4.3 指数函数与对数函数的关系(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.3　指数函数与对数函数的关系 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 学业标准 素养目标 1．了解反函数的定义及存在反函数的条件，知道y＝ax与y＝logax互为反函数，会求简单函数的反函数．(难点) 2．掌握互为反函数的定义域、值域、单调性、图象间的关系，并能简单应用． (重点) 1．通过从教材实例中归纳出反函数的定义，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过利用互为反函数间的关系解决问题，提升学生逻辑推理、数学运算等核心素养． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 导学1　反函数的定义 　函数y＝x2，定义域为[－1，1]，求函数的值域，并判定x是y的函数吗？若定义域改为[0，1]呢？ [提示]　函数的值域为[0，1]，如y＝1∈[0，1]，则x＝±1∈[－1，1]，故不能构成x是y的函数． 若定义域为[0，1]时，y＝x2是增函数，由函数的定义知x是y的函数． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * x y 反 y＝f－1(x) ◎结论形成 1．反函数的定义及表示 (1)定义 如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么______是______的函数，这个函数称为y＝f(x)的______函数． (2)表示方法 函数y＝f(x)的反函数记作_______________． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 2．反函数的求法 对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到． ●点睛　如果y＝f(x)是单调函数，那它的反函数y＝f－1(x)一定存在． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * R (0，＋∞) (0，＋∞) R 导学2　指数函数与对数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax y＝logax 关系 互为反函数 定义域　 ____ __________ 值域 __________ ____ 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 增 减 增 减 图象及 关系　 图象关于y＝x对称 单调性　 当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是______函数； 当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是______函数 当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是______函数； 当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是______函数 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 函数值变 化情况 当a＞1时， ax eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＞1(x＞0)，,＝1(x＝0)，,＜1(x＜0).)) 当0＜a＜1时， ax eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＜1(x＞0)，,＝1(x＝0)，,＞1(x＜0))) 当a＞1时， logax eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＞0(x＞1)，,＝0(x＝1)，,＜0(0＜x＜1).)) 当0＜a＜1时， logax eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＜0(x＞1)，,＝0(x＝1)，,＞0(0＜x＜1))) 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 导学3　函数与其反函数的性质的关系 (1)定义域、值域：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (2)图象：互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数． (3)单调性：互为反函数的两函数单调性一致． ●点睛　f[f－1(x)]＝x，f－1[f(x)]＝x. 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2的反函数为y＝ eq \r(x) .(　　) (2)函数y＝10x的反函数为y＝lg x．(　　) (3)函数y＝f(x)的定义域为[0，1)，则其反函数的值域为[0，1).(　　) (4)若f－1(1)＝2，则f(2)＝1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 2．在同一坐标系中函数y＝－log2x与y＝2－x的图象(　　) A．关于y轴对称　　　 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于y＝x对称 解析　y＝－log2x＝log eq \s\do17(\f(1,2)) x与y＝2－x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) 是互为反函数，图象关于y＝x对称，故选D. 答案　D 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 3．函数y＝1＋ eq \f(1,x) (x＞0)的反函数为________． 解析　∵x＞0，∴y＝1＋ eq \f(1,x) ＞1， 由y＝1＋ eq \f(1,x) 对调其中的x和y得y＝ eq \f(1,x－1) ， 即f－1(x)＝ eq \f(1,x－1) (x＞1). 答案　f－1(x)＝ eq \f(1,x－1) (x＞1) 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 4．函数f(x)＝2x＋b的反函数过点(1，2)，则实数b的值为________． 解析　依题意函数f(x)＝2x＋b过点(2，1)， 即2×2＋b＝1，∴b＝－3. 答案　－3 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 题型一　求反函数 　求下列函数的反函数： (1)y＝log2x；(2)y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(x) ；(3)y＝x2(x≤0). 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * [自主解答]　(1)由y＝log2x对调x和y， 解得y＝2x， 所以f－1(x)＝2x. (2)由y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(x) ，y＞0， 对调x和y，解得y＝log eq \s\do17(\f(1,3)) x， 所以f－1(x)＝log eq \s\do17(\f(1,3)) x(x＞0). 