《囯考1号》2024届高三数学（理工类）第五套 学月滚动检测

国考号 5 班级 2024届高三阶段性考试(二) 数学(理工类) (考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号和座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.已知集合M=xlx2-9<0 ,N={x x-a<2 .若Vx。<N,x。EM,则a的取 值范围是 B.[-1,1) A.(-1,1 C.[一1,1] D.(-1,1) 2.已知复数:是方程x2一x十1一0的一个根,则z·= . B C.1 D.2 A.)是q的充分条件但不是必要条件 B.)是q的必要条件但不是充分条件 C.)是q的充要条件 D.?既不是g的充分条件也不是9的必要条件 2e {##{### C A B 国考1号5·理数第1页(共6页) 5.将函数f(x)=sin(ox-)(a→0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C, 若C关于v轴对称,则的最小值是 A. B.# C.2 D.11 6. 记S。为等差数列a.的前n项和.已知S=0,a十a=2,则 C.S.-2n-7n A.a.-2n-7 B.a-4n-9 D.S-2-7n ,则oB# B. C. D #### B. C.# 9.2023年1月底,人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊 天程序进入中国,迅速以其极高的智能化水平引起国内关注,深度学习是人工智 能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化 中,指数衰减的学习率模型为L一L。D,其中L表示每一轮优化时使用的学习 率,L。表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G。表示衰减速度 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6,衰减速度为16,且当训练 迭代轮数为16时,学习率衰减为0.36.则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需 的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg2~0.301,lg3~0.477 A.33 B.35 C.37 D.39 A./(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于直线x一π对称 C.x(0,n)时,存在,使得f(x)0 D.f(x)的图象关于点(一2π,0)对称 国考1号5·理数第2页(共6页) $1.已知a>0,>0,a++4=2ab,给出下列结论 . 其中所有正确结论的序号是 A.②③ B.③④ C.①③④ D.②③④ 2^{x。-2成立,则a的取 12.若存在xoE[-1,2],使不等式x。+(e^{②}-1)lna e{} 值范围是 A., C. B.。 D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知向量a=(1,3),b=(1,-1),c=(4,5).若a与b十xc垂直,则= 14.记数列。的前n项和为S。,若数列。同时具有下列性质①②③,则a。的通 项公式可以为 _.(写出符合条件的一个通项公式即可) ①a<a;②对任意m,nN,a.=a·a;③S<1. 15.已知函数f(x)=2-1-2-十x-1,则满足不等式f(2a)十f(4-a)>0的实数 a的取值范围是 16.剪纸,又名“刻纸”,一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻出花纹,制作成具有镂空效果 的造型艺术,如图,一圆形纸片直径AB一40,现对折成半圆,取半圆张上的三等 分点C,D,现沿EC,FC,GD,HD裁剪,剪去两个全等且关于线段AB的中垂线 对称的△CEF与△DGH,展开就得到一个镂空的图案.已知 ECF一 GDH 45^*,则两个镂空的四边形CECF与DGD.H面积和S的最小值为 对折 剪 国考1号5·理数第3页(共6页) 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为 必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分) 已知等比数列a。的前n项和为S。,目S,S。,S(其中EN)成等差数列 问:a,a,a.是否成等差数列?并说明理由 18.(12分) 数学与音乐有着紧密的关联,我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音,而是由多 种波叠加而成的复合音,复合音的产生是因为发声体在全段振动,其各部分,如二 该函数可看作由函数y-sinx与y一2sin2x相加而成,利用这两个函数的性质, 我们可以探穷函数f(c)的性质 v=sinx )=-sin2x (1D)求f(x)的最小正周期,并求使f(x)之0成立时x的取值集合; (2)当x 一π,3x]时,探究函数g(x)三f(x)一1零点的个数,并说明理由 国考1号5·理数第4页(共6页) 19.(12分) 给出以下三个条件: B+C ①1+cos 2A=2cos{π+A. ;②sin =asin B;③a(sinB+ /3cos B)=3c. 2 从以上三个条件中任选一个,补充在本题相应的横线上,再作答(如果选择多个 条件分别作答,按第一个解答计分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,已知 (1)求A的大小; (2)若b十c-/②a,求sinB 20.(12分) 已知函数f(x)一(x-1)e十ax. (1)求证:f(x)elnx士ax (2)过点(1,0)可以作曲线三f()三条切线,求的取值范围 21.(12分) 已知函数f(x)一e-3ax. (1)若f(x)有两个零点,求a的取值范围 (2)若x>0,f(x)>2一cosx,求a的取值范围 国考1号5·理数第5页(共6页) (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题计分。 22.[选修4一4:坐标系与参数方程](10分) 1一-. 在平面直角坐标系xOv中,直线/的参数方程为 (t为参数).以坐标原点 -3t 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为o{}十4ocos0- 8-0,P为C上任意一点,若将P点的极径伸长为原来的2倍至Q点,极角不 变,记点Q的轨迹为E (1)求/的普通方程和E的极坐标方程; (2)设与E的交点为M,N,求MN 23.[选修4一5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)= 2x-1十2x+3. (1)解不等式f(x)8十x (2)令f(x)的最小值为T,正数a,b,c满足a十b十c=T,证明:ab十ac<2/② 国考1号5·理数第6页(共6页):10月酸A.月 测肾-音一受十，k∈么.则有w一3动十2，长么又>0，所以w的最小值为之 6,命题意围：本小题主县考查等差数列的通项公式以及信”项和公式等基陶知识，考查轴象 理数参考答案 概括，运算求解等数学能力和创新能力，本毯根据2019年高考题改编： ①本套试题考试范：果台与简局逆辑，函戴，导数的应用，不等式，平菌舟量，三角话数， 答案A.由题知 S=+号×x5-0, 所以4.一2w一7，故遗L 1+2d+a+4d=2, d=是. 最列，复数，这考为容等等。 7.命题意周：本小毯主要考查正弦定理和余弦定理烧用，问角三角雨数基木关系等基由知肌， ②企寒焉，中.对比判为：4：5t1；全6鸡度系数预当：055-0.66. 考查化日与转化等数学思组，考查运算求解等数学能力。 