精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

齐市普高联谊校2023～2024学年下学期期中考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修二至选择性必修三7.2结束． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班5名同学去参观4个红色教育基地，每名学生可自由选择其中的1个红色教育基地，则不同选法的种数是（ ） A. B. C. 20 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】事情分5步完成，每1步均为1名同学选择基地，用分步乘法原理可解. 【详解】事情分5步完成，每1步均为1名同学选择基地． 第1步为第1名同学选择，有4种方法，第2步为第2名同学选择，也有4种方法，……，第5步为第5名同学选择，也有4种方法. 根据分步乘法原理，得到总共有种方法. 故选：A. 2. 在等比数列中，若，，则的值为（ ） A. B. 64 C. D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式化简第4项，把公比的值代入即可求出首项，根据是首项和公比写出等比数列的通项公式，把代入即可求出的值. 【详解】解：因为，所以， 则等比数列的通项公式， 所以. 故选：A. 3. 若的展开式中二项式系数和为64，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数和求解即可. 【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为， 所以. 故选：D. 4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意可得：，，所以； 故选：B 5. 已知直线l与函数的图象在点处的切线平行，则直线l的斜率为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求导，结合导数的几何意义运算求解. 【详解】由函数，则，可得， 所以直线l的斜率为1． 故选：D. 6. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果. 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为，所以 故选：C 【点睛】本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 8. 某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ） A. 72种 B. 114种 C. 120种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意问题可分为不考虑甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班两种情况，，两种情况分别用分组分配方法求解即可. 【详解】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班， 可分为与两种情况， ①：；②：，共有150种情况． 若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况， ①都在2人组：；②都在3人组：， 考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. －2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差中项列方程，化简求得的值. 【详解】由题意，可知，即． 又，∴，∴或． 故选：BC． 10. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ） A. 组成的三位数的个数为60 B. 在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C. 在组成的三位数中，比300大的个数为36 D. 在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数的要求及大小结合排列组合数计算求解. 【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确； 各位数字之和为9的有；两种组合，故各位数字之和为9的个数为，B错误； 比300大，则百位上的数可以为3，4，5，比300大的个数为，C正确； 将这些“凸数”分为三类：①十位为1，则有（种）；②十位为2，则有（种）； ③十位为3，则有（种），所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为，故D错误． 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数的最小值为1 B. 若，则 C. 若，则方程仅有1个实数根 D. 若方程无实数根，则α的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对求导，即可得单调性，进而可求解AB，构造函数，求导，结合零点存在性定理即可求解C，对于D，求导，对讨论，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【详解】若，则，，当时，，可得在上单调递减，当时，，可得在上单调递增，所以时，函数取得最小值，，A、B正确； 若，则，令，则， 当时，，可得在上单调递减， 当时，，可得在上单调递增， 又，，，所以函数有两个零点，即方程有2个实数根，C错误； 若方程无实数根，即无解，， 则， 若，在上恒成立，即在上单调递减； ，，在上有解，不合题意； 若，令，解得； 所以当时，，此时在单调递减； 当时，，此时在单调递增； 在处取得极小值，也是最小值； 即， 依题意可得，所以即可； 解得，即α的取值范围是，D错误． 故选：AB 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中的系数为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的通项公式为， 当时，，当时，， ， 故的展开式中的系数为． 故答案为： 13. 已知为等差数列，且，，则______. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求解即可. 【详解】由等差中项性质得， 解得. 故答案为： 14. 已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在R上单调递减，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则， 所以在R上单调递减， 由，得， 即， 又在R上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某同学会做老师给出的6道题中的4道，现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：选出的3题中该同学会做的题目数的分布列． 【答案】分布列： X 1 2 3 P 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列. 【详解】解：记该同学会做的题目数为X，由题意，，2，3， ，，， 所以该同学会做的题目数的分布列为： X 1 2 3 P 16. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知求解等差数列的基本量即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，， 得 解得，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以 . 17. 已知函数在处取得极小值． （1）求实数的值； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则， 由题意可得，解得， 当，时，， 显然，函数在处可取得极值. 因此，. 【小问2详解】 解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围. 由，得或， 由，得， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由图可知，当，直线与函数的图象有个交点， 因此，实数的取值范围是. 18. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析题意，先利用定义判定等比数列，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意得，又， 所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 则，① ，② ①与②两式相减得 ， 故. 19. 设函数. （1）求的单调区间; （2）求证:当时， 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）若，即，由（1）知在上单调递增， 所以成立； 若，即，设， 则当时，， 所以， 所以，从而. 结合（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 下面比较和的大小， 设，当时， 所以， 即，而， 所以当时， 综上所述：当时，. 【解析】 【分析】（1）对求导，分别由和可求得单调递增和单调递减区间； （2）由题意只需证明即可，讨论当，即，在上单调递增，；当时先证明，可得或，比较即可求证. 【详解】（1）由题意得:， 由，得， 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）略 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法： （1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）； （2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐市普高联谊校2023～2024学年下学期期中考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修二至选择性必修三7.2结束． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班5名同学去参观4个红色教育基地，每名学生可自由选择其中的1个红色教育基地，则不同选法的种数是（ ） A. B. C. 20 D. 9 2. 在等比数列中，若，，则的值为（ ） A. B. 64 C. D. 48 3. 若的展开式中二项式系数和为64，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线l与函数的图象在点处的切线平行，则直线l的斜率为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 6. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ） A. 72种 B. 114种 C. 120种 D. 144种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. －2 10. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ） A. 组成的三位数的个数为60 B. 在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C. 在组成的三位数中，比300大的个数为36 D. 在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数的最小值为1 B. 若，则 C. 若，则方程仅有1个实数根 D. 若方程无实数根，则α的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中的系数为______．（用数字作答） 13. 已知为等差数列，且，，则______. 14. 已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某同学会做老师给出的6道题中的4道，现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：选出的3题中该同学会做的题目数的分布列． 16. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 已知函数在处取得极小值． （1）求实数的值； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 18. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. 设函数. （1）求的单调区间; （2）求证:当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $