章末整合提升6 平面向量初步(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

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(二)向量的坐标运算(题点多探　多维探究) 角度1　向量的坐标运算 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 　已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为____________． [自主解答]　由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)， 得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，)) 故m－n＝－3. [答案]　－3 角度2　向量坐标表示的应用 向量坐标运算的应用可证明三点共线(如O是直线AB外一点，P，A，B三点共线⇔∃x，y∈R，使 eq \o(OP,\s\up16(→)) ＝x eq \o(OA,\s\up16(→)) ＋y eq \o(OB,\s\up16(→)) 且x＋y＝1)，也可证明两直线平行等． 　(1)若向量a＝(1，2)，b＝(－3，1).则与2a＋b同向的单位向量e为________． [自主解答]　因为2a＋b＝(2，4)＋(－3，1)＝(－1，5)， 所以|2a＋b|＝ eq \r((－1)2＋52) ＝ eq \r(26) ， 所以与2a＋b同向的单位向量e＝ eq \f(1,|2a＋b|) (2a＋b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(26),26)，\f(5\r(26),26))) . [答案]　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(26),26)，\f(5\r(26),26))) (2)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝2e1＋e2， eq \o(BE,\s\up16(→)) ＝－e1＋λe2， eq \o(EC,\s\up16(→)) ＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． ①求实数λ的值； ②若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求 eq \o(BC,\s\up16(→)) 的坐标； ③已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． [自主解答]　① eq \o(AE,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋ eq \o(BE,\s\up16(→)) ＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2) ＝e1＋(1＋λ)e2. ∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得 eq \o(AE,\s\up16(→)) ＝k eq \o(EC,\s\up16(→)) ， 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. ∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,k－1－λ＝0，)) 解得k＝－ eq \f(1,2) ，λ＝－ eq \f(3,2) . ② eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BE,\s\up16(→)) ＋ eq \o(EC,\s\up16(→)) ＝－3e1－ eq \f(1,2) e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2). ③∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴ eq \o(AD,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up16(→)) . 设A(x，y)，则 eq \o(AD,\s\up16(→)) ＝(3－x，5－y). ∵ eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝(－7，－2)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7，)) 即点A的坐标为(10，7). (三)向量线性运算的应用 向量在平面几何中的应用，主要有两种方法： (1)基底法：当选择了适当的基底向量后，平面图形中的相应的边就可用基底向量表示出来，这样就把平面几何问题转化为向量问题，利用向量的共线、模、线性运算等来达到解决平面几何问题的目的． (2)坐标法：平面向量用坐标表示可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现． 　(1)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且AM＝ eq \f(3,4) AB，AN＝ eq \f(2,3) AD，AC，MN交于点P，则 eq \f(AP,AC) 的值为________． [自主解答]　∵ eq \o(AM,\s\up16(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→)) ， ∴ eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝λ eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up16(→)) )＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\o(AM,\s\up16(→))＋\f(3,2)\o(AN,\s\up16(→)))) ＝ eq \f(4,3) λ eq \o(AM,\s\up16(→)) ＋ eq \f(3,2) λ eq \o(AN,\s\up16(→)) . ∵点M，N，P三点共线． ∴ eq \f(4,3) λ＋ eq \f(3,2) λ＝1，则λ＝ eq \f(6,17) ，即 eq \f(AP,AC) ＝ eq \f(6,17) . [答案]　 eq \f(6,17) (2)如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且 eq \f(BL,BC) ＝l， eq \f(CM,CA) ＝m， eq \f(AN,AB) ＝n，若 eq \o(AL,\s\up16(→)) ＋ eq \o(BM,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CN,\s\up16(→)) ＝0，求证：l＝m＝n. [自主解答]　证明　设 eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(CA,\s\up16(→)) ＝b，令{a，b}为一组基底． 根据已知有 eq \o(BL,\s\up16(→)) ＝la， eq \o(CM,\s\up16(→)) ＝mb. ∵ eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝－a－b， 则有 eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝n eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝－na－nb. ∴ eq \o(AL,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋ eq \o(BL,\s\up16(→)) ＝(l－1)a－b， eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CM,\s\up16(→)) ＝a＋mb， eq \o(CN,\s\up16(→)) ＝ eq \o(CA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝－na＋(1－n)b， 又 eq \o(AL,\s\up16(→)) ＋ eq \o(BM,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CN,\s\up16(→)) ＝0，∴(l－n)a＋(m－n)b＝0. 根据平面向量基本定理，有l－n＝m－n＝0. 故l＝m＝n. 向量在物理中的应用 [典例]　小船以大小为10 eq \r(3) km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速大小为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h. [解析]　如图：船在静水中的速度大小为|v1|＝10 eq \r(3) km/h，河水的流速大小为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度大小为|v0|，则由 |v1|2＋|v2|2＝|v0|2， 得(10 eq \r(3) )2＋102＝|v0|2， 所以|v0|＝20 km/h， 即小船实际航行速度的大小为20 km/h. [答案]　20 ●纠错心得 实际问题中的合力、速度、加速度问题均是向量问题，解题时注意应用向量的运算法则与几何意义，避免错误． 平面向量基本定理的应用 [典例]　(13分)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN. [审题指导]　先选定基底{ eq \o(BM,\s\up16(→)) ， eq \o(CN,\s\up16(→)) }，利用已知条件和A，P，M和B，P，N分别共线，由平面向量基本定理，分别求出 eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝x eq \o(PM,\s\up16(→)) ， eq \o(BP,\s\up16(→)) ＝y eq \o(PN,\s\up16(→)) ，即求线段之比． [规范解答]　设 eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝e1， eq \o(CN,\s\up16(→)) ＝e2，(1分) 则 eq \o(AM,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CM,\s\up16(→)) ＝－3e2－e1， eq \o(BN,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CN,\s\up16(→)) ＝2e1＋e2.(3分) ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得 eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝λ eq \o(AM,\s\up16(→)) ＝－λe1－3λe eq \o\al(①,2) ，(4分) eq \o(BP,\s\up16(→)) ＝μ eq \o(BN,\s\up16(→)) ＝2μe1＋μe eq \o\al(②,2) .(5分) 故 eq \o(BA,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BP,\s\up16(→)) ＋ eq \o(PA,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BP,\s\up16(→)) － eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.(6分) 而 eq \o(BA,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CA,\s\up16(→)) ＝2e1＋3e2，(8分) 由平面向量基本定理， 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)．)) (11分) ∴ eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(4,5) eq \o(AM,\s\up16(→)) ， eq \o(BP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(3,5) eq \o(BN,\s\up16(→)) ，(12分) ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.(13分) $$