陕西省西安市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

陕西省西安市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 一．选择题（共14小题） 1．（2024•新城区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（　　） A．3 B． C． D． 2．（2024•临潼区二模）如图，直线a、b相交，∠2+∠3＝100°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．100° C．120° D．130° 3．（2024•临潼区二模）在▱ABCD中，AC、BD是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（　　） A．AC＝BD B．AB＝AC C．AC⊥BD D．∠ABC＝90° 4．（2024•临潼区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P点，AP＝1，BP＝5，∠APC＝45°，则CD的长为（　　） A． B． C． D．3 5．（2024•长安区二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF＝CD＝4，则截面⊙O的半径等于（　　） A． B． C． D． 6．（2024•新城区二模）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为（　　） A．120° B．80° C．60° D．40° 7．（2024•西安二模）如图，点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，点E为线段OB上一点，连接CE，△CDE是以CE为底边的等腰三角形，若AB＝4，则OE的长为（　　） A． B．2 C． D． 8．（2024•西安二模）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC，BD∥OA交⊙O于点D，连接AD，若∠ABD＝20°，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 9．（2024•长安区二模）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 10．（2024•西安二模）在矩形ABCD中，BC＝6，∠DBC＝30°，过点C作CE⊥BD，交AD于点E，则线段CE的长为 （　　） A．4 B．2 C． D．6 11．（2024•阎良区二模）若∠A＝50°，则∠A的补角为（　　） A．40° B．50° C．120° D．130° 12．（2024•西安二模）将一直尺和一块含30°角的三角尺（∠B＝30°，∠C＝90°）按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BAF的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 13．（2024•西安二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝2∠ABC，则∠CAE的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．20° 14．（2024•新城区二模）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A． B．8cm C． D． 二．填空题（共9小题） 15．（2024•临潼区二模）如图，在矩形ABCD中，连接AC，延长AB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠E＝20°，则∠BAC的度数是 　 　°． 16．（2024•西安二模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为　 　． 17．（2024•新城区二模）如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 　 　.（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”） 18．（2024•西安二模）清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的边BC上的高，则．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，则△ABC的面积为 　 　． 19．（2024•长安区二模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　 　． 20．（2024•西安二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D、E为边BC上两点（点D在点E的左侧），且∠DAE＝45°，若tan∠EAC，则BD＝　 　． 21．（2024•西安二模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　 　°． 22．（2024•阎良区二模）如图，在正五边形ABCDE中，过点A作AG⊥DE，交DE的延长线于点G，则∠EAG的度数为 　 　°． 23．（2024•阎良区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），点B（6，0），若点P是y轴正半轴上的点，且满足∠APB＝45°，则点P的坐标为 　 　；若点P是坐标平面内任一点，且满足∠APB＝45°，则△APB面积的最大值为 　 　． 三．解答题（共22小题） 24．（2024•临潼区二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC的边AC交x轴正半轴于点E，顶点B、A分别在第一、四象限，已知，∠AOE＝15°，求点C的坐标． 25．（2024•临潼区二模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，P为边AB上的点，过点P作PQ∥AD，交BD于点M，交CD边于点Q．求证：CQ＝PM． 26．（2024•临潼区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝5，连接BD，请利用尺规作图法在CD上找一点F，使得△BFC的周长为14．（不写作法，保留作图痕迹） 27．（2024•阎良区二模）阅读下列材料，回答问题． 任务：如图，在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，现要测量A、B两点间的距离． 小明利用皮尺测量，求出了A、B两点间的距离．其测量及求解过程如下： 测量过程：（i）如图1，在湖AB以外选点C，测得AC＝a，BC＝b； （ⅱ）分别在AC，BC上找到点D、E，使得AD＝CD，BE＝CB，测得DE＝c． 求解过程：由测量知，D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝①　 　AB， ∴DE＝c，∴AB＝2DE＝②　 　.（用含c的式子表示） （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （2）请你利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，求出A、B两点间的距离，请你在图2中画出你的测量示意图，写出测量数据（无需写测量过程），并写出求解过程． 要求：测量得到的线段长度用字母a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示，求解结果用字母表示． 28．（2024•新城区二模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长CE，交AB的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）当BD＝6，sin时，求EF的长． 29．（2024•西安二模）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，连接AC，点E在AC上，AE＝CD，连接BE，∠D+∠BEC＝180°．求证：BE＝AD． 30．（2024•西安二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，以BC为直径的⊙O恰好经过AC的中点D，点F为OC的中点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BC＝4，求BE的长． 31．（2024•西安二模）问题提出 （1）如图1，AB为⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝30°，则AC的最大值为 　 　； 问题探究 （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝24，以AD为斜边在矩形外部作直角三角形AED，F为CD的中点，求EF的最大值； 问题解决 （3）如图3，老李家有一正方形花园ABCD，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形ABCD中，AB＝300米，AD边上有两个点E、F，使得AE＝DF，连接BE、CF．在△ABE与△CDF区域种植花卉，BD是花园内一条小路，与CF交汇于点G，在点G处设计一个凉亭．连接AG，交BE于点H，在H处设计一口水井．老李想在H与D之间铺设一条笔直的水管，为了节约成本，要求HD的长度尽可能的小，问HD的长度是否存在最小值？若存在，求出HD长度的最小值；若不存在，请说明理由． 32．（2024•长安区二模）如图，AB是⊙O的直径，D是上一点，弦DE⊥AB于点H，交AC于点F，若AF＝DF． （1）求证：∠ABD＝∠DAF； （2）若，求⊙O的半径． 33．（2024•长安区二模）如图，在锐角三角形ABC中，D为边AC上一点，请用尺规作图法，在边BC上求作一点F，使得∠CFD＝2∠BDF．（保留作图痕迹，不写作法） 34．（2024•西安二模）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF． 35．（2024•西安二模）（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E、F是对角线BD上两动点，且EF＝2．将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H，连接CH、FH． ①四边形ECHF的形状为 　 　； ②连接AC、AF，当点A，F，H共线时，CE+CF的值为 　 　． （2）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即AP+PQ+QM+MN+NB和的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为150米、250米，且与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°． 36．（2024•阎良区二模）如图，在正方形ABCD中，以AD为边在AD下方作等边△ADE，连接BE、CE．求证：BE＝CE． 37．（2024•阎良区二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，AB为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动⊙O绕圆心O转动，当连杆AB恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记⊙O与AB的另一个交点为C，过点B作BD⊥AB交直线l于点D，发现DO恰好平分∠ADB． （1）求证：直线l与⊙O相切； （2）若BD＝5，AD＝13，求⊙O的半径． 38．（2024•西安二模）如图，AC为▱ABCD的对角线，且AC⊥AB，请用尺规作图法在线段AC上求作一点E，过点E作EF⊥BC于点F，使得EF+EC＝AC．（保留作图痕迹，不写作法） 39．（2024•西安二模）大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点． 如图，小华拿着一部长为16cm的手机（图中CD＝16cm）站在广场上离大雁塔121m的点F处（即FB＝121m），他把手机竖直并将手臂向前伸（即CD∥AB），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上），已知点E到手机CD的距离为30cm，AB⊥BF，EF⊥BF，图中所有的点都在同一平面内．