第十二章 微探究小专题4 一线三等角模型 主书（习题课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

2024 人教版 八年级上册 数学 2 第十二章　全等三角形 微探究小专题4　 一线三等角模型 问题1　一线三等角模型的应用 如图1，已知△ ABC ，∠ C ＝90°， AC ＝ BC . 过点 C 作直线 l ，过点 A ， B 分别作 AD ⊥ l ， BE ⊥ l ，垂足分别为 D ， E . 微探究小专题4　 一线三等角模型 (1)请根据 l 与△ ABC 的位置关系，补全图形； 解：(1)如图1，图2所示. 　　　 (2)判断△ ACD 与△ CBE 是否全等，并说明理由. 微探究小专题4　 一线三等角模型 解：(2)△ ACD ≌△ CBE . 理由：∵ BE ⊥ l 于点 E ， AD ⊥ l 于点 D ， ∴∠ BEC ＝∠ ADC ＝90°. ①如图1，∵∠ BCD ＝∠ BCA ＋∠ ACD ＝∠ BEC ＋∠ CBE ， 又∵∠ BCA ＝90°，∠ BEC ＝90°， ∴∠ ACD ＝∠ CBE . 在△ ACD 和△ CBE 中， 　 微探究小专题4　 一线三等角模型 ②如图2，∵∠ ACB ＝90°，∠ ADC ＝90°， ∴∠ ACD ＋∠ BCE ＝90°，∠ ACD ＋∠ CAD ＝90°. ∴∠ CAD ＝∠ BCE . 同①可得△ ACD ≌△ CBE . 微探究小专题4　 一线三等角模型 【思考】①上面的模型，我们常称为一线三等角，图中的一线是 ⁠ ，三个等角分别是 ⁠. ②问题1中，若∠ C ≠90°，如图2，图3，请你结合图形指出“一线三 等角”模型的特征及其中的全等三角形，并证明你的结论(选其中一幅 图完成即可). 直线l ∠ ACB ，∠ BEC ，∠ ADC 　 图2 图3 微探究小专题4　 一线三等角模型 解：模型特征：∠ ADC ＝∠ ACB ＝∠ CEB ， AC ＝ BC . 全等三角形： △ ACD ≌△ CBE . 证明：如题图2(或题图3)，在△ ACD 中，∠ ACE ＝∠ ADC ＋∠ DAC ＝ ∠ ACB ＋∠ ECB . ∵∠ ACB ＝∠ ADC ＝∠ CEB ，∴∠ ECB ＝∠ DAC . 在△ ACD 和△ CBE 中， ∴△ ACD ≌△ CBE (AAS). 图2 图3 微探究小专题4　 一线三等角模型 问题2　一线三垂直模型的应用 (2023·石家庄第40中学期末)阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角 度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”.当 模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形. (1)问题解决：如图1，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，过点 C 作直线 DE ， AD ⊥ DE 于点 D ， BE ⊥ DE 于点 E ，则 CD 与 BE 的数量关系是 ⁠； CD ＝ BE 　 微探究小专题4　 一线三等角模型 【解析】∵ AD ⊥ DE ， BE ⊥ DE ， ∴∠ ADC ＝∠ CEB ＝90°. ∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ ACD ＋∠ ECB ＝90°，∠ DAC ＋∠ ACD ＝90°. ∴∠ DAC ＝∠ ECB . 在△ ADC 和△ CEB 中， ∴△ ADC ≌△ CEB (AAS). ∴ CD ＝ BE . 微探究小专题4　 一线三等角模型 (2)问题探究：如图2，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，过点 C 作直线 CE ， AD ⊥ CE 于点 D ， BE ⊥ CE 于点 E ， AD ＝ 2.5 cm， DE ＝1.6 cm，求 BE 的长； 微探究小专题4　 一线三等角模型 (2)解：∵ BE ⊥ CE ， AD ⊥ CE ， ∴∠ ADC ＝∠ CEB ＝90°. ∴∠ CBE ＋∠ ECB ＝90°. ∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ ECB ＋∠ ACD ＝90°. ∴∠ ACD ＝∠ CBE . 在△ ADC 和△ CEB 中， ∴△ ADC ≌△ CEB (AAS). ∴ AD ＝ CE ＝2.5 cm， CD ＝ BE . ∴ BE ＝ CD ＝ CE － DE ＝2.5－1.6＝0.9(cm).即 BE 的长为0.9 cm. 微探究小专题4　 一线三等角模型 (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中， A (－1.5，0)， C (1.5，3.5)，△ ABC 为等腰直角三角形，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，求点 B 坐标. 微探究小专题4　 一线三等角模型 【解析】(3)解：如图，过点 C 作直线 l ∥ x 轴，交 y 轴于点 G ，过点 A 作 AE ⊥ l 于点 E ，过点 B 作 BF ⊥ l 于点 F ，交 x 轴于点 H ， 则∠ AEC ＝∠ CFB ＝∠ ACB ＝90°. ∵ A (－1.5，0)， C (1.5，3.5)， ∴ EG ＝ OA ＝1.5， CG ＝1.5， FH ＝ AE ＝ OG ＝3.5. 微探究小专题4　 一线三等角模型 ∴ CE ＝ EG ＋ CG ＝3. ∵∠ ACE ＋∠ EAC ＝90°，∠ ACE ＋∠ FCB ＝90°， ∴∠ EAC ＝∠ FCB . 在△ AEC 和△ CFB 中， ∴△ AEC ≌△ CFB (AAS). ∴ CF ＝ AE ＝3.5， BF ＝ CE ＝3. ∴ FG ＝ CG ＋ CF ＝1.5＋3.5＝5， BH ＝ FH － BF ＝3.5－3＝0.5. ∴点 B 的坐标为(5，0.5). 微探究小专题4　 一线三等角模型 专题进阶小练 1. 如图，在△ PAB 中，∠ A ＝∠ B ， M ， N ， K 分别是 PA ， PB ， AB 上的点，且 AM ＝ BK ， BN ＝ AK ，若∠ MKN ＝40°，则∠ P 的度数 为 ⁠. 100°　 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 【解析】在△ AMK 和△ BKN 中， ​ ∴△ AMK ≌△ BKN (SAS).∴∠ AMK ＝∠ BKN . ∵∠ MKB ＝∠ MKN ＋∠ NKB ＝∠ A ＋∠ AMK ， ∴∠ A ＝∠ MKN ＝∠ B ＝40°. ∴∠ P ＝180°－∠ A －∠ B ＝100°. 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 2. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， AD ⊥ CD 于点 D ， BE ⊥ CD 于点 E . 若 BE ＝7， CE ＝3，则△ ADE 的面积等于 ⁠. 6　 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 【解析】∵∠ ACB ＝90°， AD ⊥ CD ， BE ⊥ CD ，∴∠ ACB ＝∠ ADC ＝∠ BEC ＝90°，∴∠ ACD ＋∠ BCE ＝90°，∠ ACD ＋∠ CAD ＝ 90°.∴∠ BCE ＝∠ CAD . 又∵ AC ＝ BC ，∠ ADC ＝∠ BEC ＝90°，∴△ ACD ≌△ CBE (AAS).∴ AD ＝ CE ＝3， CD ＝ BE ＝7，∴ DE ＝ CD － CE ＝4，∴△ ADE 的面积＝ AD · DE ＝6. 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 3. 如图，点 C ， D 分别在线段 AB 两侧， AD ＝ CD ＝10，且 AD ⊥ CD 于点 D ，作 DE ⊥ AB 于点 E . 若 DE ＝6， EA ＝8，求点 C 到 AB 的距离. 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 解：如图，过点 C 作 CF ⊥ DE ， CH ⊥ AB ，分别交 DE 的延长线于点 F ，交 AB 于点 H ， 易得四边形 CFEH 是长方形，△ ADE ≌△ DCF ，∴ DF ＝ AE . ∴ CH ＝ FE ＝ DF － ED ＝ AE － DE ＝8－6＝2，即点 C 到 AB 的距离为2. 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， E 为线段 CA 上 一动点，连接 BE ，作 BF ⊥ BE ，且 BF ＝ BE . 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 (1)如图1，过点 F 作 FD ⊥ BC 于点 D . 求证： FD ＝ AC ； 证明：(1)∵ BF ⊥ BE ，∠ ACB ＝90°， ∴∠ EBF ＝∠ ACB ＝90°. ∴∠ CBE ＋∠ CEB ＝∠ DBF ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CEB ＝∠ DBF . 又∵ BF ＝ BE ，∠ FDB ＝∠ BCE ＝90°， ∴△ BCE ≌△ FDB (AAS).∴ BC ＝ FD . ∵ AC ＝ BC ，∴ FD ＝ AC . 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 (2)如图2，连接 AF 交 BC 于点 G ，若 BG ＝6， CG ＝2.求证： E 为 AC 中点. 证明：(2)在△ ACG 和△ FDG 中， ∴△ ACG ≌△ FDG (AAS). ∴ DG ＝ CG ＝2. ∵ BC ＝ BG ＋ CG ＝8， BD ＝ BG － DG ＝6－2＝4， ∴ BD ＝ BC . 由(1)知△ BCE ≌△ FDB ，∴ CE ＝ BD . ∴ CE ＝ BC ＝ AC ，即 E 为 AC 的中点. 1 2 3 4 微探究小专题4　 一线三等角模型 $$