2025届高三上学期一轮复习数学模拟题特训（江苏地区适用）

2025届高三数学上学期一轮模拟题特训 一．选择题（共8小题） 1．（2024•连云港模拟）已知复数z满足，则z2024＝（　　） A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2024•连云港模拟）已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B），则下列关系一定正确的是（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁UB）＝∅ D．（∁UA）∩B＝∅ 3．（2024•海陵区校级模拟）若，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•扬州模拟）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为x1，x2，x3，则x1⩽x2⩽x3的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•玄武区三模）下列结论中正确是（　　） A．若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个 B．若平面α∥平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与m平行 C．若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行 D．若直线l⊥平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个 6．（2024•南通模拟）国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m，4m，侧棱长为3m的正四棱台，则该台基的体积约为（　　） A． B． C．28m3 D． 7．（2024•扬州模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x+2）﹣1为奇函数，若f（1）＝0，则＝（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 8．（2024•武进区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且，，则C的离心率为（　　） A． B． C．3 D．2 二．多选题（共3小题） 9．（2024•扬州模拟）已知正实数m，n满足lnm＝n•em+lnn（e是自然对数的底数，e≈2.718），则（　　） A．m＝n•em B．n＝m•en C．的最大值为 D．方程无实数解 10．（2024•江苏模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，且f（x）不是常函数，则下列说法中正确的有（　　） A．若2为f（x）的周期，则f（x）为奇函数 B．若f（x）为奇函数，则2为f（x）的周期 C．若4为f（x）的周期，则f（x）为偶函数 D．若f（x）为偶函数，则4为f（x）的周期 11．（2024•苏州校级模拟）如图，棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（　　） A．动点F轨迹的长度为 B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为 C．B1F与A1B不可能垂直 D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为 三．填空题（共3小题） 12．（2024•南通模拟）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有　 　种． 13．（2024•江苏模拟）设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝2，bsinA＝，c＝3，则b＝　 　． 14．（2024•泰州模拟）已知表示数 ，其中数列{an}单调递增，且an为正整数．当n＝k时，记所有满足条件的A的个数为bk，当n＝5，a5＝7时，b5＝　 　；当ak≤k+3（1≤k≤n）时，＝　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•南通模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，，a≠0． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若a＞0且f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值． 16．（2024•扬州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2b﹣c）cosA＝acosC． （1）求A； （2）若△ABC的面积为，BC边上的高为1，求△ABC的周长． 17．（2024•沈河区校级模拟）已知数列{an}满足a1＝1，an＞0，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn＝2+an﹣1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝（﹣1）n﹣1an，求{bn}的前100项的和． 18．（2024•泰州模拟）如图，在正四棱锥P﹣ABCD，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且． （1）求证：MN⊥AD； （2）求二面角M﹣BD﹣A的余弦值． 19．（2024•苏州校级模拟）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称△PAB为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点P是圆Q：x2+（y+5）2＝4上的动点，△PAB是抛物线Γ：x2＝2py（p＞0）的阿基米德三角形，F是抛物线Γ的焦点，且|PF|min＝6． （1）求抛物线Γ的方程； （2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； （3）设D是“囧边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线l交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：|AM|•|BN|＝|PM|•|PN|． 