求大雁塔的高度AB．（精确到0.1m） 40．（2024•阎良区二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为5的菱形OABC的顶点O与坐标原点重合，点B在x轴正半轴上，点A在x轴上方，点B的坐标为（8，0）．求点A的坐标． 41．（2024•阎良区二模）如图，已知四边形ABCD，请利用尺规作图法在线段BC上求作一点E，连接EA、ED，使∠EAD+∠EDA＝90°．（不写作法，保留作图痕迹） 42．（2024•西安二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，点E为BD的中点，连接CE． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）若，CE＝5，求AC的长． 43．（2024•阎良区二模）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，若△ABC的面积为24cm2，则AB边上的高为 　 　cm； （2）如图2，在▱ABCD中，F为CD延长线上一点，连接BF，交AD于点E．若AB＝3，BC＝6，DE＝2AE，求CF的长； （3）如图3，老王家有一块形如四边形ABCD的土地，∠A＝60°，AB＝CD＝60米，AD＝BC＝50米，他计划在这块土地上规划一个面积为平方米的直角三角形区域，设立枇杷林用以放养走地鸡，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该三角形枇杷林的顶点E、F分别在线段CD、BC上，且CE＝20米，顶点G设在线段AD或线段BC上，FG为斜边．现要沿AG修一条笔直的水渠，请你帮他计算水渠AG的长． 44．（2024•新城区二模）如图，用直尺和圆规在△ABC内找一点P，使它到三边的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） 45．（2024•新城区二模）如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF． 陕西省西安市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题） 1．（2024•新城区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：连接CE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC， ∵EF⊥BD， ∴EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝x，则DE＝AD﹣AE＝5﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2＝32+（5﹣x）2， 解得：x， 即AE． 故选：B． 2．（2024•临潼区二模）如图，直线a、b相交，∠2+∠3＝100°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．100° C．120° D．130° 【解答】解：∵∠2＝∠3，∠2+∠3＝100°， ∴∠2＝∠3＝50°， ∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°， 故选：D． 3．（2024•临潼区二模）在▱ABCD中，AC、BD是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（　　） A．AC＝BD B．AB＝AC C．AC⊥BD D．∠ABC＝90° 【解答】解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下： ∵四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故选：C． 4．（2024•临潼区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P点，AP＝1，BP＝5，∠APC＝45°，则CD的长为（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD， ∵AB＝AP+BP＝1+5＝6， ∴OD＝OA＝3， ∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2， ∵∠OPE＝∠APC＝45°， ∴△OPE是等腰直角三角形， ∴PE＝OE， 在Rt△OED中，DE， ∵OE⊥CD， ∴CE＝DE， ∴CD＝2DE＝2． 故选：A． 5．（2024•长安区二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF＝CD＝4，则截面⊙O的半径等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示： 则NF＝ENEF＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDNM是矩形， ∴MN＝CD＝4， 设OF＝x，则OM＝OF， ∴ON＝MN﹣OM＝4﹣x， 在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2， 即：（4﹣x）2+22＝x2， 解得：x， 即截面⊙O的半径长是， 故选：C． 6．（2024•新城区二模）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为（　　） A．120° B．80° C．60° D．40° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝2∠2， ∴∠1＝2∠3， ∴3∠3+60°＝180°， ∴∠3＝40°， ∴∠1＝80°， 故选：B． 7．（2024•西安二模）如图，点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，点E为线段OB上一点，连接CE，△CDE是以CE为底边的等腰三角形，若AB＝4，则OE的长为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：连接OC， ∵四边形ABCD是正方形，O是BD的中点， ∴△COD是等腰直角三角形，∠COD＝90°， ∵AB＝CD＝4， ∴OD＝OC＝2， ∵△CDE是以CE为底边的等腰三角形， ∴DE＝CD＝4， ∴OE＝4﹣2． 