精品解析：天津市河东区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

河东区2023~2024学年度第二学期期中质量检测 高二数学 本试卷分为第I卷选择题和第II卷非选择题两部分，共100分，考试用时90分钟． 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置．考试结束后，将答题纸交回． 第I卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（ ） A. 9种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解． 【详解】需分两步来完成：第一步，从甲、乙、丙3幅不同的画中选出1幅挂在左边的墙上，共有3种选法， 第二步，从剩下的2幅画中选出1幅挂在右边的墙上，共有2种选法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的挂法． 故选：B． 2. 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用条件概率公式求解即可. 【详解】设事件表示选到团员，事件表示选到男生，则． 故选：A. 3. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数的求导法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：C 4. 已知函数，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的导数，，令，即可求得的值. 【详解】因为， 则， 所以， 解得. 故选：A. 5. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的分布列及期望、方差公式计算一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，解方程得，故A、B错误； 因为，所以，故C错误； 由条件可知， 所以，故D正确. 故选：D 6. 已知函数，则（     ） A. 有三个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】C 【解析】 【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；令，得到是奇函数，是的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D. 【详解】对于A，由题，， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以是极值点，故A不正确； 对应B，因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 对于C，令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：C 7. 将一个边长为正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积最大，则边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【详解】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为，则， 由得，， 令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减，且在处取得最大值，B正确； 故选：B． 8. 设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，利用函数的单调性得，整理得，利用指数函数的单调性计算即可. 【详解】由题意可知， 又，所以有恒成立，其中， 易知在上单调递增， 所以，即， 解之得. 故选：D 【点睛】思路点睛：由函数在定区间单调得出导函数的符号，将问题转化为恒成立，利用指数函数的单调性计算即可. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 2．本卷共11小题，共64分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________． 【答案】1.96 【解析】 【分析】根据二项分布，由公式得到结果. 【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布，,填1.96 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 10. 的展开式的中间一项为______. 【答案】924 【解析】 【分析】根据二项式的展开式通项公式，以及展开式的项数，即可求出展开式的中间一项． 【详解】解：的展开式通项公式为： ， 令，得， 即展开式的中间一项为． 故答案为：924 11. 函数在区间上的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可． 【详解】函数，可得， 可知恒成立，所以函数在区间上是增函数， 所以，时，函数取得最大值：． 故答案为： 12. 某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______． 【答案】120 【解析】 【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案． 【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为， 因为，所以， 则数学成绩为优秀的人数是， 故答案为：． 13. 从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数______． 【答案】1224 【解析】 【分析】分含0与不含0两类情况进行讨论，由分步乘法计数原理求各类情况下组成没有重复数字的五位数的方法，然后利用分类加法计数原理求和得到答案. 【详解】第一类：从0，2，4，6中任取3个数字不含0， 第一步：把2，4，6都取出，有1种方法； 第二步：从1，3，5中任取2个数字，有种方法； 第三步：把取出的5个数字任意排成一排组成五位数，有种方法； 根据分步乘法计数原理共有：种方法； 第二类：从0，2，4，6中任取3个数字含0， 第一步：把0取出，再从2，4，6中任取2个数字，有种方法； 第二步：从1，3，5中任取2个数字，有种方法； 第三步：先把0不放在首位，然后其余4个数字在其它4个位置上任意排列，有种方法； 根据分步乘法计数原理共有：种方法； 综上所述，共有种方法，即一共可以组成1224个没有重复数字的五位数. 故答案为：1224. 14. 已知函数，其中且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，根据错位相减法化简，再代入求解即可． 【详解】由题可知，①， 则②， ①②得，， 因为所以，则， 故答案为：． 三．解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 盒中有 4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球． （1）求取到2个标有数字1的球的概率； （2）设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案； （2）列出分布列，并求随机变量X的分布列及数学期望； 【小问1详解】 取到2个标有数字1的球的概率为 【小问2详解】 从6个球中任意取出3个球的取法总数为， X的取值范围是. ，，，; 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 故 16. 在的展开式中，所有项的二项式系数的和为128. （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求实数的值. 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质求解； （2）利用二项式展开式的通项公式求解. 【小问1详解】 因为所有项二项式系数的和为128，所以，所以. 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为， 令得， 所以展开式中的系数为，解得. 17. 已知函数. （1）若函数在处取得极大值，求a的值； （2）设，试讨论函数的单调性. 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）由导数法结合因式分解及二次函数性质讨论单调性即可 【小问1详解】 ，由在处取得极大值得；经检验成立 【小问2详解】 ，， i. 当时，（仅在取等号），故在递增； ii. 当时，由得，得，故在递增，在递减； iii. 当时，由得，得，故在递增，在递减. 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求值； （2）求的极值点的个数． 【答案】（1） （2）3个 【解析】 【分析】（1）根据切线的几何意义即可求出切线方程，进而可以求的值； （2）根据导数判断函数的单调性，进而可以知道函数极值点的个数. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 因为在点处的切线方程为， 所以，即．解得． 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 令， 所以， 令，解得或， 所以与的关系列表如下： 0 + 0 － 0 + 0 － 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 所以在区间和上单调递增；在区间和上单调递减； 因为当时，，所以存在，使得， 又因为在上单调递减，在上单调递增，所以是的一个极小值点； 当时，单调递减，且，所以存，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的一个极大值点， 当时，单调递增，又，所以存在，使得， 所以在上单调递减，上单调递增，所以是的一个极小值点， 当时，，所以在上单调递增，无极值点； 综上，在定义域上有3个极值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河东区2023~2024学年度第二学期期中质量检测 高二数学 本试卷分为第I卷选择题和第II卷非选择题两部分，共100分，考试用时90分钟． 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置．考试结束后，将答题纸交回． 第I卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（ ） A. 9种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 2. 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，那么的值为（ ） A B. C. D. 5. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，则（     ） A. 有三个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 7. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积最大，则边长为（ ） A B. C. D. 8. 设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 2．本卷共11小题，共64分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________． 10. 的展开式的中间一项为______. 11. 函数在区间上的最大值为________. 12. 某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______． 13. 从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数______． 14. 已知函数，其中且，则______． 三．解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 盒中有 4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球． （1）求取到2个标有数字1的球的概率； （2）设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望． 16. 在展开式中，所有项的二项式系数的和为128. （1）求值； （2）若展开式中的系数为，求实数的值. 17. 已知函数. （1）若函数在处取得极大值，求a的值； （2）设，试讨论函数的单调性. 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求的极值点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$