2025届高三数学上学期一轮模拟题特训 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•连云港模拟）已知复数z满足，则z2024＝（　　） A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i 【解答】解：， 则， 故z＝i，z2024＝i2024＝i4＝1． 故选：C． 2．（2024•连云港模拟）已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B），则下列关系一定正确的是（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁UB）＝∅ D．（∁UA）∩B＝∅ 【解答】解：因为集合A，B满足A⊆（A∩B），故可得A⊆B， 对A：当A为B的真子集时，不成立； 对B：当A为B的真子集时，也不成立； 对C：A∩（∁UB）＝∅，恒成立； 对D：当A为B的真子集时，不成立； 故选：C． 3．（2024•海陵区校级模拟）若，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，，， 所以||＝2，＝﹣2•+＝4﹣2•+1＝3，解得•＝1， 所以•（﹣）＝﹣•＝4﹣1＝3， 设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即与的夹角为． 故选：A． 4．（2024•扬州模拟）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为x1，x2，x3，则x1⩽x2⩽x3的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为x1，x2，x3， 基本事件总数n＝63＝216， x1⩽x2⩽x3包含的基本事件个数有： 当x1＝1时，有1+2+3+4+5+6＝21个， 当x1＝2时，有1+2+3+4+5＝15个， 当x1＝3时，有1+2+3+4＝10个， 当x1＝4时，有1+2+3＝6个， 当x1＝5时，有1+2＝3个， 当x1＝6时，有1个， 则x1⩽x2⩽x3的概率为P＝＝＝． 故选：D． 5．（2024•玄武区三模）下列结论中正确是（　　） A．若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个 B．若平面α∥平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与m平行 C．若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行 D．若直线l⊥平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个 【解答】解：若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有且仅有一个，故A错误； 若平面α∥平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过直线m与点M可确定平面γ，设γ∩β＝b， 则b为过点M的唯一一条与直线m平行的直线，故B正确； 若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行或m⊂α，故C错误； 若直线l⊥平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有无数个，故D错误． 故选：B． 6．（2024•南通模拟）国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m，4m，侧棱长为3m的正四棱台，则该台基的体积约为（　　） A． B． C．28m3 D． 【解答】解：如图， 在正四棱台ABCD﹣EFGH中，由已知可得AB＝4，EF＝2，BF＝3， 连接BD，FH，在平面DBFH中，过F作FK⊥BD，垂足为K， 则KF为正四棱台的高，设上下底面中心分别为O′，O， 可得OB＝2，，则FK＝． ∴该台基的体积约为m3． 故选：A． 7．（2024•扬州模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x+2）﹣1为奇函数，若f（1）＝0，则＝（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 【解答】解：根据题意，因为f（x+1）为偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，即有f（1+x）＝f（1﹣x），变形可得f（x）＝f（﹣x+2）①． 又由f（x+2）﹣1为奇函数，所以f（x+2）﹣1＝﹣f（﹣x+2）+1，变形可得f（x+2）+f（﹣x+2）＝2②． 由①，②得f（x）+f（x+2）＝2，f（x+2）+f（x+4）＝2， 故有f（x）＝f（x+4）， 由f（x）+f（x+2）＝2，得f（0）+f（2）＝2，又f（x）＝f（﹣x+2），可得f（0）＝f（2）＝1， f（1）+f（3）＝2，f（2）+f（4）＝2，由f（1）＝0，得f（3）＝2， 故f（1）+f（2）+⋯+f（26）＝6[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝6×4+0+1＝25． 故选：C． 8．（2024•武进区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且，，则C的离心率为（　　） A． B． C．3 D．2 【解答】解：由已知可得：F1（﹣c，0），F2（c，0）， 设P（x，y）， 又， 则（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）＝2a2， 即x2+y2＝2a2+c2，① 又， 则x2+y2＝2b2，② 联立①②可得2a2+c2＝2b2， 又b2＝c2﹣a2， 即c2＝4a2， 即． 故选：D． 二．多选题（共3小题） 9．（2024•扬州模拟）已知正实数m，n满足lnm＝n•em+lnn（e是自然对数的底数，e≈2.718），则（　　） A．