精品解析：广东省三校（建文外国语学校、广东碧桂园学校、广州亚加达外国语高级中学）2025届高三上学期8月摸底考试数学试题

广东省三校2025届8月新高三年级摸底考试 数学试题卷 学校：建文外国语学校、广东碧桂园学校、广州亚加达外国语高级中学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（ ） A. 31 B. 53 C. 61 D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】分社团甲有3人和4人讨论即可. 【详解】以社团甲中的人数为分类标准，则可分为两类：第一类是社团甲有3人，第二类是社团甲有4人. 当社团甲有3人时，可以分为2男1女和3男0女两种情况， 所以此时不同的参加方法有（种）； 当社团甲有4人时，可以分为2男2女、3男1女和4男0女三种情况， 所以此时不同的参加方法有（种）. 由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的参加方法种数是. 故选：B. 2. 下列图象中有一个是函数的导数的图象，则（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象． 【详解】， 导函数的图象开口向上． 又， 不是偶函数，其图象不关于y轴对称，其图象必为第三张图， 由图象特征知， 且对称轴， ． 故． 故选：B． 【点睛】本题考查导数的运算法则，考查二次函数的图象与性质，二次函数图象开口方向与二次项系数的符号有关． 3. 数列…的一个通项公式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知a1=1，可排除A、B、D，故选C. 4. 某校高三年级有班号为的个班，从这个班中任抽个班级参加一项活动，则抽出班级的班号的中位数是的概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出抽出班级的班号的中位数是包含的基本事件个数，由此能求出抽出班级的班号的中位数是的概率． 【详解】某校高三年级有班号为的个班， 从这个班中任抽个班级参加一项活动， 基本事件总数， 抽出班级的班号的中位数是包含的基本事件个数 抽出班级的班号的中位数是的概率． 故选：C． 5. 在等差数列中， ， ， （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列性质可知，，仍为等差数列，代入即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 在等差数列中，，仍为等差数列， 所以， 所以． 故选：C． 6. 在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于分为优秀，分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下列联表： 优秀 非优秀 合计 甲班人数 乙班人数 合计 附：，其中． 根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据可得，对比临界值表可得结论. 【详解】由表中的数据可得：， 可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为． 故选：D． 7. 某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，， 三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】先把名大学生按照分成三组，再将三个组分到 个班，计算可得答案． 【详解】将名大学生分配到高一年级的 个班实习，每班至少名，最多名， 则将名大学生分成三组，一组人，另两组都是人，有种方法， 再将 组分到 个班，共有种不同的分配方案， 故选：B． 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出对于任意的 恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解. 【详解】显然首先， ， 令，则，所以在定义域内严格单调递增， 所以若有成立，则必有， 即对于任意的 恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 从而，所以的取值范围是，即实数的最大值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大. B. 若随机变量，则 C. 若，则 D. 已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为 ，则新的回归方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由独立性检验判断选项A，由正态分布的对称性，判断选项B，由二项分布的方差公式，判断选项C，由回归直线方程的求法，判断选项D． 【详解】选项A，对于独立性检验的值越大，说明这两事件具有相关性的把握越大，错误； 选项B，，，正确； 选项C，，则，，正确； 选项D，把代入回归直线方程，得， 剔除两个样本点和后，新的平均数， 又新的回归直线的斜率为 ，即，则，解得， 则新的回归方程为，正确； 故选：BCD 10. 居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月数据同比和环比涨跌幅折线图： （注：同比，同比涨跌幅，环比，环比涨跌幅），则下列说法正确的是 A. 2019年12月与2018年12月相等 B. 2020年3月比2019年3月上涨4.3% C. 2019年7月至2019年11月持续增长 D. 2020年1月至2020年3月持续下降 【答案】BC 【解析】 【分析】 由题意逐一考查所给选项说法的正确性. 【详解】由图可知， 2019年12月比2018年12月上涨，故A不正确； 2020年3月比2019年3月上涨，故B正确； 2019年7月至2019年11月的环比均为正数，所以持续增长，故C正确； 2020年1月至2020年3月的环比有正有负，所以有升有降，故D不正确. 故选：BC 【点睛】本题考查统计中的折线图问题，考查学生数据分析、处理能力，是一道容易题. 11. 将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ） 第0行 第1行 第2行 第3行 …… …… 第n行 …… A. 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B. 第8行第2个数是 C. （，） D. （，） 【答案】BC 【解析】 【分析】A. 由莱布尼茨三角形判断； B. 由莱布尼茨三角形判断； C. 由组合数性质判断； D. 由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和判断. 【详解】A. 由莱布尼茨三角形知：当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，故错误； B. 由莱布尼茨三角形知：第8行第2个数是，故正确； C. 由组合数性质知：，所以（，），故正确； D. 由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和知：（，），故错误； 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求得参数，再由二项式定理结合条件求. 【详解】令，得， ∴，, ∴， 故答案为：－5. 【点睛】方法点睛：在二项式定理中求展开式中的系数和通常用赋值法，例如，，，，等等，可根据表达式的形式确定所赋值. 13. 已知，则落在区间中的概率为 ______ 参考数据：，， 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算即可． 【详解】因为，，， 所以， 即落在区间中的概率为． 故答案为：． 14. 若曲线不存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求得的导数，由题意可得无实数解，即有，设，求得导数和单调区间，求得极小值，结合图象即可得到的范围． 【详解】的导数为， 由不存在垂直于轴的切线，可得无实数解， 显然 ，故无实根， 设，可得， 当时， ，在单调递增； 当或时，，在，单调递减． 即有在处取得极小值，且为， 由于直线 与图象无交点， 可得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若函数，的图象与直线,,所围成的封闭图形的面积为． （1）求的值； （2）求函数单调区间及最值； （3）求函数在区间上的零点个数． 【答案】（1）； （2）递增区间是，，递减区间是，最小值，最大值； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用定积分列式求出值. （2）由（1）求出及导数，利用导数法分析函数的单调性，进而可得函数单调区间及最值. （3）作出函数的简图，数形结合可得函数在区间上的零点个数. 【小问1详解】 依题意，当 时， ，解得， 当时， ，此时，不符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，求导得， 当时，，当，即时，， 当，即时，，当，即时，， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值，而， 所以函数的递增区间是，，递减区间是，最小值，最大值. 【小问3详解】 由 ，得，函数 在上的零点个数即直线与函数的图象的交点个数， 结合（2）在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有1个交点； 当或时，直线与函数的图象有2个交点； 当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以当或时，函数 有1个零点； 当或时，函数 有2个零点； 当时，函数 有3个零点. 16. 设函数，为的导函数． （1）当时，求展开式二项式系数最大的项； （2）对任意的实数，证明：； （3）是否存在，使得对，且恒成立？若存在，求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和 （2）证明见解析 （3）存在使得对，且恒成立，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用二项式系数的性质可求得展开式中系数最大的项； (2) 利用基本不等式结合放缩法可证得原不等式成立； (3) 利用二项展开式、放缩法可证得，进而可得出满足条件的整数的值 【小问1详解】 当时，展开式二项式系数最大的项是第三项和第四项， 其分别为，，化简后分别为和； 【小问2详解】 由题意知， 所以， ， 因此，对任意的实数，都有； 【小问3详解】 对于任意的且 ， 有 又因， 所以，从而可得 即存在，使得，对，且恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题第三问考察利用数列不等式恒成立求满足条件的整数值，解题的关键在于利用二项式定理结合数列放缩法证得成立，再利用数列求和的思想进行求解. 17. 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中 ， 或 ． （1）记，求证： ； （2）记 为整数的二进制表达式中的0的个数，如 ， ． （ⅰ）求 ； （ⅱ）求（用数字作答）． 【答案】（1）证明：因为 ， ， ， ， ； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）借助二进制的定义计算可得 ， ，即可得证； （2）（ⅰ）借助二进制的定义可计算出，即可得表达式中的0的个数；（ⅱ）计算出从到 中， 、 、， 的个数，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）， ； （ⅱ）， ，故从到 中， 有、、、共个， 有个，由，即共有个， 有个，由，即共有个， ……， 有 个， . 【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到，，通过组合数的计算得到 、 、、 的个数，再结合组合数的性质计算得到结果. 18. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 （，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时， 的数学期望趋近于一个常数. 参考公式： 时，，. 【答案】（1） （2） （3） 由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时， 的数学期望趋近于一个常数. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案. （2）根据独立重复事件概率计算公式求得. （3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立. 【小问1详解】 设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，， ，，， 则， 故. 【小问2详解】 由题知，1，2， 由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵. 【小问3详解】 略 【点睛】本题中有很多新定义名词，如“逻辑门”、“信息熵”，“上旋粒子”，“下旋粒子”等等.解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 19. 已知函数， . （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：函数在区间内有且只有一个极值点； （3）证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，再求出，从而得到切线方程； （2）求导得，利用隐零点法即可证明； （3）令，则，得到，再令，同样求导得，则，则原不等式即证明. 【小问1详解】 的定义域为，且. 因为，所以曲线在点 处的切线方程为. 【小问2详解】 . 当时，因为和都是增函数， 所以是增函数. 又因为， 所以，使得. 当时， ：当时， . 于是， 在上单调递减，在上单调递增. 因此， 在区间内有且只有一个极小值点，无极大值点. 【小问3详解】 令，则. 当时，：当时，. 于是，在上单调递减，在上单调递增. 因此，. 令，则， 当且仅当时取等号. 于是，是增函数. 因此，当 时，. 综上，，即. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是构造两函数和得到，，再相加即可得到原题不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省三校2025届8月新高三年级摸底考试 数学试题卷 学校：建文外国语学校、广东碧桂园学校、广州亚加达外国语高级中学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（ ） A. 31 B. 53 C. 61 D. 65 2. 下列图象中有一个是函数的导数的图象，则（　　） A. B. C. D. 或 3. 数列…的一个通项公式是 A. B. C. D. 4. 某校高三年级有班号为的个班，从这个班中任抽个班级参加一项活动，则抽出班级的班号的中位数是的概率等于（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中， ， ， （ ） A. B. C. D. 6. 在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于分为优秀，分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下列联表： 优秀 非优秀 合计 甲班人数 乙班人数 合计 附：，其中． 根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（ ） A. B. C. D. 7. 某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大. B. 若随机变量，则 C. 若，则 D. 已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为，则新的回归方程为 10. 居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月数据同比和环比涨跌幅折线图： （注：同比，同比涨跌幅，环比，环比涨跌幅），则下列说法正确的是 A. 2019年12月与2018年12月相等 B. 2020年3月比2019年3月上涨4.3% C. 2019年7月至2019年11月持续增长 D. 2020年1月至2020年3月持续下降 11. 将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ） 第0行 第1行 第2行 第3行 …… …… 第n行 …… A. 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B. 第8行第2个数是 C. （，） D. （，） 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,若，则__________． 13. 已知，则落在区间中的概率为 ______ 参考数据：，， 14. 若曲线不存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若函数，的图象与直线,,所围成的封闭图形的面积为． （1）求的值； （2）求函数单调区间及最值； （3）求函数在区间上的零点个数． 16. 设函数，为的导函数． （1）当时，求展开式二项式系数最大的项； （2）对任意的实数，证明：； （3）是否存在，使得对，且恒成立？若存在，求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 17. 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中 ， 或 ． （1）记，求证： ； （2）记 为整数的二进制表达式中的0的个数，如 ， ． （ⅰ）求 ； （ⅱ）求（用数字作答）． 18. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 （，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时， 的数学期望趋近于一个常数. 参考公式： 时，，. 19. 已知函数， . （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：函数在区间内有且只有一个极值点； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $