精品解析：天津市河北区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷

河北区2023-2024学年度第二学期期中高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 2. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数的实部与虚部，写出结果即可． 【详解】的虚部为3，所求复数实部为3， ，即的实部为，所求复数的虚部为． 所求复数为． 故选：C． 3. 若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）． A. 内的所有直线与a是异面直线 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与a平行 D. 内的所有直线与a都相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误. D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误. BC，若存在，则由于， 所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误. 故选：B 4. 如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由斜二测画法的规则可知：平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图，即可选出答案． 【详解】设直观图中与轴和轴的交点分别为和， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点， 再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变， 作出原图得四边形 故选：B． 【点睛】 5. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）. A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求出圆锥底面半径和母线,根据侧面积公式即可求解. 【详解】如图所示为该圆锥轴截面,    由题意,底面圆半径,母线, 所以侧面积. 故选：C. 6. 在中，角所对的边分别为，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，可求. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故选：D. 7. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据数形结合得出复数的坐标，再根据坐标求出模长即可. 【详解】如图可得, 所以, 所以. 故选：A. 8. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简整理得到，进而得到，可得，即可确定三角形形状． 【详解】已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，即， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 则或， 因为， 所以，所以为等腰三角形或直角三角形． 故：B． 9. 已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ） A. 外心，重心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 重心，外心，内心 D. 外心，重心，垂心 【答案】B 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】由，可得到三个顶点的距离相等，所以为的外心； 因为，所以，为的中点， 所以所在直线经过中点，与中线共线， 同理可得，分别与边的中线共线，所以是三角形中三条中线的交点，所以是重心； 因为，所以， 所以，所以，所以， 同理得到另外两个向量都与相应边垂直，得到是三角形的垂心. 故选：B. 10. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理可求，在中，利用正弦定理可求，在中，根据余弦定理即可求解的值． 【详解】在中，，， 由正弦定理可得， 在中，，， 在中，， 可得． 故选：C． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 已知是虚数单位，化简的结果为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数乘除运算法则计算即可求得结论. 【详解】. 故答案：. 12. 一个正方体的表面积为96，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是______. 【答案】## 【解析】 【分析】依次求得正方体的棱长及正方体内切球的半径，结合球的体积公式即可得解. 【详解】设正方体的棱长为，其内切球的半径为， 则，所以， 故所求为. 故答案为：. 13. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由求，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得，又，，， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知向量且，，若向量与向量的夹角是，则的值是______；向量在向量上的投影向量的坐标是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知条件，结合投影向量公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解. 【详解】向量且，， 则， 故，解得； 向量在向量上投影向量是： . 故答案为：①；②. 15. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为______；四棱锥的表面积是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的体积、表面积公式即可求解. 【详解】第一空：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 顶点到底面四边形的距离为， 由四棱锥的体积公式可得：. 第二空：如图所示： 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出所求四棱锥的特征，进一步结合对称性，求出表面积、体积公式中相应的长度或者面积，由此即可顺利得解. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 设，向量，，，且，. （1）求，的值； （2）求及结果； （3）已知点，若向量与共线，，求点的坐标. 【答案】（1） （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）利用向量的数量积的坐标运算可求解； （3）设，利用已知可求，进而可求的坐标. 【小问1详解】 由，，得， 解得， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， . 【小问3详解】 由题意可设，得到. 因为， 所以， 解得或. 当时，，由点，得到. 当时，，由点，得到. 17. 已知复数，其中. （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若，求的值； （4）若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数类型求参； （3）根据共轭复数的定义得出复数再应用复数相等求参； （4）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由，得， 解得或. 【小问2详解】 由是纯虚数，得 解得， 所以. 【小问3详解】 由，可知， 得到 解得， 所以. 【小问4详解】 由对应的点在第一象限，得. 解得且 所以的取值范围为 18. 如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，. （1）若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）（i），；（ii）3，；；. （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据向量的线性运算即可求得；（ii）由向量数量积的性质及运算即可求得； （2）由数量积结合二次函数即可求得. 【小问1详解】 （i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； 【小问2详解】 ， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. 19. 已知中的内角所对的边分别为，且，，，的面积是9. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由三角形面积可求，进而可得，利用余弦定理可求； （2）由正弦定理可求； （3）由（2）可得，进而可求得，利用三角恒等变换可求值. 【小问1详解】 在中，由，，的面积是9， 可知，得到， 因为，则为锐角，可得， 由已知及余弦定理，有， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理，得. 【小问3详解】 由（2）及，得为锐角，则， 所以， . 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北区2023-2024学年度第二学期期中高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 2. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ） A B. C. D. 3. 若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）． A. 内的所有直线与a是异面直线 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与a平行 D. 内的所有直线与a都相交 4. 如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（ ） A. B. C. D. 5. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）. A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 6. 在中，角所对的边分别为，已知，，，则等于（ ） A B. C. D. 7. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 9. 已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ） A. 外心，重心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 重心，外心，内心 D. 外心，重心，垂心 10. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 已知是虚数单位，化简结果为______. 12. 一个正方体的表面积为96，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是______. 13. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则______. 14. 已知向量且，，若向量与向量的夹角是，则的值是______；向量在向量上的投影向量的坐标是______. 15. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为______；四棱锥的表面积是______. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 设，向量，，，且，. （1）求，的值； （2）求及的结果； （3）已知点，若向量与共线，，求点的坐标. 17. 已知复数，其中. （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求值； （3）若，求的值； （4）若对应的点在第一象限，求的取值范围. 18. 如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，. （1）若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； （2）求的取值范围. 19. 已知中的内角所对的边分别为，且，，，的面积是9. （1）求值； （2）求的值； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$