2023-2024学年北京九年级上学期期末数学分类汇编：圆综合（解答题）

2023-2024学年北京九年级上学期期末数学 分类汇编：圆综合（解答题） 知识点：圆的基本性质、圆周角定理、切线的性质和判定等 1、（2023-2024北京海淀九上期末第25题）如图，为半圆的直径，点，在半圆上，直线与半圆相切于点，． （1）若，求的大小（用含的式子表示）； （2）过点O作OECD交CM于点E，交CD于点F，若CD//AB，AB=6，求CE的长． 2、（2023-2024北京东城九上期末第24题）如图，为⊙O的直径，点在⊙O上，的平分线交⊙O于点，过点D作DE//AB，交的延长线于点． （1）求证：直线是⊙O的切线； （2）若，．求CD的长． 3、（2023-2024北京丰台九上期末第21题）如图，是⊙O上的两点，是AB的中点，求证；四边形是菱形． 4、（2023-2024北京丰台九上期末第24题）如图，中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DEAC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若为等边三角形，，求半径的长． 5、（2023-2024北京石景山九上期末第24题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AB＝5，，求CE的长． 6、（2023-2024北京朝阳九上期末第24题）如图，是圆内接四边形的对角线，于点平分． （1）求的度数； （2）点在的延长线上，是该圆的切线． ①求证：是该圆的切线； ②若，直接写出的长． 7、（2023-2024北京通州九上期末第23题）如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E． （1）求证：点D为AB的中点； （2）求证：AD＝DE． 8、（2023-2024北京通州九上期末第25题）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF//AB交CO的延长线于点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，，求DF的长． 9、（2023-2024北京西城九上期末第22题）如图，是的弦，半径，垂足为．，，求的半径． 10、（2023-2024北京西城九上期末第28题）如图，在平面直角坐标系中，点，．对于一个角（），将一个图形先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，称为一次“对称旋转”． （1）点在线段上，则在点，，，中，有可能是由点经过一次“对称旋转”后得到的点是________； （2）轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点． ①当时，________； ②当时，若轴，求点的坐标； （3）以点为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“对称旋转”后得到的点在轴上，直接写出的取值范围． 11、（2023-2024北京平谷九上期末第24题）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，连接AC、AD，过点A作⊙O的切线与∠ADC的平分线相交于点E，DE交AC于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接AM． （1）求证：AC＝AD； （2）若，CD＝4，求AF长． 12、（2023-2024北京密云九上期末第18题）下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程． 已知：平行四边形ABCD． 求作：AE⊥BC，垂足为E． 作法：如图1，2所示， ①连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线PQ，交AC于点O； ③以点O为圆心，OA长为半径作圆，交线段BC于点E（点E不与点C重合），连接AE．所以线段AE就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵AP＝CP，AQ＝　 　， ∴点P、Q都在线段AC的垂直平分线上， ∴直线PQ为线段AC的垂直平分线， ∴O为AC中点， ∵AC为直径，⊙O与线段BC交于点E， ∴∠AEC＝　 　°，（ 　 　）（填推理的依据）， ∴AE⊥BC． 13、（2023-2024北京密云九上期末第24题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的平行线交BC延长线于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，AD＝6，求线段CD的长． 14、（2023-2024北京北师大实验中学九上期末第18题）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 15、（2023-2024北京门头沟九上期末第19题）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，⊙O及圆外一点P． 求作：过点P作⊙O的一条切线． 作法：①连接OP； ②作OP的垂直平分线，交OP于点A； ③以A为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于点B； ④作直线PB． 即直线PB为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）该作图中．可以得到∠OBP=________°； 依据：____________________. 16、（2023-2024北京昌平九上期末第24题）如图，AB是的直径，点C在上，点D为的中点，过点D作的切线，交BC延长线于点P，连接OD交AC于点E． （1）求证：四边形DECP是矩形； （2）作射线AD交BC的延长线于点F，若，，求DF的长． 17、（2023-2024北京门头沟九上期末第25题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O 切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F. （1）求证：∠BAD=∠DAE； （2）若AB=6，AD=5，求DF的长. 18、（2023-2024北京北师大实验中学九上期末第24题）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：为O的切线； （2）若OD=1且BD=BF，求O的半径． 19、（2023-2024北京燕山九上期末第24题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：AF＝AD； （2）若CE＝4，CF＝2，求⊙O的半径． 