2025年中考数学大复习 讲义 第11讲 反比例函数的图象、性质及应用

第11讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录 学科网（北京）股份有限公司 考点一 反比例函数的相关概念 题型01 用反比例函数描述数量关系 题型02 判断反比例函数 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 考点二 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数图象 题型02 反比例函数点的坐标特征 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 题型04 由反比例函数解析式判断其性质 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值 题型06 判断反比例函数经过象限 题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 题型08 已知反比例函数增减性，求k值 题型09 由反比例函数的性质比较大小 题型10 求反比例函数解析式 题型11 与反比例函数有关的规律探究问题 考点三 反比例系数k的几何意义 考点四 反比例函数与一次函数综合 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 题型02 一次函数与反比例函数交点问题 题型03 一次函数与反比例函数综合应用 题型04几何综合题问题 学科网（北京）股份有限公司 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 1. 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. 2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k. 题型01 用反比例函数描述数量关系 【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（    ）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】C 【分析】根据杠杆平衡条件：，并结合题意可得左侧是定值，从而进行判断． 【详解】由杠杆平衡条件：， ∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡， ∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系． 故选：C 【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键． 【变式1-1】（2023·浙江·统考中考真题）如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（    ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】A 【分析】根据压力压强受力面积之间的关系即可求出答案. 【详解】解：假设为， 为， . ， . 故选：A. 【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及越大，越小 【变式1-2】（2023·湖北随州·统考中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键． 题型02 根据反比例函数的定义求字母的值 【例2】（2023·山西阳泉·统考二模）若点在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，列式计算即可． 【详解】解：∵点在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于，是解题的关键． 【变式2-1】（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入，求出的值，再根据，即可求出的取值范围． 【详解】反比例函数的图象经过点， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键． 【变式2-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】2 【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与解析式的关系是解题的关键． 【变式2-3】（2023·云南·统考中考真题）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入反比例函数，即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 在反比例函数中，k≠0与x的指数为-1这两个条件必须同时具备，解决此类问题的容易忽略k≠0的条件，从而得出错误答案. 考点二 反比例函数的图象与性质 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 题型01 判断反比例函数图象 【例1】（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）下列四个函数图象中，的大致图象（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表，描点，连线，即可画出函数图像，从而判断． 【详解】解：列表： x … 1 2 3 … y … 2 … 画图如下： 故选C． 【点睛】本题考查了函数图像，解题的关键是能根据函数图像的画法画出草图． 【变式1-1】（2023·山东潍坊·统考二模）定义新运算：，例如：，，则的图象是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意可得函数关系式，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案． 【详解】解：由题意得：， 当时，反比例函数在第一象限， 当时，反比例函数在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此B选项符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线． 【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形中，是对角线，，，垂足分别为E、F，已知，且，设，，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（    ）    A．   B．   C．  D．   【答案】C 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出． 【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 …   (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①减小；②右；2；③ 【分析】（1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴， 故答案为； （2）函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称； 故答案为：①减小；②右；2；③． 【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． 题型02 反比例函数点的坐标特征 【例2】（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 【变式2-1】（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴点A和点B关于原点对称， 把代入到中得：， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键． 【变式2-3】（2023·安徽滁州·校考一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点， ∴这个函数图象的另一个交点为， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键． 【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称． 【详解】∵已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴交点坐标为 ∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴该点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． 【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点．若点，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：将带入到中，得m=4，则 ∵点A和点B关于原点对称 ∴点B坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称． 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断． 【详解】解：根据反比例函数的图象可得： 第一象限所对应的关系式为：，第四象限所对应的关系式为：， 与的关系式为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象． 【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案． 【详解】解：∵对于点，若，则称点P为“同号点”． 而某函数图象上不存在“同号点”， ∴函数图象不在第一，第三象限， ∴其函数表达式可以是； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别是解本题的关键． 题型04 由反比例函数解析式判断其性质 【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象性质进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意； B、∵，∴，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意； C、反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意； D、当时，则，∴函数图象经过点，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，当，反比例函数经过第一、三象限；当，反比例函数经过第二、四象限；难度较小． 【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数的图象与性质，下列结论中不正确的是（    ） A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．当时，该函数的图象在第二、四象限 C．该函数的图象与直线有且只有两个交点 D．当时，函数值随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，判断作答即可． 【详解】解：由反比例函数的图象与性质可知，的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，A正确，故不符合要求； 当时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求； 联立方程得，，即，整理得，， ∴， ∴该函数的图象与直线有且只有两个交点，C正确，故不符合要求； 当时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值随的增大而减小，D错误，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值 【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解． 【详解】解：由图可知：当时，，即，则， 当时，，即，则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 【变式5-1】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（    ）    A． B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是3； 故选：C. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出是解题的关键. 题型06 判断反比例函数经过象限 【例6】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数（k≠0），当时，，则它的图象一定在（　　） A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二象限 D．三，四象限 【答案】B 【分析】由反比例函数的增减性可判断解析式中的k值，再由k值可确定图象所在的象限． 【详解】解：∵反比例函数，当时，， 即当时，y随x的增大而增大，故， ∴它的图象一定在二，四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的增减性与参数k、所在象限的关系，解题的关键是熟知反比例函数的相关知识点． 【变式6-1】（2023·湖南永州·统考二模）当时，反比例函数的图象位于（   ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】B 【分析】求出即可根据反比例函数图象与系数的关系求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数的图象的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】直接根据反比例函数的图象性质进行判断． 【详解】解：由，可知反比例函数的图象在一、三象限． A. 反比例函数的图象在一、二象限．故选项A不符合题意； B. 反比例函数的图象与坐标轴相交，错误．故选项B不符合题意； C. 反比例函数的图象在一、三象限．正确，故选项C符合题意； D. 反比例函数的图象在二、四象限．错误，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 题型07 已知反比例函数增减性求值 【例7】（2023·湖北武汉·统考三模）若点和在的图象上，若，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质和增减性，结合点的横纵坐标的大小关系，得到关于的不等式组，解之即可. 【详解】∵， ∴图象在第一、三象限，且在每一个象限，随的增大而减小， ∵， ∴（1）如图，    有，解得：， （2）如图，不符合题意，    （3）如图，    有，解得：， ∴综上所述：的取值范围是或， 故选：． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键正确掌握反比例函数的性质和增减性． 【变式7-1】（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 【变式7-2】（2023·安徽芜湖·统考二模）已知函数，当时，函数的最大值为a，函数的最小值为，则k＝ ． 【答案】2 【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 则：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键． 【变式7-3】（2023·陕西咸阳·二模）已知反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，且当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，进而根据当时，函数的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大， ∴， ∵当时，函数的最大值和最小值之差为4， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型08 由反比例函数的性质比较大小 【例8】（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 【变式8-1】（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 【变式8-2】（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 【变式8-3】（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 题型9 求反比例函数解析式 【例9】（2023·陕西商洛·统考二模）已知与是反比例函数图象上的两个点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数中的特点进行解答即可． 【详解】解：∵与是反比例函数图象上的两个点， ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解题的关键． 【变式9-1】（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【变式9-2】（2023·广东广州·校考一模）反比例函数的图象上有一点，且a、b是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据点在反比例函数的图象上求出即可． 【详解】解：a、b是方程的两根， 则有， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 【变式9-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数的图象经过，、三点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过， ∴ 解得：， ∴ ∴反比例数解析式为， 将点代入得，，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【变式9-4】（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，点在反比例函数图象上．一次函数的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且与的面积比为．