m＝n•em B．n＝m•en C．的最大值为 D．方程无实数解 【解答】解：∵lnm＝nem+lnn，∴＝，∴mem＝nem•， 构造函数f（x）＝xex，x∈（0，+∞）， f′（x）＝（x+1）ex＞0， ∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增， ∵f（m）＝f（nem）， ∴m＝nem，因此A正确； 若n＝men，则m＝memen，∴m+n＝0，与m，n∈（0，+∞）矛盾，因此B不正确； n﹣＝﹣＝， 令g（x）＝，g′（x）＝， 可得函数g（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， ∴g（x）max＝g（2）＝，因此C正确； 由以上可得：，g（x）＝﹣e无实数解，因此D正确． 故选：ACD． 10．（2024•江苏模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，且f（x）不是常函数，则下列说法中正确的有（　　） A．若2为f（x）的周期，则f（x）为奇函数 B．若f（x）为奇函数，则2为f（x）的周期 C．若4为f（x）的周期，则f（x）为偶函数 D．若f（x）为偶函数，则4为f（x）的周期 【解答】解：根据题意，函数f（x）定义域为R且满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，则有f（x+2）+f（﹣x）＝0①， 依次分析选项： 对于A，若2为f（x）的周期，则f（x+2）＝f（x）， 结合①式，则有f（x）+f（﹣x）＝0，必有f（x）为奇函数，A正确； 对于B，若f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x）， 又由f（x+2）+f（﹣x）＝0，则有f（x+2）＝f（x），2是f（x）的周期，B正确； 对于C，若2为f（x）的周期，则4也为f（x）的周期， 由A的结论，f（x）为奇函数，C错误； 对于D，若f（x）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x）， 又由f（x+2）+f（﹣x）＝0，有f（x+2）＝﹣f（﹣x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），4是f（x）的周期，D正确． 故选：ABD． 11．（2024•苏州校级模拟）如图，棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（　　） A．动点F轨迹的长度为 B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为 C．B1F与A1B不可能垂直 D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为 【解答】解：对A选项，如图，分别取C1D1，CC1的中点G，H， 则易知HG∥CD1∥BA1，B1H∥A1E，且HG∩B1H＝H， ∴可得平面B1GH∥平面A1BE， ∴当F为GH上的点时，B1F∥平面A1BE， ∴动点F轨迹为线段GH，又易知GH＝D1C＝，∴A选项正确； 对B选项，由A选项分析可知，当F与G点重合时，△EFD1的面积取得最小值为＝， ∴三棱锥B1﹣EFD1的体积的最小值为＝， 即三棱锥B1﹣D1EF的体积的最小值为，∴B选项正确； 对C选项，由A选项分析可知A1B∥GH，又易知B1G＝B1F＝， ∴当F为GH的中点时，B1F⊥GH，即B1F⊥A1B，∴C选项错误； 对D选项，根据A选项分析可知，当F为CC1的中点时，△D1DF的面积最大， 从而可得三棱锥B1﹣D1DF的体积最大，如图， 取B1D的中点H，连接HF，则易证HF∥AC，且HF＝AC＝， 又易证AC⊥平面BDD1B1，∴HF⊥平面BDD1B1， 又H到D，D1，B1三点的距离相等，直线HF上的点到D，D1，B1三点的距离也相等， 在FH的延长线上取点O，使得OF＝OD1，则O即为三棱锥B1﹣D1DF的外接球的球心， 设三棱锥B1﹣D1DF的外接球的半径为R，则R＝OF＝OD1，又易知D1H＝BD1＝， ∴在Rt△OD1H中，由勾股定理可得，解得R＝， ∴当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为4πR2＝，∴D选项正确． 故选：ABD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•南通模拟）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有　36　种． 【解答】解：根据题意，设5人为甲乙丙丁戊， ①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A22＝2种情况， ②，将这个整体与丁戊全排列，有A33＝6种安排方法， ③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有A31＝3种安排方法， 不同的安排方案共有2×6×3＝36种； 故答案为：36． 13．（2024•江苏模拟）设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝2，bsinA＝，c＝3，则b＝　　． 【解答】解：法一：因为a＝2，bsinA＝， 所以sinA＝， 由余弦定理得，cosA＝＝， 由题意知A为锐角，且＝1， 整理得，b4﹣26b2+133＝0， 所以b＝或b＝， 当b＝时，a＝2，c＝3，此时a2+c2＜b2，B为钝角，与已知矛盾， 故b＝． 法二：由正弦定理得，asinB＝bsinA＝， 又a＝2， 所以sinB＝， 由B为锐角得，B＝， 由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×＝7， 所以b＝． 故答案为：． 14．（2024•泰州模拟）已知表示数，其中数列{an}单调递增，且an为正整数．当n＝k时，记所有满足条件的A的个数为bk，当n＝5，a5＝7时，b5＝　15　；当ak≤k+3（1≤k≤n）时，＝　　． 【解答】解：第一空相当于在1，2，3，4，5，6中选出4个数由小到大作为a1至a4， 所以； 第二空：令ck＝ak﹣k，1≤k≤n，则依题意有：ck∈N，ck+1≥ck，ck≤3，1≤k≤n， 这等价于从（0，0）沿着网格线走到（k，3），而且每次只能向右或向上走，每一条路线对应一个A， 由此可知，所以． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•南通模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，，a≠0． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若a＞0且f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值． 【解答】解：（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞）， f'（x）＝﹣a＝（a≠0）， 当a＜0时，由于x＞0，所以f′（x）＞0恒成立，从而f（x）在（0，+∞）上递增； 当a＞0时，令f'（x）＞0，解得，令f'（x）＜0，解得， 从而f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）递减； （2）令，要使f（x）≤g（x）恒成立， 只需h（x）≤0恒成立，则h（x）max≤0即可， h'（x）＝﹣a﹣＝＝， 令h'（x）＝0，解得x＝或x＝﹣（舍）， ∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减， 所以hmax（x）＝h（）＝ln﹣3≤0， 解得：，所以a的最小值为． 16．（2024•扬州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2b﹣c）cosA＝acosC． （1）求A； （2）若△ABC的面积为，BC边上的高为1，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）因为（2b﹣c）cosA＝acosC， 由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC， 即2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB， 因为在△ABC中，sinB≠0， 所以． 又因为0＜A＜π，所以； （2）因为△ABC的面积为，BC边上的高为1， 所以＝，得． 即，所以bc＝4． 由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即12＝b2+c2﹣bc，化简得（b+c）2＝3bc+12， 所以（b+c）2＝24，即， 所以△ABC的周长为． 17．（2024•沈河区校级模拟）已知数列{an}满足a1＝1，an＞0，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn＝2+an﹣1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝（﹣1）n﹣1an，求{bn}的前100项的和． 【解答】解：（1）由，①得，② ②﹣①得：＝2（an+1﹣an）（an+1+an）+（an+1﹣an）， 所以2（an+1﹣an）（an+1+an）﹣（an+1+an）＝0，即（an+1+an）（2an+1﹣2an﹣1）＝0， 因为an＞0，所以2an+1﹣2an﹣1＝0，即， 又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，为公差的等差数列， 所以数列{an}的通项公式为； （2）因为bn＝（﹣1）n﹣1an， 所以， ，•••， ， 所以{bn}的前100项的和为b1+b2+b3+•••+b99+b100＝（a1﹣a2）+（a3﹣a4）+•••+（a99﹣a100）＝． 18．（2024•泰州模拟）如图，在正四棱锥P﹣ABCD，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且． （1）求证：MN⊥AD； （2）求二面角M﹣BD﹣A的余弦值． 【解答】（1）证明：在正四棱锥P﹣ABCD中，取BD，AB，BC中点分别为O，E，F， 以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． 则O（0，0，0），，B（1，1，0），C（﹣1，1，0），A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0）， 因为，所以，， 所以，， 因为，所以，即MN⊥AD． （2）解：设平面MBD的一个法向量为，且，， 所以，即，取z＝1，得， 又因为平面ABD的一个法向量为，所以， 所以二面角M﹣BD﹣A的余弦值为． 19．（2024•苏州校级模拟）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称△PAB为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点P是圆Q：x2+（y+5）2＝4上的动点，△PAB是抛物线Γ：x2＝2py（p＞0）的阿基米德三角形，F是抛物线Γ的焦点，且|PF|min＝6． （1）求抛物线Γ的方程； （2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； （3）设D是“囧边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线l交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：|AM|•|BN|＝|PM|•|PN|． 【解答】解：（1）由题意得，， 由， 所以Γ：x2＝12y． （2）设， 联立，Δ＝48（3k2+m）＞0， 设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝12k，x1x2＝﹣12m， 由，所以， 联立直线PA，PB可得， 代入PA方程中，得，即P（6k，﹣m）， 故△PAB的面积＝． 因为P（6k，﹣m）在圆Q上，所以且m∈[3，7]， 于是， 显然此式在m∈[3，7]上单调递增，故， 也即3k2+m∈[3，7]，因此， 由题干知“囧边形”面积＝，所以“囧边形”面积的取值范围为． （3）证明：由（2）知，， 设B（x3，y3），过B的切线，即， 过B点切线交得，同理， 因为， ． 所以，即|AM|•|BN|＝|PM|•|PN|． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$