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * (3)y＝x2，x≤0，∴y≥0，并对调x和y， 即x＝y2，此时y≤0， 解出y＝－ eq \r(x) ，所以f－1(x)＝－ eq \r(x) (x≥0). 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 求反函数的一般步骤 (1)求原函数值域，即由y＝f(x)求y的范围． (2)由y＝f(x)对调x和y，并解出y(用x表示)，即求出f－1(x). (3)注明反函数的定义域即原函数的值域． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * [触类旁通] 1．求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数． 解析　由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，对换x，y得y＝log0.2(x－1). 因为原函数中x≤1，y≥1.2，所以反函数的定义域为[1.2，＋∞)， 因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞). 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 题型二　原函数与其反函数性质的应用(一题多变) 　已知函数f(x)＝ax＋b的图象过(1，7)，其反函数f－1(x)的图象过点(4，0)，则f(x)的表达式为(　　) A．4x＋3　　　　　　　 B．3x＋4 C．5x＋2 D．2x＋5 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * [自主解答]　∵f(x)的反函数图象过点(4，0)， ∴f(x)的图象过(0，4)， 又f(x)＝ax＋b的图象过(1，7)， 所以有方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0＋b＝4，,a＋b＝7，)) ∴a＝4且b＝3，故f(x)的表达式为4x＋3.选A. [答案]　A 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * [母题变式] 1．(变结论)在本例的条件下，求f[f－1(11)]的值． 解析　根据反函数的性质得f[f－1(11)]＝11. 2．(变结论)函数y＝4x＋3与函数y＝log4(x－3)(x＞3)的图象之间有什么关系？ 解析　∵y＝4x＋3与y＝log4(x－3)是互为反函数， ∴二者的图象关于y＝x对称． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 若点P(m，n)在函数y＝f(x)(或在反函数y＝f－1(x))的图象上，则点P′(n，m)在反函数y＝f－1(x)(或在函数y＝f(x))的图象上，利用这种对称性去解题，常常可以避开求反函数的解析式，从而达到简化运算的目的． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * [触类旁通] 2．若函数y＝f(x)的图象过点(－1，3)，则其反函数y＝f－1(x)的图象一定过点________． 解析　∵函数y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，3)，所以y＝f－1(x)的图象一定过点(3，－1). 答案　(3，－1) 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 题型三　指数函数与对数函数的综合应用 　已知f(x)＝ eq \f(a·2x－1,2x＋1) (a∈R)，f(0)＝0. (1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的反函数； (3)解关于x的不等式f－1(x)>log2 eq \f(1＋x,k) (k＞0且为常数). 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * [自主解答]　(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ， 因为f(x)＋f(－x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＋ eq \f(2－x－1,2－x＋1) ＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＋ eq \f(1－2x,1＋2x) ＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * (2)因为f(x)＝y＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＝1－ eq \f(2,2x＋1) ， ∵2x＞0，∴0＜ eq \f(2,2x＋1) ＜2，即－1＜y＜1， 由y＝1－ eq \f(2,1＋2x) 对调x和y， 即x＝1－ eq \f(2,1＋2y) 解得y＝log2 eq \f(1＋x,1－x) ， 所以f－1(x)＝log2 eq \f(1＋x,1－x) (－1<x<1). 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * (3)因为f－1(x)>log2 eq \f(1＋x,k) ， 即log2 eq \f(1＋x,1－x) >log2 eq \f(1＋x,k) (k＞0)， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)>\f(1＋x,k)，,－1<x<1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞1－k，,－1＜x＜1.)) 当0＜k＜2时，原不等式的解集为(1－k，1)； 当k≥2时，原不等式的解集为(－1，1). 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * [素养聚焦]　　本题主要考查指数函数与对数函数性质的综合应用，突出考查数学运算、逻辑推理核心素养． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * [触类旁通] 3．设函数f(x)＝2x＋p(p为常数且p∈R). (1)若f(3)＝5，求f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，解方程：f－1(x)＝log2(x＋1)＋log2(2x－1). 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 解析　(1)由题设可得23＋p＝5⇒p＝－3， 所以f(x)＝2x－3. (2)由(1)可得f－1(x)＝log2(x＋3)(x＞－3)， 于是方程log2(x＋3)＝log2(x＋1)＋log2(2x－1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,2))) ， 即x＋3＝(x＋1)(2x－1)， 解得x1＝ eq \r(2) ，x2＝－ eq \r(2) (舍去)，所以方程的根为x＝ eq \r(2) . 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 知识落实 技法强化 1．反函数的定义． 2．反函数的性质． 原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数来求值，不必求出反函数或原函数． 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 * 谢谢观看 4691.psd $$