故选：D． 8．（2024•西安二模）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC，BD∥OA交⊙O于点D，连接AD，若∠ABD＝20°，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【解答】解：如图所示，连接OD， ∵∠ABD＝20°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝40°， ∵OA＝OD， ∴， ∵BD∥OA， ∴∠OAB＝∠ABD＝20°， ∴∠BAD＝∠OAD﹣∠OAB＝50°， 故选：A． 9．（2024•长安区二模）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵BD⊥BC， ∴∠CBD＝90°， ∴∠DAB＝∠CBD﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∵AE∥BD， ∴∠EAB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°， ∴∠EAC＝360°﹣∠EAB﹣∠BAC＝360°﹣150°﹣60°＝150°． 故选：A． 10．（2024•西安二模）在矩形ABCD中，BC＝6，∠DBC＝30°，过点C作CE⊥BD，交AD于点E，则线段CE的长为 （　　） A．4 B．2 C． D．6 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝90°， ∵BC＝6，∠DBC＝30°， ∴CD＝2， ∴BD＝4， ∵CE⊥BD， ∴∠EOD＝∠DOC＝90°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠CDB＝60°， ∴OD， ∴DE＝2， ∴CE＝4， 故选：A． 11．（2024•阎良区二模）若∠A＝50°，则∠A的补角为（　　） A．40° B．50° C．120° D．130° 【解答】解：∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°． 故选：D． 12．（2024•西安二模）将一直尺和一块含30°角的三角尺（∠B＝30°，∠C＝90°）按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BAF的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【解答】解：∵DE∥AB， ∴∠DMA＝∠CDE＝40°， ∵∠B＝30°， ∴∠BAF＝∠DMA﹣∠B＝40°﹣30°＝10°． 故选：A． 13．（2024•西安二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝2∠ABC，则∠CAE的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．20° 【解答】解：如图，连接EC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝2∠ABC， ∴∠ABC＝60°， 由圆周角定理得：∠AEC＝∠ABC＝60°， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°， 故选：C． 14．（2024•新城区二模）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A． B．8cm C． D． 【解答】解：由题意得：OC⊥AB， ∴AC＝BCAB，∠OCA＝90°， ∵OA＝OD＝5cm，CD＝3cm， ∴OC＝OD﹣CD＝5﹣3＝2（cm）， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC（cm）， ∴AB＝2AC＝2（cm）． ∴截面圆中弦AB的长为2cm． 故选：D． 二．填空题（共9小题） 15．（2024•临潼区二模）如图，在矩形ABCD中，连接AC，延长AB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠E＝20°，则∠BAC的度数是 　40　°． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OBBD，OAAC， ∴OA＝OB， ∴∠BAC＝∠ABD， ∵BE＝AC， ∴BE＝BD， ∴∠BDE＝∠E＝20°， ∴∠ABD＝∠E+∠BDE＝20°+20°＝40°， ∴∠BAC＝40°． 故答案为：40． 16．（2024•西安二模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为　　． 【解答】解：由勾股定理得：AC， ∵S△ABC＝3×3， ∴， ∴， ∴BD， 故答案为：． 17．（2024•新城区二模）如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 　不变　.（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”） 【解答】解：∵E，F分别是AP，RP的中点， ∴EF是△APR的中位线， ∴EFAR， ∵R是边CD上的一固定点， ∴AR的长度不变， ∴线段EF的长不变， 故答案为：不变． 18．（2024•西安二模）清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的边BC上的高，则．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，则△ABC的面积为 　6　． 【解答】解：∵BD（BC），AB＝7，BC＝6，AC＝5， ∴BD＝5， 在Rt△ABD中，AD2， ∴△ABC的面积BC•AD6×26， 故答案为：6． 19．（2024•长安区二模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　360°　． 【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°， 故答案为：360°． 20．（2024•西安二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D、E为边BC上两点（点D在点E的左侧），且∠DAE＝45°，若tan∠EAC，则BD＝　1　． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∴∠B＝∠C＝45°，BC8， 过点A作AH⊥BC于H， ∴∠BAH＝∠CAH＝45°，AH＝BH＝CHBC＝4， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DAH＝∠EAC， ∵tan∠EAC， ∴tan∠DAH， ∴DH4＝3， ∴BD＝BH﹣DH＝1． 故答案为：1． 21．（2024•西安二模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　360　°． 【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°， 故答案为：360． 22．（2024•阎良区二模）如图，在正五边形ABCDE中，过点A作AG⊥DE，交DE的延长线于点G，则∠EAG的度数为 　18　°． 【解答】解：正五边形ABCDE的外角和是360°， ∴每个外角的度数为， 即∠AEG＝72°， ∵AG⊥DE， ∴∠AGE＝90°， ∴∠EAG＝90°﹣72°＝18°， 故答案为：18． 23．（2024•阎良区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），点B（6，0），若点P是y轴正半轴上的点，且满足∠APB＝45°，则点P的坐标为 　（0，12）　；若点P是坐标平面内任一点，且满足∠APB＝45°，则△APB面积的最大值为 　2525　． 【解答】解：（1）如图，∵A（﹣4，0），B（6，0）， ∴AB＝6﹣（﹣4）＝10， ∵∠APB＝45°， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AC＝BC，AB＝10， ∴AC＝BCAB＝5， ∵CM⊥AB， ∴AM＝BMAB＝5＝CM， ∴OM＝CN＝5﹣4＝1， 在Rt△△PNC中，CN＝1，CP＝5， ∴PN7， ∴OP＝5+7＝12， 即点P（0，12）， （2）当点P在点P1时，△APB的面积最大，此时P1M＝55， S△APB10×（55）＝2525， 故答案为：（0，12），2525． 三．解答题（共22小题） 24．（2024•临潼区二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC的边AC交x轴正半轴于点E，顶点B、A分别在第一、四象限，已知，∠AOE＝15°，求点C的坐标． 【解答】解：连接OC，过点C作CF⊥x轴于F，连接OC，如图所示： ∵四边形AOBC为正方形，OC为对角线，OA， ∴∠AOC＝45°，OA＝AC， 在△AOC中，由勾股定理得：OC2， ∵∠AOE＝15° ∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOE＝45°﹣15°＝30°， 在Rt△ACF中，∠COF＝30°，OC＝2， ∴CFOC＝1， 由勾股定理得：OF， ∴点C的坐标为（，1）． 25．（2024•临潼区二模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，P为边AB上的点，过点P作PQ∥AD，交BD于点M，交CD边于点Q．求证：CQ＝PM． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∵PQ∥AD， ∴PQ∥BC， ∴四边形BPQC是平行四边形， ∴BP＝CQ，∠CBM＝∠BMP， ∵∠ABC＝∠CBD， ∴∠ABM＝∠PMB， ∴PB＝PM， ∴CQ＝PM． 26．（2024•临潼区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝5，连接BD，请利用尺规作图法在CD上找一点F，使得△BFC的周长为14．（不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：如图，作BD的垂直平分线交CD于点F， ∴FB＝FD， 在矩形ABCD中，CD＝AB＝9，BC＝5， ∴△BFC的周长＝BC+BF+CF＝BC+DF+CF＝BC+CD＝5+9＝14． 27．（2024•阎良区二模）阅读下列材料，回答问题． 任务：如图，在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，现要测量A、B两点间的距离． 小明利用皮尺测量，求出了A、B两点间的距离．其测量及求解过程如下： 测量过程：（i）如图1，在湖AB以外选点C，测得AC＝a，BC＝b； （ⅱ）分别在AC，BC上找到点D、E，使得AD＝CD，BE＝CB，测得DE＝c． 求解过程：由测量知，D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝①　　AB， ∴DE＝c，∴AB＝2DE＝②　2c　.（用含c的式子表示） （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （2）请你利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，求出A、B两点间的距离，请你在图2中画出你的测量示意图，写出测量数据（无需写测量过程），并写出求解过程． 要求：测量得到的线段长度用字母a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示，求解结果用字母表示． 【解答】解：（1）测量过程：（i）如图1，在湖AB以外选点C，测得AC＝a，BC＝b； （ⅱ）分别在AC，BC上找到点D、E，使得AD＝CD，BE＝CB，测得DE＝c． 求解过程：由测量知，D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∴DE＝c， ∴AB＝2DE＝2c． 故答案为：，2c； （2）如图2中，利用测角仪作射线AM，BN，使得∠ABM＝∠BAN＝α＝60°，射线AM，射线BN交于点C，则△ABC是等边三角形，测量出BC＝a，则AB＝a． 28．（2024•新城区二模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长CE，交AB的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）当BD＝6，sin时，求EF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC． ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝2∠1， ∵∠ABD＝2∠BAC， ∴∠ABD＝∠3， ∴OC∥BD， ∵CE⊥DE， ∴OC⊥CF， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE⊥CF， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F， ∴sin∠BAD＝sin∠F， ∴ABBD＝10， ∵OCAB＝5， ∵OC⊥CF，OC＝5，sin∠F， ∴sin∠F， 解得BF， ∴sin∠F， ∴BEBF＝2， 在Rt△BEF中，由勾股定理看得：EF． 29．（2024•西安二模）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，连接AC，点E在AC上，AE＝CD，连接BE，∠D+∠BEC＝180°．求证：BE＝AD． 【解答】证明：∵CD∥AB， ∴∠BAE＝∠ACD， ∵∠AEB+∠BEC＝180°，∠D+∠BEC＝180°， ∴∠AEB＝∠D， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴BE＝AD． 30．（2024•西安二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，以BC为直径的⊙O恰好经过AC的中点D，点F为OC的中点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BC＝4，求BE的长． 【解答】（1）证明：连接BD， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴∠CBD＝45°， ∴BD＝CD， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝BDAC， ∴∠ABC＝90°， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵BC＝4， ∴OC＝OD＝2， 由（1）知△BDC是等腰直角三角形， ∴CDBC＝2， ∵点F为OC的中点， ∴CF＝OF， ∴BF＝3， ∵BD＝CD，BO＝CO， ∴OD⊥BC， ∴DF， ∵∠C＝∠E，∠CDE＝∠CBE， ∴△CDF∽△EBF， ∴， ∴， ∴BE． 31．（2024•西安二模）问题提出 （1）如图1，AB为⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝30°，则AC的最大值为 　12　； 问题探究 （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝24，以AD为斜边在矩形外部作直角三角形AED，F为CD的中点，求EF的最大值； 问题解决 （3）如图3，老李家有一正方形花园ABCD，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形ABCD中，AB＝300米，AD边上有两个点E、F，使得AE＝DF，连接BE、CF．在△ABE与△CDF区域种植花卉，BD是花园内一条小路，与CF交汇于点G，在点G处设计一个凉亭．连接AG，交BE于点H，在H处设计一口水井．老李想在H与D之间铺设一条笔直的水管，为了节约成本，要求HD的长度尽可能的小，问HD的长度是否存在最小值？若存在，求出HD长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点C是⊙O上的一个动点， ∴AC为⊙O的弦， ∵直径是圆中最长的弦， ∴当AC经过圆心时，即AC为圆的直径，则AC取得最大值． 如图，AC为圆的直径， 则∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝12． ∴AC的最大值为12． 故答案为：12； （2）取AD的中点H，连接HE，HF，如图， 则AH＝HDAD＝12， ∵F为CD的中点， ∴DFCDAB＝5， ∴FH13， ∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，H为AD的中点， ∴EHAD＝12． ∵EF≤HE+HF， ∴当点E，H，F三点在一条直线上时，EF取得最大值为HE+HF＝12+13＝25． ∴EF的最大值为 25； （3）HD的长度存在最小值，HD长度的最小值为：150（1）米． 取AD的中点O，连接OD，OH，如图， 则OAAB300＝150（米）． ∴OD150（米）， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CD＝AD，∠ADB＝∠CDB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝90°． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DCF． 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCG， ∴∠DAG＝∠ABE， ∵∠DAG+∠BAG＝90°， ∴∠ABE+∠BAG＝90°， ∴∠AHB＝90°， ∵O为AB的中点， ∴OHAB＝150（米）， ∵HD＞OD﹣OH， ∴当点O，H，D三点在一条直线上时，HD取得最小值为OD﹣OH＝150（1）米． ∴HD的长度存在最小值，HD长度的最小值为：150（1）米． 32．（2024•长安区二模）如图，AB是⊙O的直径，D是上一点，弦DE⊥AB于点H，交AC于点F，若AF＝DF． （1）求证：∠ABD＝∠DAF； （2）若，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵AF＝DF， ∴∠ADF＝∠DAF， ∵DE⊥AB， ∴∠ADF+∠DAB＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠DAB＝90°， ∴∠ADF＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠DAF； （2）解：∵DE⊥AB于点H，∠ADH＝∠ABD，sin∠ABD， ∴sin∠ADH， 设AHx，则AD＝5x， ∴DH2x（负值已舍）， ∵AF＝DF， ∴HF＝DH﹣DF＝2x， ∵AF2＝HF2+AH2， ∴（2x）2+（x）2， 解得x或x＝0（舍去）， ∴AD＝5x＝2， ∵sin∠ABD， ∴AB＝10， ∴⊙O的半径为5． 33．（2024•长安区二模）如图，在锐角三角形ABC中，D为边AC上一点，请用尺规作图法，在边BC上求作一点F，使得∠CFD＝2∠BDF．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图所示，点F即为所求． 34．（2024•西安二模）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE， ∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC， ∵CF＝BE， ∴CF+BF＝BE+BF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 35．（2024•西安二模）（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E、F是对角线BD上两动点，且EF＝2．将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H，连接CH、FH． ①四边形ECHF的形状为 　平行四边形　； ②连接AC、AF，当点A，F，H共线时，CE+CF的值为 　6　． （2）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即AP+PQ+QM+MN+NB和的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为150米、250米，且与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°． 【解答】（1）解：①由平行的性质可得CH∥EF，CH＝EF＝2， ∴四边形ECHF是平行四边形， 故答案为：平行四边形； ②∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝∠BDC＝45°，AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ， ∵CH∥EF， ∴∠DCH＝∠BDC＝45°， ∴∠ACH＝90°， ∴， 由正方形的对称性可得AF＝CF，由平行四边形的性质可得CE＝FH， ∴CE+CF＝FH+AF＝AH＝6， 故答案为：6； （2）解：如图，将点A沿着垂直于支流l的河岸的方向平移米得到A′，连接A′Q， 将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移250米得到B′，连接B′M， ∴四边形APQA′和四边形BB′MN都是平行四边形， ∴A′Q＝AP，B′M＝BN， ∴AP+PQ+QM+MN+NB＝A′Q+QM+B′M+150250， ∴当A′、Q、M、B′四点共线时，A′Q+QM+B′M最小，即此时AP+PQ+QM+MN+NB最小； 如图，分别延长AA′、BB′交于H， ∵支流l和支流2与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°， ∴∠BAH＝30°，∠ABH＝60°， ∴∠H＝90°， ∴米， ∴米， ∴A′H＝850米，B′H＝750米， ∴AB′100米， ∴AP+PQ+QM+MN+NB的最小值为米． 36．（2024•阎良区二模）如图，在正方形ABCD中，以AD为边在AD下方作等边△ADE，连接BE、CE．求证：BE＝CE． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝CD， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠EAD＝∠ADE＝60°，AE＝ED， ∴∠BAD﹣∠EAD＝∠ADC﹣∠ADE， 即∠BAE＝∠CDE， 又∵AB＝CD，AE＝ED， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝CE． 37．（2024•阎良区二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，AB为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动⊙O绕圆心O转动，当连杆AB恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记⊙O与AB的另一个交点为C，过点B作BD⊥AB交直线l于点D，发现DO恰好平分∠ADB． （1）求证：直线l与⊙O相切； （2）若BD＝5，AD＝13，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图2，过点O作OE⊥AD于点E， ∴∠OED＝90°， ∵BD⊥AB， ∴∠OBD＝90°， ∴∠OED＝∠OBD， ∵DO恰好平分∠ADB， ∴∠EDO＝∠BDO， 在△OED和△OBD中， ， ∴△OED≌△OBD（AAS）， ∴OE＝OB， ∵OE⊥AD， ∴直线l与⊙O相切； （2）解：∵BD⊥AB， ∴∠OBD＝90°， ∵BD＝5，AD＝13， ∴由勾股定理得，， 设⊙O的半径为r， 则OE＝OB＝r， ∴OA＝AB﹣OB＝12﹣r， ∵∠AEO＝∠ABD＝90°，∠OAE＝∠DAB， ∴△AEO∽△ABD， ∴， ∴， 解得r， 即⊙O的半径为． 38．（2024•西安二模）如图，AC为▱ABCD的对角线，且AC⊥AB，请用尺规作图法在线段AC上求作一点E，过点E作EF⊥BC于点F，使得EF+EC＝AC．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：图形如图所示： 39．（2024•西安二模）大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点． 如图，小华拿着一部长为16cm的手机（图中CD＝16cm）站在广场上离大雁塔121m的点F处（即FB＝121m），他把手机竖直并将手臂向前伸（即CD∥AB），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上），已知点E到手机CD的距离为30cm，AB⊥BF，EF⊥BF，图中所有的点都在同一平面内．求大雁塔的高度AB．（精确到0.1m） 【解答】解：如图，过点E作EW⊥AB于点W，交CD于点J． ∵AB⊥BF，E⊥BF，EW⊥AB， ∴∠EWB＝∠WBF＝∠F＝90°， ∴四边形BFEW是矩形， ∴EW＝BF＝121（m）， ∵CD∥AB，EW⊥AB， ∴EW⊥CD，△ECD∽△EAB， ∴， ∴， ∴AB＝64.5（m）． 答：大雁塔的高度AB为64.5m． 40．（2024•阎良区二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为5的菱形OABC的顶点O与坐标原点重合，点B在x轴正半轴上，点A在x轴上方，点B的坐标为（8，0）．求点A的坐标． 【解答】解：如图，连接AC交OB于点T． ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，OT＝TB， ∵B（8，0）， ∴OB＝8， ∴OT＝TB＝4， ∵OA＝5， ∴AT3， ∴A（4，3）． 41．（2024•阎良区二模）如图，已知四边形ABCD，请利用尺规作图法在线段BC上求作一点E，连接EA、ED，使∠EAD+∠EDA＝90°．（不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：如图，作线段AD的垂直平分线，交AD于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交BC于点E'，E''， 则∠AE'D＝90°，∠AE''D＝90°， 即∠E'AD+∠E'DA＝90°，∠E''AD+∠E''DA＝90°， 则点E'，E''均满足题意． 42．（2024•西安二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，点E为BD的中点，连接CE． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）若，CE＝5，求AC的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90° ∵E为BD的中点， ∴BE＝CE＝DE， ∴∠ECB＝∠EBC， ∵BD与⊙O相切于点B， ∴∠ABD＝90°， ∴∠OBC+∠EBC＝90°， ∴∠OCB+∠ECB＝90°， ∴∠OCE＝90° ∴OC⊥CE， 又∵OC为半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵CE＝5， ∴BD＝10， 在Rt△ABD中，∵， ∴， ∴AB＝20， 设BC＝x，AC＝2x， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴x2+（2x）2＝202， ∴x＝±4， ∴AC＝2x＝8． 43．（2024•阎良区二模）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，若△ABC的面积为24cm2，则AB边上的高为 　　cm； （2）如图2，在▱ABCD中，F为CD延长线上一点，连接BF，交AD于点E．若AB＝3，BC＝6，DE＝2AE，求CF的长； （3）如图3，老王家有一块形如四边形ABCD的土地，∠A＝60°，AB＝CD＝60米，AD＝BC＝50米，他计划在这块土地上规划一个面积为平方米的直角三角形区域，设立枇杷林用以放养走地鸡，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该三角形枇杷林的顶点E、F分别在线段CD、BC上，且CE＝20米，顶点G设在线段AD或线段BC上，FG为斜边．现要沿AG修一条笔直的水渠，请你帮他计算水渠AG的长． 【解答】解：（1）设AB边上的高为h cm，， 即：， 解得：； 故答案为：． （2）∵▱ABCD， ∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，AB∥CD， ∵DE＝2AE， ∴AE＝2，DE＝4， ∴△ABE∽△DEF， ∴，即， 解得：DF＝6， ∴CF＝DF+CD＝6+3＝9； （3）∵AB＝CD＝60米，AD＝BC＝50 米， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝60°，AD∥BC， ∵CD＝60米，CE＝20米， 则DE＝CD﹣CE＝60﹣20＝40 米， 当点G在线段AD上时， 过点E作EH⊥BC于点H，延长GE、BC交于点I， ∵AD∥BC， ∴△DGE∽△CIE， ∴， ∴， 即： （平方米）， 在Rt△EHC 中， （米）， （米）， ， 解得：FI＝35（米）， 设FH＝x，则：HI＝35﹣x，∠FEH+∠EFH＝90°，∠EIH+∠IEH＝90°，∠FEH+∠IEH＝90°， ∴∠FEH＝∠EIH，∠EFH＝∠IEH， ∴△EFH∽△IEH，， 即：， 整理得： x2﹣35x+300＝0， 解得x＝20或x＝15， ∴CI＝HI﹣HC＝（35﹣20）﹣10＝5 （米）或 CI＝HI﹣HC＝（35﹣15）﹣10＝10 （米）， ∴DG＝2CI＝2×5＝10（米）或 DG＝2CI＝2×10＝20（米）， ∴AG＝AD﹣DG＝50﹣10＝40 （米）或 AG＝AD﹣DG＝50﹣20＝30 （米）， 当点G在线段BC上时，， 即：， 解得：GF＝70（舍）， 综上所述，水渠AG的长为40米或30米． 44．（2024•新城区二模）如图，用直尺和圆规在△ABC内找一点P，使它到三边的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：由题意知，点P为△ABC三个内角的平分线的交点． 如图，点P即为所求． 45．（2024•新城区二模）如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF． 【解答】证明：∵BC∥EF， ∴∠CBA＝∠FED， ∵AE＝DB， ∴AE+BE＝BD+BE， 即AB＝DE， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/6 21:05:27；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$