陕西省西安市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-05图形的变化

陕西省西安市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-05图形的变化 一．选择题（共15小题） 1．（2024•雁塔区二模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•临潼区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024•雁塔区二模）2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会，下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•碑林区二模）如图，该三棱柱的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•碑林区二模）《清朝野史大观•清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三视图都相同 6．（2024•阎良区二模）如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为（　　） A． B．2 C． D． 7．（2024•雁塔区二模）中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩（lǐn）等主要构件建造而成．各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的左视图为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•西安二模）第18届亚足联亚洲杯足球赛将于2023年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 9．（2024•西安二模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024•阎良区二模）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接CD交AB于点E，若AC＝BC＝2，CE＝1，则CD的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 11．（2024•灞桥区二模）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的点，且，CD与BE交于点O，则S△COE：S△BOC的值为（　　） A． B． C． D． 12．（2024•高新区二模）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A． B． C． D． 13．（2024•新城区二模）垃圾分类，人人有责．垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 14．（2024•西安二模）如所示图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 15．（2024•雁塔区二模）如图，有一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，现将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合，得到折痕MN，则△ACM的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 二．填空题（共6小题） 16．（2024•临潼区二模）如图，在▱ABDC中，连接BC，BC＝4，∠ABC＝120°，E是边CD上一动点，连接BE，以BE为边向左侧作等边△BEF，连接FC，则FC的最小值是 　 　． 17．（2024•阎良区二模）如图①是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图②所示，此时液面AB的长为 　 　． 18．（2024•西安二模）已知5a＝2b，则a：b＝　 　． 19．（2024•高新区二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 　 　m． 20．（2024•碑林区二模）如图，东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为 　 　m．（精确到0.1m） 21．（2024•新城区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（0，3），将线段AB沿x轴向右平移得到A'B'，连接A′C，B′C，则A'C+B'C的最小值为 　 　． 三．解答题（共11小题） 22．（2024•雁塔区二模）某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处有一个平台BF，BF∥AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，在离B点6米远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF＝60°，已知CD⊥AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73） 23．（2024•临潼区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，AC与BD相交于点E．过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点F． 求证：（1）∠CAD＝∠BCF； （2）BC2＝AD•BF． 24．（2024•临潼区二模）小林想利用无人机测量某塔（图1）的高度．阳光明媚的一天，该塔AB倒映在平静的河水中，如图2所示，当无人机飞到点C处时，点C到水平面BD的高度CD＝9米，在点C处测得该塔顶端的仰角为37°．该塔顶端A在水中倒影A′的俯角为42°．已知CD⊥BD，AB⊥BD，A、B、A′三点共线，A′B＝AB，求该塔的高度AB．（光线的折射忽略不计．tan37°≈0.75，tan42°≈0.90） 25．（2024•西安二模）随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在A处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的C处驶来．已知AB＝2.5m，BO＝5m，DO＝2.5m，∠DCO＝10°，汽车从C处前行多少米才能发现A处的儿童．（结果保留到0.1m，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 26．（2024•阎良区二模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔AB的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE＝1.92m，然后，小鑫在BD的延长线上找出一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得DF＝2m，已知图中所有点均在同一平面内，木棒CD＝1.72m，AB⊥BF，CD⊥BF，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB． 27．（2024•阎良区二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形ABCD得到矩形AEFG，旋转角为α（0°＜α＜180°）． （1）如图①，当点E落在DC边上时，线段EC的长度为 　 　； （2）如图②，连接CF，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，求线段DH的长度； （3）如图③，设点P为边GF的中点，连接PB、PE、BE，在矩形ABCD旋转的过程中，求△PBE面积的最大值． 28．（2024•临潼区二模）问题探究 （1）如图1，在Rt△OAB中，∠A＝90°，OC⊥OB于点O，过点C作CD⊥OA于点D，OA＝8，OB＝OC＝10，则AD的长为 　 　； （2）如图2，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点M、N分别在边AB、BC上，且PM⊥PN，求证； 问题解决 （3）如图3，某地有一块形如正方形ABCD的景区，AC是景区内的一条小路，点E、N分别在CD、BC上，管理部门欲沿EN修建一条笔直的观光小路，在EN与AC的交汇处P修建休息亭，并沿BP再修建一条笔直的观光小路，且，设计人员经测算发现只要再满足∠BPN＝45°就可以实现要求EN＝3PN．请判断设计人员的方法是否可行（当且∠BPN＝45°时，EN＝3PN）？并证明你的结论． 29．（2024•长安区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）． （1）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1； （2）若⊙P与直线AB、A1B1同时相切，求⊙P的面积． 30．（2024•长安区二模）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？ 小华拿着一部长为16cm的手机站在广场上离大雁塔121m的点F处（即FB＝121米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即CD∥AB），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上），已知点E到手机CD的距离为30cm．则大雁塔的高度AB为多少米？（精确到0.1） 31．（2024•西安二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）． （1）点B关于原点对称的点的坐标为 　 　； （2）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1． 32．（2024•新城区二模）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且AD＝DF＝FH＝HB．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊AB＝32米，塑像的高CD＝EF＝GH＝3米，塑像CD的影长DM＝2米． （1）求明德楼的高PA． （2）求塑像EF的影长FN． 陕西省西安市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-05图形的变化 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．（2024•雁塔区二模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2．（2024•临潼区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵E、F分别为AC、BC的中点， ∴EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∵HD⊥AC， ∴∠DHC＝∠ABC＝90°， 又∵∠C＝∠C， ∴△CAB∽△CDH， 故选：B． 3．（2024•雁塔区二模）2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会，下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； B、能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； C、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 4．（2024•碑林区二模）如图，该三棱柱的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从正面看，是一个矩形，矩形内部有一条纵向的虚线． 故选：A． 5．（2024•碑林区二模）《清朝野史大观•清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三视图都相同 【解答】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 6．（2024•阎良区二模）如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：连接BC， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴由勾股定理得， BC， AC． 在Rt△ABC中， sin∠BAC． 故选：D． 7．（2024•雁塔区二模）中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩（lǐn）等主要构件建造而成．各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的左视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：榫的左视图为：． 故选：D． 8．（2024•西安二模）第18届亚足联亚洲杯足球赛将于2023年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 9．（2024•西安二模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 10．（2024•阎良区二模）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接CD交AB于点E，若AC＝BC＝2，CE＝1，则CD的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【解答】解：连接AD， ∵AC＝BC， ∴， ∴∠CAE＝∠D， ∵∠ACE＝∠DCA， ∴△ACE∽△DCA， ∴， ∵AC＝2，CE＝1， ∴CD4， 故选：D． 11．（2024•灞桥区二模）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的点，且，CD与BE交于点O，则S△COE：S△BOC的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴，∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DOE∽△BOC， ∴， ∴S△COE：S△BOC． 故选：D． 12．（2024•高新区二模）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：此组合体的主视图为 故选：A． 13．（2024•新城区二模）垃圾分类，人人有责．垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心； A．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； B．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 14．（2024•西安二模）如所示图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A、B、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 15．（2024•雁塔区二模）如图，有一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，现将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合，得到折痕MN，则△ACM的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：∵将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合， ∴BM＝AM， ∵∠C＝90°， ∴AM2＝CM2+AC2， ∴（8﹣CM）2＝CM2+42， ∴CM＝3， ∴△ACM的面积•AC3×4＝6， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 16．（2024•临潼区二模）如图，在▱ABDC中，连接BC，BC＝4，∠ABC＝120°，E是边CD上一动点，连接BE，以BE为边向左侧作等边△BEF，连接FC，则FC的最小值是 　2　． 【解答】解：如图，延长AB至H，使BH＝BC，连接CH，过点C作CN⊥BH于N，连接EH， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBH＝60°， ∵∠CNB＝90°，BC＝BH＝4， ∴BNCB＝2，CNBN＝2， ∵△DEF是等边三角形， ∴FB＝EB，∠FBE＝60°＝∠CBH， ∴∠EBH＝∠FBC， ∴△FCB≌△EBH（SAS）， ∴CF＝EH， ∴当EH有最小值时，FC有最小值， ∵点E，点F分别是直线CD，直线AB上一点， ∴当EH⊥AB时，EH有最小值为CN的长， ∴FC的最小值为2， 故答案为：2． 17．（2024•阎良区二模）如图①是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图②所示，此时液面AB的长为 　3.2cm　． 【解答】解：如图： ∵CD∥AB， ∴△ABO∽△CDO，即相似比为， ∴， ∵CD＝8cm， ∴AB＝3.2cm， 故答案为：3.2cm． 18．（2024•西安二模）已知5a＝2b，则a：b＝　2：5　． 【解答】解：∵5a＝2b， ∴a：b＝2：5． 故答案为：2：5． 19．（2024•高新区二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 　　m． 【解答】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为x m， 由题意得：， 解得：x， ∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为m， 故答案为：． 20．（2024•碑林区二模）如图，东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为 　289.2　m．（精确到0.1m） 【解答】解：ABAC≈468×0.618≈289.2（m）． 故答案为289.2． 21．（2024•新城区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（0，3），将线段AB沿x轴向右平移得到A'B'，连接A′C，B′C，则A'C+B'C的最小值为 　　． 【解答】解：如图，作 CD∥A'B'，且使 CD＝A'B'，连接A′D． ∴四边形 A'B'CD 是平行四边形， ∴A'D＝B'C， ∴A'C+B'C＝A′C+A′D， ∵点A（﹣2，0），B（0，1）， ∴可设点A'（a，0），B'（a+2，1）， ∵C（0，3）， ∴点D（﹣2，2）． 作点C（0，3）关于x轴的对称点C'（0，﹣3）， 连接C′D交x轴于点W，连接A'C'， ∴A'C+A'D＝A'C'+A'D≥C'D， ∴当点A'在点W处时，A'C+A′D最小，最小值是C′D的长． ∵C'D， ∴A′C+B′C的最小值是 ． 故答案为：． 三．解答题（共11小题） 22．（2024•雁塔区二模）某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处有一个平台BF，BF∥AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，在离B点6米远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF＝60°，已知CD⊥AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73） 【解答】解：过点B作BM⊥AD于M，如图所示： ∵i＝5：12， ∴， ∵AB＝26米， ∴BM＝10米，AM＝24米， ∴DF＝BM＝10米， 设EF为x米，则BF＝（6+x）米， ∵∠CBF＝45°， ∴BF＝CF＝（6+x）米， ∵∠CEF＝60°， ∴tan60°， 即， 解得：x＝33， ∴CF＝（9+3）米， ∴CD＝CF+DF＝（9+310）米＝（19+3）米≈24.2米， 答：教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD约为24.2米． 23．（2024•临潼区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，AC与BD相交于点E．过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点F． 求证：（1）∠CAD＝∠BCF； （2）BC2＝AD•BF． 【解答】证明：（1）连接OC，如图， ∵， ∴OC⊥BD， ∵CF为⊙O的切线， ∴OC⊥CF， ∴BD∥CF， ∴∠BCF＝∠CBD， ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠BCF； （2）∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°， ∴∠CBF＝∠ADC， ∵∠BCF＝∠CAD， ∴△BCF∽△DAC， ∴， ∴BC•CD＝AD•BF， ∵， ∴BC＝CD， ∴BC2＝AD•BF． 24．（2024•临潼区二模）小林想利用无人机测量某塔（图1）的高度．阳光明媚的一天，该塔AB倒映在平静的河水中，如图2所示，当无人机飞到点C处时，点C到水平面BD的高度CD＝9米，在点C处测得该塔顶端的仰角为37°．该塔顶端A在水中倒影A′的俯角为42°．已知CD⊥BD，AB⊥BD，A、B、A′三点共线，A′B＝AB，求该塔的高度AB．（光线的折射忽略不计．tan37°≈0.75，tan42°≈0.90） 【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E， 由题意得：BE＝CD＝9米，CE＝DB， 设CE＝BD＝x米， 在Rt△ACE中，∠ACE＝37°， ∴AE＝CE•tan37°≈0.75x（米）， 在Rt△A′CE中，∠A′CE＝42°， ∴A′E＝CE•tan42°≈0.9x（米）， ∵AB＝A′B′， ∴AE+BE＝A′E﹣BE， ∴0.75x+9＝0.9x﹣9， 解得：x＝120， ∴AE＝0.75x＝90（米）， ∴AB＝AE+BE＝90+9＝99（米）， ∴该塔的高度AB约为99米． 25．（2024•西安二模）随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在A处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的C处驶来．已知AB＝2.5m，BO＝5m，DO＝2.5m，∠DCO＝10°，汽车从C处前行多少米才能发现A处的儿童．（结果保留到0.1m，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 【解答】解：连接AO并延长交CD于点E， 由题意得：∠ABO＝∠D＝90°， ∵∠AOB＝∠EOD， ∴△ABO∽△EDO， ∴， ∴， ∴DE＝1.25， 在Rt△CDO中，∠DCO＝10°， ∴DC13.89（m）， ∴CE＝CD﹣DE＝13.89﹣1.25＝12.64≈12.6（m）， 答：汽车从C处前行约12.6米才能发现A处的儿童． 26．（2024•阎良区二模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔AB的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE＝1.92m，然后，小鑫在BD的延长线上找出一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得DF＝2m，已知图中所有点均在同一平面内，木棒CD＝1.72m，AB⊥BF，CD⊥BF，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB． 【解答】解：由题意得：∠ABD＝∠CDE＝90°，∠ADB＝∠CED， ∴△CDE∽△ABD， ∴， ∵∠F＝∠F， ∴△CDF∽△ABF， ∴， ∴， 即， ∴BD＝48， ∴， ∴AB＝43， 答：小雁塔的高度AB是43米． 27．（2024•阎良区二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形ABCD得到矩形AEFG，旋转角为α（0°＜α＜180°）． （1）如图①，当点E落在DC边上时，线段EC的长度为 　6﹣3　； （2）如图②，连接CF，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，求线段DH的长度； （3）如图③，设点P为边GF的中点，连接PB、PE、BE，在矩形ABCD旋转的过程中，求△PBE面积的最大值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝3，∠D＝90°， ∵矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到， ∴AE＝AB＝6， 在Rt△ADE中，DE3， ∴CE＝6﹣3， 故答案为：6﹣3； （2）∵当点E落在线段CF上， ∴∠AEC＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）， ∴∠ACD＝∠CAE， ∴AH＝HC， 设AH＝HC＝m， 在Rt△ADH中，∵AD2+DH2＝AH2， ∴32+（6﹣m）2＝m2， ∴m， ∴DH＝6； （3）如图，连接PA，作AM⊥PE于M． 当AM与AB共线，且BM＝BA+AM时，△BPE面积最大， 由题意：PF＝PG＝3， ∵AG＝EF＝3，∠G＝∠F＝90°， ∴PA＝PE＝3， ∵S△APES矩形AGFEPE•AM， ∴AM3， 则S△BPEPE•BM3（6+3）＝99， ∴△PBE的面积的最大值为99． 28．（2024•临潼区二模）问题探究 （1）如图1，在Rt△OAB中，∠A＝90°，OC⊥OB于点O，过点C作CD⊥OA于点D，OA＝8，OB＝OC＝10，则AD的长为 　2　； （2）如图2，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点M、N分别在边AB、BC上，且PM⊥PN，求证； 问题解决 （3）如图3，某地有一块形如正方形ABCD的景区，AC是景区内的一条小路，点E、N分别在CD、BC上，管理部门欲沿EN修建一条笔直的观光小路，在EN与AC的交汇处P修建休息亭，并沿BP再修建一条笔直的观光小路，且，设计人员经测算发现只要再满足∠BPN＝45°就可以实现要求EN＝3PN．请判断设计人员的方法是否可行（当且∠BPN＝45°时，EN＝3PN）？并证明你的结论． 【解答】（1）解：∵OC⊥OB， ∴∠BOC＝90°，即∠BOA+∠COD＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠AOB＝90°， ∴∠B＝∠COD， 同理，∠C＝∠AOB， ∵OB＝OC， ∴△AOB≌△DCO（ASA）， ∴CD＝OA＝8， 在Rt△COD中，OD6， ∴AD＝OA﹣OD＝2， 故答案为：2； （2）证明：在CN上去取点Q使得PN＝PQ，如图： ∵∠B+∠BMP+∠MPN+∠PNB＝360°，∠B＝∠MPN＝90°， ∴∠BMP+∠BNP＝180°， ∵∠AMP+∠BMP＝180°， ∴∠AMP＝∠BNP， ∵PN＝PQ， ∴∠PNQ＝∠PQN， ∵∠PNQ+∠PNB＝180°，∠PQN+∠PQC＝180°， ∴∠AMP＝∠PQC， ∵∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴△AMP∽△CQP， ∴； （3）可行， 证明：延长NE交AD延长线于点F，如图： ∵AD∥BC， ∴， ∵， ∴PQ＝NE， ∴PN＝EQ， ∵∠APN＝∠ACB＝45°，∠PBC＝∠PBC， ∴△BPN∽△BCP， ∴，∠BPC＝∠BNP， ∴∠APB＝∠PNC， ∵AB＝BC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠Q＝∠PNC， ∴∠Q＝∠APB， ∵∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠ABP＝∠APQ， ∴△ABP∽△APQ， ∴， 设CN＝a，b，c， ∴AQ＝ab， ∵c，BC﹣BC＝CN＝a， ∴BC， ∴APa， ∴AC＝AP+AC＝（1）APa（1+b）， ∵ACBC， ∴a（1+b）•， ∴c2， ∴BC， ∴DQ＝AQ﹣AD＝AQ＝BCa， ∵AD∥CN， ∴， ∴， 解得：b＝3或﹣1（舍去）， ∴， ∴EN＝3PN． 29．（2024•长安区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）． （1）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1； （2）若⊙P与直线AB、A1B1同时相切，求⊙P的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由题意知，AB∥A1B1，AA1⊥AB， ∴线段AA1的长度为直线AB与A1B1之间的距离． ∵⊙P与直线AB、A1B1同时相切， ∴⊙P的直径等于线段AA1的长度． 由勾股定理得，AA1， ∴⊙P的半径为AA1， ∴⊙P的面积为18π． 30．（2024•长安区二模）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？ 小华拿着一部长为16cm的手机站在广场上离大雁塔121m的点F处（即FB＝121米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即CD∥AB），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上），已知点E到手机CD的距离为30cm．则大雁塔的高度AB为多少米？（精确到0.1） 【解答】解：如图，过点E作EW⊥AB于点W，交CD于点J． ∵AB⊥BF，E⊥BF，EW⊥AB， ∴∠EWB＝∠WBF＝∠F＝90°， ∴四边形BFEW是矩形， ∴EW＝BF＝121（m）， ∵CD∥AB，EW⊥AB， ∴EW⊥CD，△ECD∽△EAB， ∴， ∴， ∴AB≈64.5（m）． 答：大雁塔的高度AB约为64.5m． 31．（2024•西安二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）． （1）点B关于原点对称的点的坐标为 　（﹣5，1）　； （2）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1． 【解答】解：（1）∵B（5，﹣1）， ∴点B关于原点对称的点的坐标为（﹣5，1）， 故答案为：（﹣5，1）； （2）如图，△A1B1C1即为所求． 32．（2024•新城区二模）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且AD＝DF＝FH＝HB．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊AB＝32米，塑像的高CD＝EF＝GH＝3米，塑像CD的影长DM＝2米． （1）求明德楼的高PA． （2）求塑像EF的影长FN． 【解答】解：（1）∵AD＝DF＝FH＝HB，AB＝32 米， ∴AD8 （米）， 根据题意得∠CDM＝∠PAM＝90°， ∵∠CMD＝∠PMA， ∴△CDM∽△PAM， ∴， ∴， ∴AP＝15， 答：明德楼的高PA为15米． （2）根据题意得∠PAN＝∠EFN＝90°， ∵∠ENF＝∠PNA， ∴△EFN∽△PAN， ∴， ∴， ∴FN＝4， 答：塑像EF的影长FN为4米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/6 21:14:41；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$