6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.掌握正弦定理及其变形. 2.借助向量的运算,探究正弦定理的证明过程. 3.掌握三角形正弦面积公式及其应用. 4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　正弦定理 1. 名师点睛 2.三角形的面积公式 名师点睛 三角形面积公式的其他形式 过关自诊 1.在△ABC中,A>B是sin A>sin B的什么条件? 2.[北师大版教材习题]在△ABC中,c=4,a=2,C=45°,则sin A=　　　　.  3.已知△ABC的外接圆半径是2,A=60°,则BC的长为　　　　　.  提示 在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,所以A>B是sin A>sin B的充要条件. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　已知两角和一边解三角形 【例1】 在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形. 规律方法　已知两角及一边解三角形的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 变式训练1在△ABC中,已知A=60°,tan B= ,a=2,则c=　　 　.  探究点二　已知两边和其中一边的对角解三角形 【例2】 在△ABC中,已知a=2,b= ,A=45°,解三角形. 变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=60°”,解三角形. 规律方法　已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值. (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角. (3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论. 探究点三　判断三角形的形状 【例3】 (1)已知在△ABC中,角A,B所对的边分别是a和b,若acos B=bcos A,则△ABC一定是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 A 解析 由题意及正弦定理知sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,因为A,B是三角形的内角,所以A-B=0,即A=B.故选A. (2)在△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角. ∵A=180°-(B+C),sin A=2sin Bcos C, ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°,∴B-C=0, ∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形. 规律方法　三角形形状的判断方法 变式训练2(1)在△ABC中,已知3b=2 asin B,且cos B=cos C,A是锐角,则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 D (2)在△ABC中,若acos C+ccos A=bsin B,则此三角形为(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 C 解析 ∵acos C+ccos A=bsin B, ∴sin Acos C+sin Ccos A=sin2B,即sin(A+C)=sin2B, ∵A+C=π-B,∴sin B=sin2B,即sin B=1, 又0<B<π,∴B=90°.∴△ABC是直角三角形. 探究点四　三角形面积公式的应用 【例4】 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2,C= ,且a+b=3,则△ABC的面积为(　　) D ①求c; ②设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 规律方法　三角形面积的求解思路 求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常利用 求解面积. 变式训练3(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64 ,则c=　　　　;  16 (2)在△ABC中,已知C=120°,AB=2 ,AC=2,则△ABC的面积等于　　　　.  本节要点归纳 1.知识清单: (1)利用正弦定理解三角形. (2)三角形形状的判断. (3)三角形面积公式. 2.方法归纳:转化化归、数形结合. 3.常见误区:已知三角形的两边及其中一边所对的角,三角形解的个数的判断. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点三]在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点一]在△ABC中,B=45°,C =60°,c=1,则最短边的长等于　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点二、四]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c= a. (1)求sin C的值; (2)当a=7时,求△ABC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 10.如图,在△ABC中,角C的平分线CD交边AB于点D, D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.(多选题)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,sin B=sin 2A, S△ABC是△ABC的面积,则(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状. 所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=( a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2sin A- sin B)2= 4sin2C-sin2B. (1)求角C的大小; (2)若b=1,c= ,求cos(B-C)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 19.(多选题)锐角△ABC中,三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是( 　　) A.sin A>sin B B.cos A<cos B C.sin A>cos B D.sin B>cos A ABCD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以BD=2DC= . 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知, AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 1.设R是△ABC外接圆的半径,则=2R, . 2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径) (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角); (2)sin A=,sin B=,sin C=(角化边); (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则S△ABC=absin C=acsin B =bcsin A. (1)S△ABC=,其中R为△ABC的外接圆半径; (2)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中R为△ABC的外接圆半径; (3)S△ABC=(a+b+c)r,其中r为△ABC的内切圆半径; (4)S△ABC=,其中p=. 解析 由正弦定理,得sin A=. 2 解析 BC=2×2sin A=4sin 60°=2. 解 因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 由正弦定理,得, 解得a==4,c==2(). 　 解析 因为tan B=,所以sin B=,cos B=.