，当时，取得最小值， 即，， 所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助向量模长公式计算即可得；对B：借助向量数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，，故A错误； 对B：，故，故B正确； 对C：，故与的夹角为，故C正确； 对D：，故在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在中，，，，点为的中点，，，与交于点，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算计算可判断A；由平面向量基本定理和平面向量的线性运算计算可判断B；将用表示出来，再由平面向量的数量积运算计算即可判断C；将用表示出来，再由平面向量的数量积运算加可判断D． 【详解】因为点为的中点，所以， 对于A，当时，即， 所以，故A正确； 对于B，当时，因为，，三点共线，且，， 所以， 所以， 又、不共线， 所以，消元整理得，即，故B正确； 对于C，当时，，， 所以， 因为，，，所以， 所以，故C错误； 对于D，， 设，则， ， 解得，所以，解得，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用半角公式，辅助角公式得到，结合，得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】， 即，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 故或，解得或， 经检验，均满足要求. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】． 【解析】 【分析】利用向量平行的条件结合向量模的公式即可求解 【详解】因为向量， 若，则，解得， 即，所以． 故答案为：． 13. 函数的部分图象如图所示，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合图象计算可得、，即可得解. 【详解】由图可得，， 即，， 又，故，则，， 则. 故答案为：. 14. 已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意设，，，即可表示出，再由复数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量和非零向量，，，. （1）求及； （2）求与的夹角. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将两边平方，结合数量积的运算律求出，再由数量积的定义计算可得； （2）首先求出，，再由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，，所以， 即，即，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为， ， 所以， 因为，所以， 所以与的夹角为． 16. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期； （2）将的图象向左平移个单位得到的函数，求的单调递减区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据三角函数的变换规则得到，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 函数的图象向左平移个单位得到， 令， 解得， 故函数的单调递减区间为． 17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）由余弦定理可得的值，进而求出三角形的周长． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 整理得， 即， 在三角形中， 所以，又，所以， 所以，又，所以； 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理可得， 所以， 所以（负值已舍去）， 所以的周长． 18. 如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形的四个顶点均在边界上，扇形的半径，，，，分别交于，. （1）当时，求边的长； （2）当矩形的面积取最大值时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，则，即可得到，求出，在中利用锐角三角函数求出，即可得解； （2）结合（1）可得，再在中利用正弦定理得到，从而得到，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出取最大值时的值，即可求出、，从而得解. 【小问1详解】 取的中点，连接，则， 又为矩形，所以，所以， 所以，则， 所以， 又， 在中， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 所以， 所以， 在中，所以， 所以， 由正弦定理，即， 所以， 所以 ， 所以当，即时矩形的面积取得最大值， 此时，在中， 则 ， 所以， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量. （1）设为函数的有序相伴向量，求实数的值； （2）若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）将（1）中所得函数的图象向左平移得到函数.已知，，请问在函数图象上是否存在一点，使得成立.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由有序相伴向量的定义和三角恒等变换计算即可； （2）首先得到解析式，即可得到函数图象，数学结合即可求出参数的取值范围； （3）根据三角函数的变换规则得到解析式，设，由平面向量垂直的坐标表示和三角函数的有界性即可求得． 【小问1详解】 依题意可得， 所以 ， 所以，又，所以； 【小问2详解】 由题意得，则， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 作出函数，的图象，如下图所示， 又，， 由图象可知，时，函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； 【小问3详解】 由（1）可知， 将函数的图象向左平移得到， 设，因为，， 所以，， 又因为，则，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于，这时式成立， 所以在图象上存在点，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $