精品解析：北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

大兴区2023~2024学年度第二学期高二期中检测 数 学 2022.4 1．本试卷共页，共两部分，21道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设函数，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等比数列，若，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在定义域D内导数存在，且，则“”是“是的极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若数列满足，，则的值为 A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是函数的大致图象，则等于（ ） A. B. C. D. 9. “斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契数列”，为数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 和的等差中项是__________． 12. 已知一个物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则物体在到这段时间里的平均速度为__________；物体在时的瞬时速度为__________． 13. 设为等差数列前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为__________． 14. 对于数列，定义数列为数列“差数列”．若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则__________；数列的前项和__________． 15. 设函数. ①若，则的最大值为____________________； ②若无最大值，则实数的取值范围是_________________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 设为等差数列的前n项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）若，，成等比数列，求m值． 18. 已知数列是首项为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数，求证：当时，. 20. 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% （1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式; （2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 21. 已知函数． （1）求函数在区间上的最大值； （2）求函数零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大兴区2023~2024学年度第二学期高二期中检测 数 学 2022.4 1．本试卷共页，共两部分，21道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设函数，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义可求的值. 【详解】∵，且， ∴． 故选：A． 2. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可. 【详解】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：. 3. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：D 4. 已知数列是等比数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质运算即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以. 故选：. 5. 已知函数在定义域D内导数存在，且，则“”是“是的极值点”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先验证充分性，不妨设，在处有，但为单调递增函数，不是极值点；再验证必要性，即可得结果． 【详解】充分性：不妨设，则，在处有，但是，为单调递增函数，在处不是极值，故充分性不成立． 必要性：根据极值点性质可知，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点，因为函数在定义域内可导，所以不存在不可导的点，因此导数为零的点就是极值点，故必要性成立． 故选：B 6. 若数列满足，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，∴，，，∴，，，…，故该数列周期为3，∴，故选B 7. 已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出最小项为，再利用累加法，即可得出答案. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是， 又，，则， 所以的最小值是； 故选：A 8. 如图是函数的大致图象，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数表达式中有三个未知数，将图像与轴的三个交点代入表达式，可求出函数的表达式，是函数的两个极值点，通过求导，根据韦达定理得到的关系式，从而求出 【详解】由图可得：，代入函数表达式得：，解得：，所以：，，由图可得，是函数的两个极值点，令，则或，根据韦达定理得： ， 所以 故选：C 9. “斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契数列”，为数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斐波那契数列的定义，递推公式计算即可. 【详解】由题意可知：， 所以 ， 所以. 故选：B 10. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得．令，由函数有两个极值点在区间上有两个实数根，然后利用导数研究函数的性质进而即得. 【详解】因为，， 令， 函数有两个极值点，则区间上有两个实数根， 又，当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数单调递增， 令，解得，此时函数单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，， 要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故选：D. 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 和的等差中项是__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用等差中项概念性质求解即可. 【详解】运用等差中项概念性质知道，和的等差中项是. 故答案为：． 12. 已知一个物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则物体在到这段时间里的平均速度为__________；物体在时的瞬时速度为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平均变化率及瞬时变化率计算即可. 【详解】设，由题意可知， ，显然时，. 故答案为：8；12 13. 设为等差数列的前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为__________． 【答案】(答案不唯一，满足) 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的基本量计算可求得. 【详解】由题意知等差数列前和公式， 且，，， 解之可得，. 故答案为：(答案不唯一，满足) 14. 对于数列，定义数列为数列的“差数列”．若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则__________；数列的前项和__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，即可求出，再利用累加法求出数列的通项，再根据等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】由题意， 则， 当时， ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故答案为：；. 15. 设函数. ①若，则的最大值为____________________； ②若无最大值，则实数的取值范围是_________________. 【答案】2 【解析】 【分析】试题分析：如图，作出函数与直线 的图象，它们的交点是，由 ，知是函数 的极小值点， ①当时， ，由图象可知的最大值是 ； ②由图象知当时， 有最大值；只有当 时，，无最大值，所以所求 的取值范围是． 【考点】分段函数求最值,数形结合 【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 【详解】 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： 【小问2详解】 令，即得或， 令，则得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，，因为 ,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 17. 设为等差数列的前n项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）若，，成等比数列，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解； （2）结合等差数列的求和公式即可求解； （3）结合等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 ∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，． 【小问3详解】 ∵，，成等比数列，∴， 即，即，又因为， 解得. 18. 已知数列是首项为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： （1）求数列和的通项公式； （2）求数列前项和． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式，结合特殊项计算即可求各自通项； （2）若选①，利用错位相减法计算即可，若选②，利用裂项相消法计算即可，若选③，利用分组求和法计算即可. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为d， 则， 当时，，解得， 所以， 当时，， 即，解得， 所以； 【小问2详解】 若选择条件 由（1）可得，， 则， ， 两式相减，可得 所以． 若选择条件 由（1）可得，， 则 所以． 若选择条件 由（1）可得，， 则 所以． 19 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数，求证：当时，. 【答案】（1）极大值，无极小值． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值； （2），求出其导函数利用导函数的值来判断其在上的单调性，进而证得结论． 【小问1详解】 解：，． 令，解得． 2 0 单调递增 极大值 单调递减 在内是增函数，在内是减函数． 当时，取得极大值，无极小值． 【小问2详解】 证明：，， ． 当时，，，从而， ，在是增函数． ，即当时，． 20. 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% （1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式; （2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 【答案】（1）；（2）9 【解析】 【详解】（1）当时，数列是首项为4，公差为2的等差数列，， 当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又， 的表达式为 设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时， 当时，由， 该生产线前年每年平均的维护费用 当时，为递增数列， 当时，，也为递增数列， 又，，. 则第9年初需要更新该生产线. 21. 已知函数． （1）求函数在区间上的最大值； （2）求函数零点的个数． 【答案】（1） （2）有2个零点 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数在上的单调性，即可求得答案； （2）分区间讨论，结合函数的导数，判断函数的单调性，结合零点存在定理以及函数值的正负情况，即可判断出答案. 【小问1详解】 ∵， ∴， 令，则， ∵，∴，∴在上单调递增， 又，， 故存在唯一，使得， 则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故为在上的极小值， 又，，则， 故函数在区间上的最大值为. 【小问2详解】 函数的定义域是，， ①当时，∵，， ∴，∴在上单调递减， 又，∴，故此时的零点为； ②当时，由（1）知，，，， 且在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间有唯一零点，也即在上有唯一零点； ③当时，令，， 则， ∴在上单调递增， ∴， 又，故对任意，都有， ∴函数在区间上没有零点， 综上，函数有且仅有2个零点． 【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及函数的单调性、极值以及零点问题，解答的难点在于零点个数的判断，解答时要能结合导数判断函数的单调性以及函数值情况进行判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$