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为或；(2)当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或 【分析】（1）将代入得，，解得，可得反比例函数解析式为；当，，则，，当，，则，，由与的面积比为，可得，整理得，即，解得或，当时，将代入得，，解得，则；当时，将代入得，，解得，则； （2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为时，如图1，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可；②当一次函数解析式为时，如图2，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得，，解得， ∴反比例函数解析式为； 当，，则，， 当，，则，， ∵与的面积比为， ∴，整理得，即，解得或， 当时，将代入得，，解得，则； 当时，将代入得，，解得，则； 综上，一次函数解析式为或； ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为或； （2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解： ①当一次函数解析式为时，如图1，    联立，解得或， 由函数图象可知，时，x的取值范围为或； ②当一次函数解析式为时，如图2，    联立，解得或， 由函数图象可知，时，x的取值范围为或； 综上，当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型10 与反比例函数有关的规律探究问题 【例10】（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则___________．    【答案】 【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值． 【详解】当时，的纵坐标为8， 当时，的纵坐标为4， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出． 【变式10-1】（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出，得到，，，进而求出，得到，则，根据梯形面积公式求出，再分别求出 ，，进而得到规律，，则． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知，，， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】（2021上·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有____个，这些边整点落在函数的图象上的概率是 ． 【答案】 【分析】利用整点的个数与正方形的序号数的关系可得到第四个正方形有4×4个边整点，第五个正方形有5×4个边整点，则可计算出其边整点的个数为60个，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定这些边整点落在函数的图象上的个数，再利用概率公式求解． 【详解】解：第一个正方形有1×4个边整点， 第二个正方形有2×4个边整点， 第三个正方形有3×4个边整点， 第四个正方形有4×4个边整点， 第五个正方形有5×4个边整点， 所以其边整点的个数共有 4+8+12+16+20=60个， 这些边整点落在函数的图象上的有（1，4），（4，1），（2，2），（-1，-4），（-4，-1），（-2，-2）， 所以些边整点落在函数的图象上的概率=． 故答案为60，． 【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，利用例举法得到所有等可能的结果数为n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了解决规律型问题的方法和反比例函数图象上点的坐标特征． 【变式10-3】（2020上·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，等边三角形，，，的边，， ，在轴上，顶点，， ，在反比例函数的图象上．    （1）第1个等边三角形的周长______；第2个等边三角形的周长______；第3个等边三角形的周长______；； （2）根据（1）的规律，猜想第（是正整数）个等边三角形的周长______； （3）计算：． 【答案】（1）12；；；（2）；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质可设，然后把点D1的坐标代入中即可求出m，于是可求得第一个等边三角形的边长，进而可得第一个三角形的周长；然后设出与D3的坐标，同样的方法即可求出第二个、第三个三角形的周长与； （2）根据（1）题所得的结果解答即可； （3）按照（2）题的规律和二次根式的加减法则求解即可． 【详解】解：（1）由是等边三角形，故可设， ∴，∴（舍去）， ∴，即第一个三角形的周长； 设， ∴，解得（舍去）， ∴，即第二个三角形的周长； 设， ∴，解得（舍去）， 即第三个三角形的周长； 故答案为：12；；； （2）根据（1）的规律，猜想第（是正整数）个等边三角形的周长； 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、等边三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握上述知识、找到规律是解题的关键． 考点三 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 以下题型均包括两种类型：已知比例系数求特殊图形面积、以及图形面积求比例系数 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 【变式1-1】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即． 【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，    ∵与的图象交于点， ∴把代入，得出， ∴， 把代入， 解得， ∴， 设， 在， ∴， ∵点B为y轴上一点，将沿翻折， ∴，， ∴， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式1-4】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 【变式1-5】（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式1-6】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点P．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-7】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，分别过点，作轴的垂线．已知，则阴影部分面积为（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，轴于点， 轴于点 ∵反比例函数 ∴， ∵， ∴阴影部分的面积 ∴阴影部分面积为3， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 考点四 反比例函数与一次函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 【例1】（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 【变式1-1】（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线与直线交于，两点．点和点在双曲线上，点为轴正半轴上的一点． （1）求双曲线的表达式和，的值； （2）请直接写出使得的的取值范围； （3）若的面积为12，求此时点的坐标． 【分析】（1）把点和点代入，求出与的值，再将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式； （2）根据与横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时的范围即可； （3）根据，求出的长，进而得到此时点的坐标． 【解答】解：（1）直线过点和点， ，， ． 双曲线过点， ， 双曲线的表达式为； （2）观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值， 即使得的的取值范围是或； （3），， ， ， ， 此时点的坐标为． 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键． 【变式1-2】（（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)；；(2)或；(3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图像位置关系即可得解； （3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足， ∴不等式的解集为或； （3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、， 设，则， ∴， 则， ， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ∴， 即点的坐标为．    如图，过作轴于点，过作轴于点，设，    由（1）得：，， ∴，， ∴，，， 则 ， ， ∴， 即点的坐标为， 综上所述：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键． 【变式1-3】（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 题型02 一次函数与反比例函数交点问题 【例2】（2023·浙江·模拟预测）若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 【详解】解：如图：    设点A的坐标为，则， 故的面积为， 与同底等高， ， 故选：A． 【点睛】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即． 【变式2-1】（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．    