一，选择题（共0分】 答案A在△ABC中，mC-受可得msC-号AC-8,5C-i,积据余弦定理得AB 题号123456789101山12 答案C CAAC AA C BDD D 智十有-×X6×号6得A=6博=成C--散 2AB·C 1,命题意图：本小题主要考查集合间的基本关系等基陆知识，考查化日与转化等数学思想，推 B-合 象横搭等数学能力 8,命题意阁：本小题主安考查同角的三角函数关系，两角和与差的正弦，余燕和正切公式等琴 落果C,由Y,∈N,∈M可知，NM由M=x一3≤r≤31.N=xw-2<x< 知识，考查化归与转化等数学里想，考查运算求解等数学能力 公十2，期有4十23且a一23一3，所以一1e1. 答常C由ana十an产2，得血e+g=之.期i西c是=之，又i加(a+D= 2,金圈意图：本小题主裂考查复数代数运算等基磴知识：考查化日与转化等数学思想，考查运 cus cos cosecosp 草求解等数学能力。 号.即nos叶coain=则月=年，又由msa十》=专将，cos scos 容案C,由题，设：一u+i(年，bER),代人原方程，得(a+一《a++1一0，可得a :-。1-0且26-6-0，解将a一宁~士号则一号±停.断以-1 3.命圈意图：本小断主要考查平面向量运算，充分条件与必要条件等基础知俱，考在能象概括 等数学能力。 9.命题意图：本小题主数考查指数式与对数式的运算，两数模里的应用等基岛知识，考查阅读 答案A山一1，期a一(1,0》与b一(18)的类角为要，反之，若▣与6的炎角为，可知 理解能力，訕象概括能力，运算求解能力。 x0,故P是度的充分条件但不是必要条件. 答案队旅题意，0，乐×D=4,36,则D=以6，因为学习率套减到0,2以下（不含Q,2),所以 .命题意图，本小题主婴考查伤数图象和性质等基本如识：考查数形结合思想，考養抽象概括 6xa0<a2斯a9<a,所以+)a6<e2.则1+得股程货号号 等数学能力。 0.301-1 答案A.由圈知f(一x)=一f(r),放函数(x为将函数，排释B.D:义E(0,x)时， m301+0.477可*1.1，则6>34.4，所以取G-6 snz0,期f《c)0,故选A 10.命题意图：本小题主婴考查三角函数的图象和性质等知识，考查推理论正，运算求解等数 五.命题意图：本小题主要考查三角函数的函象和性质等知识，考在推理论证，运算求解等数学 学雀力，考查函数与方程、化归与转化。数形结合等数学巴想，与查数学拍象，逻辑推旺、数 能力·考查磷数与方程、化甘与转化，数形结合等数学思想，考查数学轴象，逐料推理，数学 学运算等素养，本黑根据2D20年新课标3卷改编。 运算等素养.本题积据2020年新课标3卷改编 容案D.由于f一x)一一()，可知f(x)为奇函数，（的图象关干鲸点对称，则A错 答案C依题意，曲线C的方程为y一八x+子)一(+答-著}又C关于y轴对称， 英：通于/2红--血2g-)2-刀一加r+产e的图象不关 10月色A·夏数参考答案第1奥（共4直 于关于直线一x对称，5错说：∈(0，元时，令1一m士则0<≤1，所以≥，所以y 14.命题意图：本小恩主要考查等比数列的既念，通项公式以及前知项和公式等基赠知识.考 查抽象鬟括等数学能力和叫新德力， 1一≤0，放不存在。，使得)>0，C错提：由于f(-4标-)一血（一-）- 答案=（侵）”，=（侵）尊，依超意取列，为西适装的等比数死 如-十品一f,即K一+-0，放)的图象关于 15,命愿意图：本小题主要考查函数性质，不等式等基用知朗.考查化归与转化，数形药合等量 点（一2x0》对称，D正确， 学思思，考查推理论证，运算求解等数学能力 1L,命题意图：本小通主要考查函数与导数，基本不等式等基碑知识，考查化自与转化等数学 答案(-2，十).明为f八2x3=2-21+1-r,则f八2-x)十f(x)-0,所以fx)的 思想，考查性理论任，运算求解等数学能力。 图象关于点(1,0》对称，且f代x)单词递增，不等式/(2a)十f(4一a)>0,化为f《2a)>一 答案D,由a+b十4一2ab可得4+4-《2u-1)6,因为a>0.6>0,所以24-1>0，即a> f（4ma》=f(a-2),所以2a>a2,解得e>-2, 不一定都情是>号①不正确：由十十4一2<2（士气.解得u十≥，@正确： 1 6,命题意图：主要考在正弦定理和余弦定理的应用，基木不等式等基出知识，考在化日与转 化等数学思银，考雀推理论证，运耳求解等数学能力和创新能力 又2如-u+6+2v瓜+4，的得ab.0正确：曲已知，得6一号·则}+名-上士 容案1200（臣一1）.