20、（2023-2024北京大兴九上期末第21题）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径． 21、（2023-2024北京大兴九上期末第24题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作直线CE交OD延长线于点E，使得∠E＝∠B． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）若DE＝6，，求OD的长． 22、（2023-2024北京汇文中学九上期末第25题）如图，是 的外接圆，是 的直径，，，为的延长线与的交点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和长． 23、（2023-2024北京房山九上期末第24题）如图，AB是的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且，的切线AE与DC的延长线交于点E. （1）求证：CD是的切线； （2）若的半径为2，，求AE的长. 参考答案 1、【答案】（1） （2） 【解析】 （1）∵， ∴， ∴． （2）根据(1)的证明，得， ∵，， ∴， ∵直线与半圆相切于点， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， 解得． 2、【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 （1）证明，如图，连接． 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， ． 在中，， 根据勾股定理，得， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ． 3、【答案】见解析 【解析】证明：连接OC，∵C是的中点， ∴＝，又∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°， 又∵OA＝OC＝OB， ∴△AOC与△BOC均是等边三角形， ∴OA＝AC＝OC，BO＝OC＝BC， ∴OA＝AC＝BC＝OB， ∴四边形OACB是菱形． 4、【答案】（1）见详解 （2）半径的长为 【解析】 （1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴ ∴， ∴． ∴半径的长为2． 5、【答案】（1）证明：连接AD， ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠BAD＝∠BAC， ∵∠CBF＝∠BAC， ∴∠CBF＝∠BAD， ∵∠BAD+∠ABC＝90°， ∴∠CBF+∠ABC＝90°， ∴直径AB⊥BF， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：∵，∠CBF＝∠BAD， ∴tan∠BAD＝tan∠CAD＝， ∴设BD＝x，则AD＝2x， ∴AB＝＝， ∵AB＝5， ∴AD＝2，BD＝， ∴BC＝2， ∵∠CBE＝∠CAD， ∴， 设CE＝k，BE＝2k， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴， 解得k＝2， 即CE的长为2． 6、【答案】（1）解：平分， ． ， ． ， ． ． ． （2）①证明：如图，取的中点，连接． ， 是该圆的直径． 点是该圆的圆心． 是的切线， ． ， ． ， ． ． 是的切线． ②3． 7、【答案】证明：（1）连接CD，如图， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB， ∵CA＝CB， ∴AD＝BD，即点D为AB的中点； （2）∵四边形BCED为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠DEC＝180°， 而∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠AED＝∠B， ∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B， ∴∠A＝∠AED， ∴AD＝DE． 8、【答案】（1）证明：连接OD，如图， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD， ∴， ∴∠AOD＝∠BOD＝180°＝90°， ∴DO⊥AB． ∵DF∥AB， ∴OD⊥DF． ∵DF为⊙O的半径， ∴直线DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°． ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BOC＝60°． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中， ∵cos∠BAC＝， ∴AB＝＝8， ∴OD＝AB＝4， 在Rt△ODF中， ∵tanF＝， ∴DF＝＝． 9、【答案】 【解析】解：连接，在优弧上取一点，连接，如图所示： 四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， 是的弦，半径，垂足为，， 由垂径定理可知，，， 在中，，设，则，由勾股定理可知，解得， 的半径为． 10、【答案】（1）、 （2）①2；② （3）或 【解析】 （1）解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，如图所示： 不是由点经过一次“对称旋转”后得到的点； 同理可得是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点经过一次“对称旋转”后得到的点； 故答案为：、； （2）解∶①令点P绕点顺时针旋转得到点，连接， ∵经过一次“对称旋转”得到时， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 故答案为：2； ②经过一次“对称旋转”得到时，由题意作图，如图所示： 则 轴， ，则， ， ，， ，则，， ， ，则； （3）解：设点经过一次“对称旋转”后得到的点为点， ∵点M先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转得到点， ∴点先绕点顺时针旋转，再绕点S逆时针旋转得到点M， ∵点在x轴上， ∴将x轴先绕点顺时针旋转得到，再绕点S逆时针旋转得到， ①当时， 令和相交于G，连接，过点S作的垂线，垂足为点H， 由旋转的性质可得：， ∵为直径， ∴，即， ∴， ∵，，绕点S逆时针旋转得到， ∴， ∵点M再上， ∴与有公共点， ∴， 即， ， ∴； ②当时， ∵x轴先绕点顺时针旋转得到，再绕点S逆时针旋转得到， ∴，则， 同理可得：， 则， ∴， 整理得：， 综上：或． 11、【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H， ∴CH＝DH， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD． （2）解：∵CD＝4， ∴CH＝DH＝CD＝2， ∵∠AHC＝90°，∠ACD＝∠AMD， ∴＝tan∠ACD＝tan∠AMD＝2， ∴AH＝2CH＝2×2＝4， ∴AC＝AD＝＝＝6， ∴AE与⊙O相切于点A， ∴AE⊥AB， ∴AE∥CD， ∴△AEF∽△CDF，∠E＝∠CDE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠E＝∠ADE， ∴AE＝AD＝6， ∴＝＝＝， ∴AF＝AC＝AC＝×6＝， ∴AF的长是． 12、【答案】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接AP，PC，AQ，QC， ∵AP＝CP，AQ＝CQ， ∴点P、Q都在线段AC的垂直平分线上， ∴直线PQ为线段AC的垂直平分线， ∴O为AC中点， ∵AC为直径，⊙O与线段BC交于点E， ∴∠AEC＝90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴AE⊥BC． 故答案为：CQ，90，直径所对的圆周角是直角． 13、【答案】（1）证明：连接OA，如图， ∵∠COA＝2∠ABC，∠ABC＝45°， ∴∠COA＝90°． ∵CO∥DA， ∴∠COA+∠OAD＝180°， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥DA， ∵OA为⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：过点C作CH⊥AD于点H， ∵∠COA＝∠OAH＝∠CHA＝90°， ∴四边形OAHC是矩形， ∵OA＝OC＝4， ∴四边形OAHC是正方形， ∴AH＝HC＝OA＝4， ∵AD＝6， ∴∠＝DH＝AD﹣AH＝6﹣4＝2， ∴CD＝＝＝2． 14、【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求； （2）证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC=90°（圆周角定理）， ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（切线的判定）． 故答案为：圆周角定理；切线的判定． 15、【答案】（1）如图，补全图形 理由: 连接OB，OA = PA，且OA为⊙A的半径， ∴OP为⊙A的直径, ∴∠OBP = 90 ∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB ∴直线PB为⊙O的切线 （2）∵直径所对的圆周角等于90°，OP为⊙A的直径， ∴∠OBP = 90 故答案为: 90，直径所对的圆周角等于90° 16、【答案】证明：（1）连接OC ∵AB为直径，C为上一点，∴，∴， ∵点D为的中点，∴，∴， ∵，∴，∵DP是的切线，D为切点， ∴，∴四边形DECP是矩形． （2）如图补全图形，在中，，， ∴，，∵，∴， 在中，，，∴，∴， 在中，，，∴， ∵矩形DECP对边平行，∴， ∴，∴． 17、【答案】解：（1）连接OD， ∵ED为⊙O的切线， ∴OD⊥ED． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°. ∵BC∥ED, ∴∠ACB=∠E=∠EDO. ∴AE∥OD. ∴∠DAE=∠ADO. ∵OA=OD, ∴∠BAD=∠ADO. ∴∠BAD=∠DAE （2）连接BD， ∴∠ADB=90°. ∵AB=6，AD=5， ∴BD= ∵∠BAD=∠DAE=∠CBD ， ∴tan∠CBD = tan∠BAD= 在Rt△BDF中， ∴DF=BD·tan∠CBD = 18、【答案】（1）见解析 （2）的半径为3 【解析】 （1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 解得，或（舍去）， ∴⊙O的半径为3 19、【答案】（1）证明：连接OE， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， ∵BC是⊙O的切线， ∴OE⊥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠AFD＝∠OED＝∠ODE， ∴AF＝AD； （2）解：连接AE， ∵AD是直径， ∴∠ADE＝∠AEF＝90°， ∴∠F+∠FAE＝90°＝∠F+∠FEC， ∴∠FAE＝∠FEC， 又∵∠FCE＝∠ACE＝90°， ∴△CEF∽△CAE， ∴， ∴， ∴AC＝8， ∴AF＝AD＝10， ∴AO＝OD＝5， ∴⊙O的半径为5． 20、【答案】解：连接OA，OB， ∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝2∠C＝90°， 在Rt△AOB中， OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB， ∴2OA2＝4， OA2＝2， ∴OA＝ （舍负）， ∴⊙O的半径是 ． 21、【答案】（1）证明：连接OC． ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB． ∵∠E＝∠B， ∴∠E＝∠OCB， ∵OD⊥BC， ∴∠E+∠DCE＝90°． ∴∠OCB+∠DCE＝90°， ∴∠OCE＝90°， 即OC⊥CE． ∵OC是半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵OD⊥BC， ∴∠CDE＝90°， 在Rt△CDE 中，DE＝6，， ∴． ∵OE⊥BC， ∴BC＝2CD＝6． ∴DE＝BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝∠ACB． 在△ABC与△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（ASA）． ∴AC＝CD＝3． ∵O是AB的中点，D是BC的中点， ∴． 22、【答案】（1）证明见解析； （2）的长为，． 【解析】 （1）证明：连接并延长交于点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的半径，且， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴的长为， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：． 23、（1）证明：连接. ∵， ∴. 又∵， ∴. ∵是⊙的直径， ∴. ∴. 又∵是半径，经过⊙的半径外端. ∴是⊙的切线. （2）解：在△中， ∵，，， ∴. ∴. ∵是⊙的切线，切点为， ∴. 在△中， ∵，，， ∴AE=ADtan30°=6=2 学科网（北京）股份有限公司 $$