【答案】 【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答． 【详解】解：把代入，可得，解得， 反比例函数解析式， 如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，    ， ， ， ， 将直线向上平移若干个单位长度交轴于点， , 在中，， ， 即点C的横坐标为， 把代入，可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键． 【变式2-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．    (1)求反比例函数的表达式： (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或；(3)或 【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； （2）解：联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， ∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，或； （3）解：如图所示，设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为或．    【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 【变式2-3】（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)；；(2)或；(3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图像位置关系即可得解； （3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足， ∴不等式的解集为或； （3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、， 设，则， ∴， 则， ， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ∴， 即点的坐标为．    如图，过作轴于点，过作轴于点，设，    由（1）得：，， ∴，， ∴，，， 则 ， ， ∴， 即点的坐标为， 综上所述：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键． 【变式2-4】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．    (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键； （1）根据题意可得，即有，问题随之得解； （2）表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可； （3）若与y轴相交于点C，可得，则，根据，问题即可得解． 【详解】（1）由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入得， ∴， ∴； （2）由图象可知自变量x的取值范围为或 （3）若与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴．    【变式2-5】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 【变式2-6】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． (1)求，的值； (2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值； （2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上， ∴，解得， 将代入， ； （2）解：如图，过点C作轴于点F， ， ，， ， ， ，， ∵直线向上平移m个单位长度得到， 令，得，令，得， ，， ，， ， 双曲线过点C， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键． 题型03 一次函数与反比例函数综合应用 【例3】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1)和； (2)； (3)或． 【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解； （）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解； （）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解； 本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或． 【变式3-1】（2024·湖北·中考真题）一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想． （1）利用一次函数经过点，点，列式计算求得，，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点，点， ∴， 解得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴； （2）解：∵点，点， ∴， ∴，， 由题意得， ∴， ∴， ∴的横坐标的取值范围为． 【变式3-2】（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 题型04几何综合题问题 【例4】（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．    (1)求直线和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为；(2)6 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：∵直线的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【变式4-1】（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．    (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； (2)若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)；；(2)或 【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可． （2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可． 【详解】（1）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， ∴， 解得， 故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式． （2）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， 根据反比例函数图象的中心对称性质， ∴，设， 根据题意，得， ∴， 解得或， 故点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键． 【变式4-2】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)，；(2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-3】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；(2)点C的坐标为或；(3)点P的坐标为；m的值为3 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，    令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l得解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． 习题训练 1．（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数的图象与反比例函数，分别交于点和点，且、两点的坐标分别是和．，连接、． （1）求一次函数与反比例函数的函数表达式； （2）求的面积． 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式，用两点坐标求出直线解析式即可； （2）求出直线与轴的交点的坐标，利用代入数据计算即可． 【解答】解：（1）点在反比例函数图象上， ，反比例函数解析式为：； ．在反比例函数图象上， ，即， 点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为：， （2）设直线交轴于点，当，，，． 所以． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，是两个函数值大小的分界点． 2．（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且．点是轴正半轴上一点，连接，． （1）求和的值； （2）求的面积． 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式，求出的值，再利用平行线分线段成比例的性质得出，，求出点坐标，即可求出的值； （2）根据得到是等腰直角三角形，求出，再求的面积即可． 【解答】解：（1）将点代入一次函数， 得， 解得， ， ， 在中，令，则， ， ， 过点作轴于点，则， ， ， ， ，， ， ， 反比例函数的图象过点， ； （2），轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 的面积为：． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，求出点坐标是解决本题的关键． 3．（2024•姑苏区校级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）过点作轴于点，连接，求四边形的面积； （3）根据图象直接写出使成立的的取值范围． 【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点的坐标代入反比例函数解析式，求出值，再将点代入反比例函数解析式求出值，然后将、点坐标代入一次函数解析数即可． （2）四边形的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积． （3）结合图象确定的取值范围即可． 【解答】解：（1）将点代入中， 得，解得， 故； 将点代入，可得， 将，代入， 得，解得， 故； （2）如图所示， 对于一次函数， 令，则，即 令，则，即， ，， ，轴， ，， 设的高为，由可知， ； （3）结合图象可知，当时， 的取值范围为或． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形放在大三角形中求解面积． 4．（2024•新北区一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点、． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 【分析】（1）将点坐标分别代入两个解析式得到、值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点、坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：， 的图象过点， ．解得， 一次函数解析式为：． （2）将代入得， ， 将代入得， ，， ， ． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 5．（2024•武进区校级模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标及反比例函数的解析式； （2）若点是直线与反比例函数图象的另一个交点，求的面积． 【分析】（1）求出点、点的坐标，然后表示出、的长度，再根据轴得出，由得出，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）联立两个函数解析式求出点坐标，再根据三角形的面积公式求面积即可． 【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， ，，即，， 轴， 轴， ， ， ， ， 点的横坐标为， 点在直线上， 点， ， 反比例函数的解析式为； （2）联立方程组， 解得或， 直线与反比例函数图象的另一个交点的坐标为， ． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，求出反比例函数解析式是解答本题的关键． 6．（2024•东海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，且，请求出点的坐标； （3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”， 为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径” 的长． 【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式； （2）由，得点满足在与距离为的直线上，即在或上，列方程组求出交点，即可求出点； （3）将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出长即可． 【解答】解：（1）把代入，得， ， ， 把代入，得， ， ， ， 一次函数和反比例函数的表达式分别为：，； （2）令中，得， 点， ， ， ，即点满足在与距离为的直线上， 点在或上， 由，得，， 点在第一象限， 点坐标为，， 由，得，， 点在第一象限， 点坐标为，， 综上点坐标为，或，； （3）平移之后的曲线为：和， 由，得，， 点，点，， ． 【点评】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法是解题关键． 7．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与轴的交点的坐标及的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围． 【分析】（1）先把点坐标代入代入，求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据轴上点的坐标特征确定点坐标，然后根据三角形面积公式和的面积进行计算； （3）观察函数图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象下方． 【解答】解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为：， 把代入， 得，解得， 则点坐标为． 把，分别代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）， 当时，， 点的坐标为：， 的面积的面积的面积 ； （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用． 8．（2024•泰兴市一模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，顺次连接这四个点得到四边形． （1）若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为． ①求证：四边形为平行四边形； ②求的面积； （2）如图2，四边形为平行四边形，平行于轴，求、的交点坐标； （3）如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点． 【分析】（1）①根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定即可； ②先求出坐标，利用代入数据计算即可； （2）设，，，，，，，，根据平行四边形性质得到，简化坐标字母可得，，，，，，，，根据坐标分别求出直线和的解析式，都是正比例函数，都过原点，即可得到交点坐标为； （3）设，，，，根据平行四边形性质得到，，简化坐标字母可得，，，，根据坐标分别求出直线和的解析式，都是正比例函数，都过原点，即可得到交点坐标为． 【解答】（1）①证明：直线的表达式为，直线的表达式为都过原点，且点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上， 根据两个反比例函数图象都是中心对称图形， ，， 四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； ②解：将函数与联立方程组得：， 解得，， ，，，， 同理求得：，， 如图1，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ． （2）解：设，，，，，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，，，，，，，， 设直线解析式为：，代入点、坐标得：，， 直线的解析式为：， 同理可得解析式为：， 直线与交于原点，交点坐标为． （3）证明：设，，，， ，， ，即，，即， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，，，， 待定系数法求得直线解析式为：，函数图象过原点； 待定系数法求得直线解析式为：，函数图象过原点； 与的交点坐标为． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握平行四边形性质和巧设参数是解答本题的关键． 9．（2024•东台市一模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与轴的交点坐标，根据代入数据计算即可； （3）分两种情况讨论①当时，在坐标轴上存在四个的位置满足等腰三角形，②当时，存在两个满足条件的点，点是线段的垂直平分线与坐标轴的交点，分别求出满足条件的点坐标即可． 【解答】解：（1）已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点， ， ，， 反比例函数解析式为：； （2），在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为：， 设一次函数与轴交点为，则，， ； （3）， ， ①当时，在坐标轴上存在四个的位置满足等腰三角形， 、，、、，； ②当时，存在两个满足条件的点，点是线段的垂直平分线与坐标轴的交点， 在直线上， 直线的，线段的中点坐标，， 设线段垂直平分线解析式为， 将点，坐标代入得：，解得， 线段垂直平分线解析式为， 当时，；当时，， ，，． 综上所述，满足条件的点有6个，坐标为：、，、、，、、，． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． 10．（2023•泰州）在平面直角坐标系中，点、，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点，边与函数、的图象分别相交于点、，一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，连接． （1）若，，求函数的表达式及的面积； （2）当、在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； （3）试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？