精品解析：湖北随州市随县第二高级中学2026届高三下学期五月阶段性监测数学试题

2026届高三下学期五月阶段性监测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】单调性解指数不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，且，所以. 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【详解】由，所以，，则. 故选：A 3. 已知是第一象限角，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是第一象限角，且， 所以，则，, 所以. 4. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数的定义计算即可. 【详解】由题意数据的平均数为. 故选：A. 5. 已知是函数的一条对称轴，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴过最值点可知，利用可求得，由此可得，代入即可. 【详解】由是函数的一条对称轴， 知， ∵， ， ， ， ， 又， ， ， . 故选：B. 6. 山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存年（）后的价值（元）满足函数（为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（ ） A. 2980元 B. 2880元 C. 2680元 D. 2480元 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以汾酒储存8年的价值元. 故选：B 7. 把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出小圆锥和圆台的高之比，则可得到小圆锥和圆台的母线之比及圆台上下底面半径之比，结合侧面积公式计算即可得解. 【详解】设圆锥与圆台的母线分别为、，圆台的上下底面半径分别为、， 小圆锥和圆台的高之比为，则有，即，， 则，，有， 即，整理得， 解得或（负值，舍去）. 故选：D. 8. 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立方程利用，得到，以及直线的方程，对两边求导得到，求得方程为，方程为，联立方程得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离为，，再利用面积公式求解即可. 【详解】设过的直线的方程为， 联立方程，得到， 不妨设， 由韦达定理得到， 因为，所以， 又因为，即 ， 所以，即， 所以，得到 即，解得，所以 即，解得，所以， 所以,得到， 所以直线的方程为，即. 对两边求导得到， 所以点的切线斜率， 所以方程为即， 同理可得方程为， 联立方程得到，解得， 所以点到直线的距离为， ， 所以 . 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是递减数列 B. C. 使时的最小值是21 D. 最小时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意首先得，进一步，由此即可判断AB，由等差数列求和公式有，由此即可判断CD. 【详解】已知等差数列的前项和为，，， 所以，所以， 所以，即是递增数列，故A错误； 而，所以，故B正确； 又，若，则， 所以使时的最小值是21，故C正确； ，又，所以最小时，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据离心率公式得到方程，求出；对于B，求出焦点坐标为和；对于C，代入可得，从而得到点不在双曲线；对于D，根据双曲线性质得到D正确. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由于，故焦点坐标为和，故B错误； 对于C，由，可得点不在双曲线上，故C错误； 对于D，由双曲线的性质，有，，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为0 B. 若且，则 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若是的三边，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断AB；利用函数定义域不对称判断C；利用函数单调性、结合放缩法与作差法判断D. 【详解】对于A，当时，函数， 当且仅当1，即时，等号成立， 所以函数的最小值为0，故A选项正确； 对于B，由，得， 即（当且仅当4时，等号成立），故B选项正确； 对于C，由的定义域为且，可知的定义域不关于点对称， 所以函数的图象不关于点中心对称，故C选项错误； 对于D，在上单调递增，是的三边， 则，， 所以，故D选项正确. 故选：ABD. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，，公比，则______. 【答案】 【解析】 【分析】等比数列的通项公式为，将题目已知条件代入中，即可求出项数n. 【详解】解：等比数列的通项公式为，得， 即 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式.解答此类题的关键是熟记数列的通项公式. 13. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】求解方程的根，即可分情况讨论求解. 【详解】令，得，令，解得或. 函数的零点只能从中产生. 要使恰有两个零点，分以下情况讨论： 1) 零点为和，需满足，解得. 2) 零点为和，需满足，即，解得. 3) 零点为和，需满足，即，该不等式组无解. 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】因，， 则在方向上的投影为 ， 因，则，故， 故在方向上的投影的取值范围是 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有. （1）求角A； （2）若D为BC中点，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换对题目所给等式进行化简，即可得解； （2）运用中线向量定理得，两边平方后，再运用基本不等式以及三角形的面积公式，即可得解. 【小问1详解】 ， ， 又因为， 故 ， 整理得， ，，， ，. 【小问2详解】 由题意知， 则， ，， （当且仅当时等号成立），， 面积的最大值为. 16. 如图，在平行六面体中，，，． （1）求的长； （2）求证：直线平面． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得； （2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直. 【小问1详解】 以，，为空间向量的基底， 则， 则； 【小问2详解】 由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 17. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若，证明：； （3）设函数，若有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】（1）在 上单调递增，在 上单调递减 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）构造函数，结合导数与单调性及最值的关系分别证明不等式的左边及右边，即可得证. （3）通过分离常数将原问题转化为方程有两个不同的实根的问题，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系作出简图，求出当时，的值，进一步讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， 由题意得，． 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 若，那么函数． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为 ． 