第05讲 抛物线及其标准方程（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第05讲 抛物线及其标准方程 课程标准 学习目标 1 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程； 2 掌握抛物线标准方程的求法； 3 培养观察、分析和动手的能力． 1. 会用抛物线的定义解题； 2. 掌握抛物线标准方程的建立和推导； 3. 会求抛物线的标准方程． 知识点一、抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点二、抛物线的标准方程及其图像 标准方程 （） （） （） （） 图形 题型01 抛物线的定义 1.已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】依题意知，焦点， 由定义知：， 所以，所以． 故选：C. 2.抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】抛物线的标准方程为，则，得， 所以焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线距离为. 故选：B. 3.已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，且，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】    由抛物线定义可知，所以为等腰三角形， 记原点为，因为，所以， 则，所以. 故选：D 4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图， 因为点在上，且到直线的距离为， 可得到直线的距离为，即点到准线的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以. 故选：B 5.已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】依题意知，焦点， 由定义知：， 所以，所以． 故选：C. 题型02 求抛物线标准方程 1.已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于抛物线：过点，所以，， 所以抛物线方程为，，， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 2.已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为抛物线为, 则其焦点在轴正半轴 上,焦点坐标为, 由于点为抛物线为上一点,且点到抛物线的焦点F的距离为3, 所以点A到抛物线的焦点F的距离为解得, 故选：C. 3.已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 所以，得. 由点在上，得，结合，解得. 所以的方程为. 故选：A. 4.已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线C的标准方程为． 故答案为：． 5.过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 【答案】4 【详解】 如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4． 故答案为：4． 6．已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】设直线的斜率为，， 由，得，解得， 又，则，由都在第一象限，得， 而，且，则， 所以抛物线方程为， 故答案为： 题型03 利用抛物线定义求轨迹方程 1.已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 2.已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等. ∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线， 故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x. 故选：A. 3.已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， ， 曲线的方程为； （2）设直线的方程为，,，,， 直线与抛物线联立：， 消去化简得，则，即， ，，又，即， 又， ，即， 设点为的中点，则， 直线的方程为， 令，则， 故点为定点，坐标为． 4.在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值． 【答案】(1) (2)8. 【详解】（1），由题意：点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且. 所以抛物线的标准方程为：. 即：. （2）如图： 设圆圆心为，设，，，且， 则直线PR的方程为，即， 因为直线PR与圆相切，所以圆心C到直线PR的距离等于1， 即，化简可得，即． 同理直线PQ与圆相切，所以 所以m，n是方程的两根． 由韦达定理可得， ，又因为：， 所成，所以， 因为，所以，当且仅当取等号． 5.如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. (1)求M的方程； (2)设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）易知，设，联立抛物线C得， ∴，，由得 ， ∴，故过定点.∵， ∴D的轨迹是以为直径的圆（除去原点）， 即M的方程为； （2）设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为， 过Q的切线设为，联立抛物线C， 得，由，解得. 设切线的倾斜角为，则反射光线的倾斜角是或， 得反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 整理得，恒过点. 若或，则反射光线的方程为. 从而反射光线必过抛物线C的焦点. 题型04 抛物线中距离及最值问题 1.已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 2.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ）． A． B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】抛物线，焦点，准线方程为， 抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为， 由抛物线的定义可知，则有， 其最小值为焦点到直线的距离． 即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为. 故选：A. 3.已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 由图知，当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值， 此时点纵坐标为4，代入抛物线方程可得， 则的面积为． 故选：D 4．设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D 5.已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 6.已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】    由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 7.已知为坐标原点，是抛物线的焦点.A、B两点分别位于轴的两侧，且都在抛物线上.记的面积为的面积为.若，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】设， 由，解得（舍去）或， 易知，直线的斜率不为0，设其方程为， 联立得，所以 ，得， 所以直线AB过定点， 由题可知，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：    8.已知平面直角坐标系所在平面上有一个动点满足：点到点的距离比到轴的距离大2，动点的轨迹为曲线.过点的动直线交曲线于两点，直线分别交曲线于点. (1)求曲线的方程； (2)当的面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由点到点的距离比到轴的距离大2， 得， 化简，得曲线的方程为. （2）设直线与轴的交点为， 由于过点的动直线与抛物线交于A，B两点，所以直线斜率不为0， 则可设过点的动直线，联立， 消去并整理，得，则. 由根与系数的关系，得. 当直线的斜率不存在时，不妨令，则. 当直线的斜率存在时，直线的方程为. 联立，消去并整理，得，且. 由根与系数的关系，得，则，同理，得， 所以. 因为三点共线，所以，所以， 所以直线恒过定点. 设直线，联立，消去并整理，得，易知. 由根与系数的关系，得. 又， 当时，最小，此时直线的方程为. 1.抛物线的准线方程是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线化为标准方程， 所以准线方程是， 所以， 解得. 故选：B. 2.已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【详解】由题意可得，则． 故选：B. 3.已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由题意易得， 过上一点作圆的两条切线，切点分别为，且， 且， 将点代入抛物线方程可得，即， ，解得. 故选：D. 4.已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（    ） A．10 B．9 C．8 D．5 【答案】B 【详解】设，， 联立得， 则. 所以. 当且仅当，即，时，上式取等号， 故. 故选：B 5.点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】设， 由，得，所以，准线方程为， 因为，所以为的重心， 所以，所以， 所以 ， 故选：C 6.已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故. 故选：D. 7．已知点在抛物线上，若点到点的距离为3，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 若点到点的距离为3，即点到直线的距离为3， 所以点到轴的距离为. 故选：C. 8.（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点到原点的距离为， 所以，解得，（负值舍）， 将点代入抛物线方程，得，所以， 所以.    由于抛物线关于轴对称，不妨设， 因为，， 所以为等腰三角形，， 所以， 所以， 解得或(舍)， 所以. 故选：D. 9.（2023秋·广东东莞·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以,即, 由得，即，则， 由焦半径公式可得. 故选：A. 10.已知抛物线的焦点为F，点M是该抛物线上一点，且，设O是坐标原点，则线段OM的长为 ． 【答案】 【详解】设，由抛物线定义得，又因为，所以， 得，所以． 故答案为：． 11.（2023秋·河北衡水·高二期中）已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为 ． 【答案】 【详解】如图，由，得，又因为为，的中点， 所以，即N为PF的三等分点，且， 又因为， 所以，且， 所以． 不妨设，且在第一象限，，，解得， 因为点在抛物线上， 所以， 所以△AMN的面积． 故答案为：. 12.在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为抛物线的焦点F的坐标,准线l的方程为, 选①：因点在抛物线的内部， 根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离, 所以最小值就是点B到准线l的距离， 故最小值是； 选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离， 故最小值是. （2） 因为点在准线l上， 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值， 则最小值为. （3） 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值， 即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式得 ． 13.已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）抛物线方程的准线方程为， 因为，所以点A在线段OF的中垂线上， 所以，，此时， 即，解得 因为三角形OFB的面积为， 所以，解得， 则抛物线的抛物线的方程为. （2）证明：设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，，因为M为线段PQ的中点， 所以 ， 则当时，为定值，与k的取值无关， 故在轴上存在点，使得为定值，定值为. 14．已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． （2）设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 15．已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于两个动点． (1)求点的轨迹方程E; (2)设P,Q是（1）中曲线E上不同于坐标原点O的两点，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设动圆圆心为D，由题意知，且， 即，化简整理得， 所以. （2）设， 则，得. 当直线的斜率不存在时，，则， 此时直线的方程为； 当直线的斜率存在时，， 直线， 当时，. 综上，直线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 抛物线及其标准方程 课程标准 学习目标 1 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程； 2 掌握抛物线标准方程的求法； 3 培养观察、分析和动手的能力． 1. 会用抛物线的定义解题； 2. 掌握抛物线标准方程的建立和推导； 3. 会求抛物线的标准方程． 知识点一、抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点二、抛物线的标准方程及其图像 标准方程 （） （） （） （） 图形 题型01 抛物线的定义 1.已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 3.已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，且，则（   ） A．2 B．4 C． D． 4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5.已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 求抛物线标准方程 1.已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2.已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 3.已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 5.过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 6．已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 . 题型03 利用抛物线定义求轨迹方程 1.已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2.已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 4.在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值． 5.如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. (1)求M的方程； (2)设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 题型04 抛物线中距离及最值问题 1.已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ）． A． B． C．4 D．5 3.已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（   ） A．7 B．5 C． D． 4．设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 5.已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7.已知为坐标原点，是抛物线的焦点.A、B两点分别位于轴的两侧，且都在抛物线上.记的面积为的面积为.若，则的最小值为 . 8.已知平面直角坐标系所在平面上有一个动点满足：点到点的距离比到轴的距离大2，动点的轨迹为曲线.过点的动直线交曲线于两点，直线分别交曲线于点. (1)求曲线的方程； (2)当的面积最小时，求直线的方程. 1.抛物线的准线方程是，则（    ） A． B． C． D． 2.已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 3.已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 4.已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（    ） A．10 B．9 C．8 D．5 5.点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 6.已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 7．已知点在抛物线上，若点到点的距离为3，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8.（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（    ） A． B． C． D． 9.（2023秋·广东东莞·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 10.已知抛物线的焦点为F，点M是该抛物线上一点，且，设O是坐标原点，则线段OM的长为 ． 11.（2023秋·河北衡水·高二期中）已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为 ． 12.在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 13.已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 14．已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 15．已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于两个动点． (1)求点的轨迹方程E; (2)设P,Q是（1）中曲线E上不同于坐标原点O的两点，且，证明：直线过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$