又A=60°,所以sin C =sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin 120°cos B-cos 120°sin B=.由正弦定理,得,即c=. 解 由正弦定理,得sin B=. 因为b<a,所以B<A,所以B=30°(B=150°舍去). 于是C=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得c=+1. 解 由正弦定理,得sin A=>1,则角A不存在,所以该三角形无解. 解 根据正弦定理,得, 解析 ∵3b=2asin B, ∴sin B=2sin Asin B,又sin B>0,∴sin A=. 又A是锐角,∴A=. ∵cos B=cos C,B,C是△ABC的内角, ∴B=C.∴△ABC是等边三角形. A. B. C. D. 解析 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 所以22=a2+b2-2ab×cos,即4=(a+b)2-3ab, 又a+b=3,所以ab=, 所以S△ABC=absin,故选D. (2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A+cos A=0, a=2,b=2. 解 ①由sin A+cos A=0及cos A≠0,得tan A=-, 又0<A<π,所以A=. 由余弦定理得28=4+c2-4c·cos, 即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4. ②由题设可得∠CAD=, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=. 故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为=1. 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2, 所以△ABD的面积为. S=acsin B 解析 由已知,得S△ABC=bcsin A,即64×16csin 60°,解得c=16. 解析 由正弦定理,得,即,解得sin B=.因为AB>AC,所以C>B,所以B=30°,所以A=180°-120°-30°=30°,所以△ABC的面积S=AB·AC·sin A=×2×2sin 30°=. 1.[探究点一]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=45°,C=60°, b=,则c等于(　　) A. B. C.2 D. 解析 在△ABC中,∵B=45°,C=60°,b=, ∴由正弦定理,得,解得c=.故选B. 2.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,b=,A=,则B=(　　) A. B. C. D. 解析 在△ABC中,由正弦定理,得sin B=. 因为a=,b=,A=,所以bsin A<a<b, 又0<B<π,所以B=或B=.故选D. 3.[探究点四]在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC 等于(　　) A. B.± C.- D.± 解析 由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±. 4.[探究点二]在△ABC中,若asin B=c-bcos A,则B=(　　) A. B. C. D. 解析 因为asin B=c-bcos A,由正弦定理得sin Asin B=sin C-sin Bcos A. 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Asin B=sin Acos B. 因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以tan B=,而B为三角形的内角,故B=.故选A. 5.[探究点二]在△ABC中,a=4,b=12,A=,则此三角形(　　) 解析 在△ABC中,a=4,b=12,A=,则bsin A=12×=6,可得bsin A<a<b,可得此三角形有两解.故选B. 解析 由已知,得=b=,所以sin B=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形. 解析 由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理,得b=. 8.[探究点一]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=, cos C=,a=1,则b=　　　　　.  解析 在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=, sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=, 又a=1,故由正弦定理得b=. 解 (1)在△ABC中,因为A=60°,c=a,所以由正弦定理,得sin C=. (2)因为a=7,所以c=×7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6. A=,AC=2,CD=3,则BC=(　　) A.3 B.4 C.4 D.6 11.在△ABC中,A=60°,a=,则等于(　　) A. B. C. D.2 解析 由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C得=2R=. 12.在△ABC中,若sin C=2sin Bcos B,且B∈(),则的取值范围是(　　) A.() B.(,2) C.(0,2) D.(,2) 解析 由正弦定理及已知得=2cos B.又<B<,余弦函数在此范围内是减函数,故<cos B<,∴∈(). A.sin B= B.cos A=- C.c=3 D.S△ABC=2 解析 因为sin B=sin 2A,所以sin B=2sin Acos A,即b=2acos A. 又a=3,b=2,所以cos A=,sin A=,sin B=. 又b<a,所以cos B=. cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B==cos A,所以c=a=3. S△ABC=bcsin A=×2×3×=2.故选ACD. 14.在△ABC中,B=,BC边上的高AD等于BC,且AD=1,则AC=　　　　　,sin∠BAC=　　　　　.  解析 如图,由AD=1,B=,知BD=1, 又AD=BC=BD,∴BC=3,DC=2,AC=. 由正弦定理知,sin∠BAC=. 15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sin B=3sin C,△ABC的面积为,则cos A=　　　　　,a=　　　　　.  - 解 由已知,得a2·=b2·.又由正弦定理,得sin2 A·=sin2 B·,即, 解 由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b, 即a2+b2-c2=ab. 由余弦定理,得cos C=. ∵C∈(0,π),∴C=. ∴S=absin C=×2Rsin A·2Rsin B· =R2sin Asin B=R2sin A=R2(sin Acos A+sin2A) =R2=R2. ∵A∈,∴2A-, ∴sin,∴S∈, ∴△ABC面积的最大值为R2. 解 (1)由(2sin A-sin B)2=4sin2C-sin2B化简, 得sin2A+sin2B-sin2C=sin Asin B,由正弦定理,得a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C=,又C∈(0,π),所以C=. (2)因为b=1,c=,所以由正弦定理,得sin B=,因为b<c,所以B<C,所以cos B=, 所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=. 所以cos(B-C)=. 解析 设内角A,B,C的对边分别是a,b,c.A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,故A成立.函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数,∵A>B,∴cos A<cos B,故B成立.在锐角三角形中,∵A+B>,∴A>-B,函数y=sin x在区间[0,]上是增函数,则有sin A>sin(-B),即sin A>cos B,C成立,同理sin B>cos A,故D成立. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. 解 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定理可得. $$