左边：设，则 ， 所以在上单调递增，故 ，即； 右边：设 ，则 ， 因此函数在上单调递减，故 ，即 ． 综上，当时，. 【小问3详解】 由题意知 . ，是有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根． 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在 上单调递减，则， 且当时，，当时，． 则的大致图像如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，，则，且． 先考虑的情形： 此时，则，所以， 所以，此时． 当时，，，从而，不符合条件； 当时，，，从而，符合条件， 所以要使，必须，所以． 故的取值范围是． 18. 一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，若顾客成功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，其中获得30元的基础抵扣券的概率为，获得10元的基础抵扣券的概率为，且须继续参加第二轮活动；否则，不获得基础抵扣券，活动结束.若顾客成功通过第二轮活动，则可获得20元的进阶抵扣券.两种抵扣券可叠加使用购买该商品，且每位顾客只能参加一次竞猜活动.已知该商品每件的售价为150元，原进货成本为78元，商场承担所有抵扣券金额的50%，其余的由商品生产商承担. （1）若顾客成功通过第一轮活动的概率为，成功通过第二轮活动的概率为，记顾客购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为，且顾客甲至多购买一件该商品.假设顾客甲成功通过两轮活动后使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望（单位：元）为；顾客甲未成功通过第二轮活动使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望为.若，求的取值范围.定义：毛利润期望=顾客购买概率×（顾客实际支付金额的期望-原进货成本-商场承担的抵扣券成本的期望） 【答案】（1）分布列见上述，数学期望为. （2） 【解析】 【分析】（1）分析出的可能取值，再求出相应的概率，得到分布列，进而得到数学期望, （2）根据毛利润期望，分别求出，再根据题意列不等式求解即可. 【小问1详解】 顾客实际支付金额的所有可能取值为. . 若顾客通过第一轮、未通过第二轮，基础抵扣10元，则. 若顾客通过第一轮，未通过第二轮且基础30元，或通过两轮且基础10元，. 若顾客通过两轮，基础抵扣30元：. 因此的分布列为： 100 120 140 150 数学期望. 【小问2详解】 根据毛利润期望的定义：，其中为总抵扣额. ：总抵扣期望，单件利润期望为， 因此. ：总抵扣期望，单件利润期望为， 因此. 因为，即. 因为，所以的取值范围为. 19. 已知椭圆C：的两个焦点为和，，，为椭圆上不同三点，且，周长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线平分线段，记中点为，当为何值时，的面积最大？ （3）设直线PO与椭圆C的另一交点为T，直线PT，MQ，PM，TQ的斜率分别为，，，，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先可得，再由周长为求出，即可求出； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，表示出，再求出点的轨迹，由直线与其有公共点，得到，再换元求出面积的最大值，从而得解； （3）设，直线：，直线：，联立方程，消元、列出韦达定理，再由斜率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意，又周长为，即， 所以，则， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，由， 整理得， 则，， 所以， 又点到直线的距离， 所以 ， 因为点为的中点，设，则， 所以，所以，即点的轨迹为， 由，消去整理得， 所以，则， 令，则， 所以， 所以当时的面积取最大值， 此时，则，即为的中点，即； 【小问3详解】 设，直线：， 由，整理得，则，； 设直线：， 由，整理得， 所以，； 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期五月阶段性监测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知是第一象限角，且，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是函数的一条对称轴，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存年（）后的价值（元）满足函数（为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（ ） A. 2980元 B. 2880元 C. 2680元 D. 2480元 7. 把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是递减数列 B. C. 使时的最小值是21 D. 最小时， 10. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为0 B. 若且，则 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若是的三边，则 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，，公比，则______. 13. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______. 14. 已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有. （1）求角A； （2）若D为BC中点，且，求面积的最大值. 16. 如图，在平行六面体中，，，． （1）求的长； （2）求证：直线平面． 17. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若，证明：； （3）设函数 ，若有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 18. 一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，若顾客成功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，其中获得30元的基础抵扣券的概率为，获得10元的基础抵扣券的概率为，且须继续参加第二轮活动；否则，不获得基础抵扣券，活动结束.若顾客成功通过第二轮活动，则可获得20元的进阶抵扣券.两种抵扣券可叠加使用购买该商品，且每位顾客只能参加一次竞猜活动.已知该商品每件的售价为150元，原进货成本为78元，商场承担所有抵扣券金额的50%，其余的由商品生产商承担. （1）若顾客成功通过第一轮活动的概率为，成功通过第二轮活动的概率为，记顾客购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为，且顾客甲至多购买一件该商品.假设顾客甲成功通过两轮活动后使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望（单位：元）为；顾客甲未成功通过第二轮活动使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望为.若，求的取值范围.定义：毛利润期望=顾客购买概率×（顾客实际支付金额的期望-原进货成本-商场承担的抵扣券成本的期望） 19. 已知椭圆C：的两个焦点为和，，，为椭圆上不同三点，且，周长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线平分线段，记中点为，当为何值时，的面积最大？ （3）设直线PO与椭圆C的另一交点为T，直线PT，MQ，PM，TQ的斜率分别为，，，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $