2.3 直线与圆的位置关系 45分钟限时练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章直线与圆（45分钟限时练习） 2．3　直线与圆的位置关系 一、单选题 1．若圆C：(x－5)2＋(y＋1)2＝m(m>0)上有且只有一点到直线4x＋3y－2＝0的距离为1，则实数m的值为(　　) A．4 B．16 C．4或16 D．2或4 2．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 3．若直线y＝kx与圆(x＋2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为(　　) A．k＝－，b＝－4 B．k＝，b＝4 C．k＝，b＝－4 D．k＝4，b＝3 4．圆(x－2)2＋y2＝4与直线x－y－4＝0相交所得弦长为(　　) A．1 B. C．2 D．2 5．过圆O：x2＋y2＝5外一点P(3，2)作圆O的切线，切点分别为A，B，则|PA|＝(　　) A. B．2 C．2 D．3 6．圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为(　　) A. B．2 C．2 D．4 二、多选题 7．已知圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，则实数m的取值可以是(　　) A．0 B．1 C．3 D．5 8．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下命题正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．y轴被圆C截得的弦长为4 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为2x－y－5＝0 三、填空题 9．已知圆C被y轴正半轴所截得弦长为8，且圆与x轴相切于点(3，0)，则圆C的标准方程为____________． 10．已知圆C的圆心在y轴上，截直线l1：3x＋4y＋3＝0，所得弦长为8，且与直线l2：3x－4y＋37＝0相切，则圆C的方程________________________． 11．若直线l：x＋y－m＝0被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离是________，m＝________． 四、解答题 12．已知圆C的圆心在直线y＝2x上，且与x轴的正半轴相切，圆C截y轴所得弦长为2. (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(－3，4)作圆C的切线，求切线的方程． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章直线与圆（参考答案） 2．3　直线与圆的位置关系 一、单选题 1．若圆C：(x－5)2＋(y＋1)2＝m(m>0)上有且只有一点到直线4x＋3y－2＝0的距离为1，则实数m的值为(　　) A．4 B．16 C．4或16 D．2或4 解析：由题意知直线与圆相离，且有＝＋1，解得m＝4，故选A. 答案：A 2．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 解析：直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由定点(0，1)在圆x2＋y2＝2内，知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交，又直线y＝kx＋1不过圆心(0，0)，所以位置关系是相交但直线不过圆心．故选C. 答案：C 3．若直线y＝kx与圆(x＋2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为(　　) A．k＝－，b＝－4 B．k＝，b＝4 C．k＝，b＝－4 D．k＝4，b＝3 解析：∵直线y＝kx与圆(x＋2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，∴直线2x＋y＋b＝0经过圆心(－2，0)且直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直， ∴ 解得： 故选B. 答案：B 4．圆(x－2)2＋y2＝4与直线x－y－4＝0相交所得弦长为(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：圆(x－2)2＋y2＝4的圆心坐标为(2，0)，半径为2，圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝，故弦长为：2＝2.故选D. 答案：D 5．过圆O：x2＋y2＝5外一点P(3，2)作圆O的切线，切点分别为A，B，则|PA|＝(　　) A. B．2 C．2 D．3 解析：∵PA⊥OA，∴|PA|＝＝＝2.故选C. 答案：C 6．圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：x2＋y2－2x－2y－2＝0可转化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心C(1，1)，半径2.因为kOC＝＝1，所以最短弦长的斜率为－1.故最短弦的直线方程为x＋y＝0.圆心C(1，1)到直线x＋y＝0的距离d＝＝，则最短弦长为2＝2.故选C. 答案：C 二、多选题 7．已知圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，则实数m的取值可以是(　　) A．0 B．1 C．3 D．5 解析：圆化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，则圆心为(1，－2)，半径r＝，其中m<5，∵圆上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，∴圆上的点到直线的最近距离大于等于1，其中圆心到直线的距离为＝3，∴3－≥1，解得m≥1，∴1≤m<5，则m的取值可以是1或3.故选BC. 答案：BC 8．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下命题正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．y轴被圆C截得的弦长为4 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为2x－y－5＝0 解析：直线l方程整理得m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由 解得 ∴直线l过定点P(3，1)，A正确；在圆方程中令x＝0，得1＋(y－2)2＝25，y＝2±2，∴y轴上的弦长为4，B正确；(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴P(3，1)在圆内，直线与圆一定相交，C正确；直线l被圆C截得弦最长时，直线过圆心(1，2)，则(2m＋1)＋2(m＋1)－7m－4＝0，m＝－，直线方程为x＋y－＝0，即x＋2y－5＝0.D错误．故选ABC. 答案：ABC 三、填空题 9．已知圆C被y轴正半轴所截得弦长为8，且圆与x轴相切于点(3，0)，则圆C的标准方程为____________． 解析：由于圆C切x轴于点(3，0)，设圆心C的坐标为(3，r)，其中r>0，且圆C的半径为r，由于圆心C到y轴的距离、圆C在y轴正半轴所截得弦长的一半、圆C的半径三者满足勾股定理，可得r＝＝5，因此，圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝25. 答案：(x－3)2＋(y－5)2＝25 10．已知圆C的圆心在y轴上，截直线l1：3x＋4y＋3＝0，所得弦长为8，且与直线l2：3x－4y＋37＝0相切，则圆C的方程________________________． 解析：设圆C的圆心为C(0，b)，半径为r(r>0)， 圆心C到直线l1的距离为d1＝＝， 圆心C到直线l2的距离为d2＝＝， 则 即 解得 则圆C的方程为x2＋(y－3)2＝25. 答案：x2＋(y－3)2＝25 11．若直线l：x＋y－m＝0被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离是________，m＝________． 解析：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝4， 则圆心C(1，0)，半径r＝2， 设圆心C到直线l的距离为d，则 d2＋()2＝r2，d＝1(负值舍去)． ∴＝1，|m－1|＝2，m＝－1或m＝3. 答案：1　－1或3 四、解答题 12．已知圆C的圆心在直线y＝2x上，且与x轴的正半轴相切，圆C截y轴所得弦长为2. (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(－3，4)作圆C的切线，求切线的方程． 解：(1)设圆心C(m，2m)，圆C：(x－m)2＋(y－2m)2＝4m2，m>0 设圆C截y轴所得弦AB的中点为M， 则|AM|2＝4m2－m2＝3m2＝3， ∴m＝1，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (2)设切线方程为y＝k(x＋3)＋4，则圆心到切线的距离为，则有＝2，解得k＝－或k＝0， 故切线方程为y＝－x或y＝4. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$