并说明理由． 【分析】（1）先确定、两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，结合点求的面积； （2）按（1）的思路求解； （3）用，表示直线与边的交点，验证是否在函数的图象上． 【解答】（1），， 点，，，， 点，，，，， 一次函数的图象经过点、， 设，则 ， ， 函数的表达式为， ， ， ． （2）点，，，， 点，，，，， 设，则 ， ， ， ， ． 当、在满足的条件下任意变化时，的面积不变化． （3）设直线与边的交点为，设直线为，代入，，得， ， ， 当时，， ， 点在的图象上． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，难在用字母表示，计算繁琐易出错． 学科网（北京）股份有限公司 $$第11讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录 学科网（北京）股份有限公司 考点一 反比例函数的相关概念 题型01 用反比例函数描述数量关系 题型02 判断反比例函数 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 考点二 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数图象 题型02 反比例函数点的坐标特征 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 题型04 由反比例函数解析式判断其性质 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值 题型06 判断反比例函数经过象限 题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 题型08 已知反比例函数增减性，求k值 题型09 由反比例函数的性质比较大小 题型10 求反比例函数解析式 题型11 与反比例函数有关的规律探究问题 考点三 反比例系数k的几何意义 考点四 反比例函数与一次函数综合 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 题型02 一次函数与反比例函数交点问题 题型03 一次函数与反比例函数综合应用 题型04几何综合题问题 学科网（北京）股份有限公司 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 1. 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. 2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k. 题型01 用反比例函数描述数量关系 【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（    ）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【变式1-1】（2023·浙江·统考中考真题）如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（    ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【变式1-2】（2023·湖北随州·统考中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(    )    A． B． C． D． 题型02 根据反比例函数的定义求字母的值 【例2】（2023·山西阳泉·统考二模）若点在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【变式2-1】（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【变式2-3】（2023·云南·统考中考真题）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（    ） A．3 B． C． D． 在反比例函数中，k≠0与x的指数为-1这两个条件必须同时具备，解决此类问题的容易忽略k≠0的条件，从而得出错误答案. 考点二 反比例函数的图象与性质 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 题型01 判断反比例函数图象 【例1】（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）下列四个函数图象中，的大致图象（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·山东潍坊·统考二模）定义新运算：，例如：，，则的图象是（　　） A．    B．   C．   D．  【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形中，是对角线，，，垂足分别为E、F，已知，且，设，，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（    ）    A．   B．   C．  D．   【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 …   (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 题型02 反比例函数点的坐标特征 【例2】（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】2023·安徽滁州·校考一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点．若点，则点B的坐标是 ． 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 【例3】（2023·山西阳泉·统考二模）若点在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【变式3-1】（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题型04 由反比例函数解析式判断其性质 【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数的图象与性质，下列结论中不正确的是（    ） A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．当时，该函数的图象在第二、四象限 C．该函数的图象与直线有且只有两个交点 D．当时，函数值随的增大而减小 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值 【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 【变式5-1】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（    ）    A． B．1 C．3 D．5 题型06 判断反比例函数经过象限 【例6】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数（k≠0），当时，，则它的图象一定在（　　） A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二象限 D．三，四象限 【变式6-1】（2023·湖南永州·统考二模）当时，反比例函数的图象位于（   ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数的图象的是（    ） A．  B．  C．  D．   题型07 已知反比例函数增减性求值 【例7】（2023·湖北武汉·统考三模）若点和在的图象上，若，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式7-1】（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·安徽芜湖·统考二模）已知函数，当时，函数的最大值为a，函数的最小值为，则k＝ ． 【变式7-3】（2023·陕西咸阳·二模）已知反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，且当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为 ． 题型08 由反比例函数的性质比较大小 【例8】（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式8-3】（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 题型9 求反比例函数解析式 【例9】（2023·陕西商洛·统考二模）已知与是反比例函数图象上的两个点，则k的值为 ． 【变式9-1】（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式9-2】（2023·广东广州·校考一模）反比例函数的图象上有一点，且a、b是方程的两根，则 ． 【变式9-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数的图象经过，、三点，则的值为 ． 【变式9-4】（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，点在反比例函数图象上．一次函数的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且与的面积比为．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出时，x的取值范围． 题型10 与反比例函数有关的规律探究问题 【例10】（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则___________．    【变式10-1】（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 【变式10-2】（2021上·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有____个，这些边整点落在函数的图象上的概率是 ． 【变式10-3】（2020上·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，等边三角形，，，的边，， ，在轴上，顶点，， ，在反比例函数的图象上．    （1）第1个等边三角形的周长______；第2个等边三角形的周长______；第3个等边三角形的周长______；； （2）根据（1）的规律，猜想第（是正整数）个等边三角形的周长______； （3）计算：． 考点三 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 以下题型均包括两种类型：已知比例系数求特殊图形面积、以及图形面积求比例系数 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【变式1-1】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【变式1-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【变式1-3】（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    【变式1-4】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    【变式1-5】（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【变式1-6】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点P．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 【变式1-7】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，分别过点，作轴的垂线．已知，则阴影部分面积为（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 考点四 反比例函数与一次函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 【例1】（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 【变式1-1】（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线与直线交于，两点．点和点在双曲线上，点为轴正半轴上的一点． （1）求双曲线的表达式和，的值； （2）请直接写出使得的的取值范围； （3）若的面积为12，求此时点的坐标． 【变式1-2】（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【变式1-3】（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型02 一次函数与反比例函数交点问题 【例2】（2023·浙江·模拟预测）若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-1】（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．    【变式2-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．    (1)求反比例函数的表达式： (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【变式2-4】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．    (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积． 【变式2-5】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【变式2-6】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． (1)求，的值； (2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 题型03 一次函数与反比例函数综合应用 【例3】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【变式3-1】（2024·湖北·中考真题）一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【变式3-2】（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 题型04几何综合题问题 【例4】（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．    (1)求直线和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积． 【变式4-1】（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．    (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； (2)若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 【变式4-2】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【变式4-3】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 习题训练 1．（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数的图象与反比例函数，分别交于点和点，且、两点的坐标分别是和．，连接、． （1）求一次函数与反比例函数的函数表达式； （2）求的面积． 2．（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且．点是轴正半轴上一点，连接，． （1）求和的值； （2）求的面积． 3．（2024•姑苏区校级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）过点作轴于点，连接，求四边形的面积； （3）根据图象直接写出使成立的的取值范围． 4．（2024•新北区一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点、． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 5．（2024•武进区校级模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标及反比例函数的解析式； （2）若点是直线与反比例函数图象的另一个交点，求的面积． 6．（2024•东海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，且，请求出点的坐标； （3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”， 为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径” 的长． 7．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与轴的交点的坐标及的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围． 8．（2024•泰兴市一模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，顺次连接这四个点得到四边形． （1）若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为． ①求证：四边形为平行四边形； ②求的面积； （2）如图2，四边形为平行四边形，平行于轴，求、的交点坐标； （3）如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点． 9．（2024•东台市一模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 10．（2023•泰州）在平面直角坐标系中，点、，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点，边与函数、的图象分别相交于点、，一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，连接． （1）若，，求函数的表达式及的面积； （2）当、在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； （3）试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$