由对释性可得.S=4Sm,如图，设0为翼心+连接 0-。的十s令f-}-+>2)gru-}+a% 36 (C,作CK⊥AB于K,依毯意CK一10，议CE-m,C下-b,EF-c, 52,了u=0-言站<时/o0当a> 期Sm一言如5-之·CK对ab-10,,由余弦定理号 a(a+4 时了a)>0,避a=是为f()的极小植点，恤即为最小值点，则（容（告）-是。 计得，反ab-。+6一篇≥2ab一需，可得ab≥60(2-E,当且仅当a-6 2ab ④正确. 6002-②)时取等号，所以5=45m=4×号ab≥120区-D,甲8最小监为 12.命题意图，本小短主要考查函数性质，不等式以及牙数综合应用等知识，考查推理论证，运 12004w2-10. 算求解等数学能力，考在函数与方程、化归与转化、数形站合等数学思想，考查数季轴象， 三，解答题{其70分1 证纸挫理，数学运算第素养 (一}必考题：其0分 答案D.由于要-2，图原不等式等价于eaa一-na≥ 7,命愿意图：本小恩主婴考查数列通项公式以及前：项和公式等基留知识，考查化归与转化 2+ex-,一2.则有c(na-,》+22e十lna-2+x 等数学思想，考在推理论证，运算求解等数学能力 一o,令ng-五=t:划原不等式化为e1+2≥22十t,令 0=,寿+1 解所：心10成等差数列。……………时碧分 f()=2e十t,g:1=十2，因为g(0)=/(0)=2,2) 由如下： /(2)=2+2.如图可知.当/)≤g(:)时.则有∈[0,2]，则 设等比数列，的公比为 有0nù一，2，所以l血无x+2,由已知，存任%日 由于S,5.,5.(mEN)线等差数列， [一12，使得不等式成立，则-一1≤mu<t.解得。<a 即有S。十S一2S。十小小4分 若写一1，则1十6网一2×m…是然不减立，故公比≠1.…分 二，填空题（共20分） 13,命西意因：本小题主要考查平面向量线性运算，向量屠直的列断等基健知识，考查抽象概 于是有目二g)+442=2×4二 1-g 1一 1一 括.运算求解等数学能力。 即有1一g"十1一”=21一》.即+g=g,放有1十”=2g“。m9分 答案由随意，叶灰-1+以，球一1)一，由a与6+c看直，测a·(b+加)-0，即1+ 期w十dw=1g1十411=dwT(1十) -11×2-2aw1-2a. 8+3×以-D-0,解得一高 所以山山n-成等差数列. +…12分 10月色A·夏数参考答案第2奥（共4直 18命题意图：本小题主要考查三角函数的闲象和性质，考查化阳与转化等数学思想。考查抽 若这择您，由已知snBC 象载括能力，推理论证能力，运算求解能力以及刻新能力 ()函数y一的最小正周期为y一2加2：的最小正调期为， 做据正弦定理，得sin Bsin B+C-sin BsinA. 2 Kr)inin2in(2)in(inin) 周为0<A<,放>0州n生-血A,即有m号学-血A 而/十n=m+x+ia2+2aimr+in2≠ 221 所以f八x)的最小正具期为2x 所以号-晋则A一手 344 …4分 要楼G0,厚m+安n2r=nt+em0.义1+m≥0， 若远择您，u(sini+3enw)一原e: 若1十csF-0,即c0sx一-1时，则x一(20-11开，k∈Z,满足茶件： 根据正弦定理.得y5sinC一sinAsin B+原i加cos B. 若1十cwr>0,也即wr≠一1时，不等式inr(1十e%x)0等价手inr0, 于是愿in(A+B)=sin Asin B-+唇sinAc%B, 北时(2站一1x<x运2km, 则有，3 sAsin B=win Asin B. 绿上所述，放《)0成立时x的取值集合为r2需一xr2处新t∈么…6分 由于inB≠0，期osA-nA,即有unA-,,又AE∈(0，n, (2规察销数y一m正与y一麦n2红的得象， 所以A一受 可以列断)图象在0，止先增后减，且0，又）-②L, 2由h+e-色a得mB+nC-2nA-受 可知/《x>1,又0》=(x)=0, 所以在[0，]上所数y一Fc)与函数y-1有两个交或。 期nB+m(管B)小一受，即有mB+停mB+名加B-号 由于f《一x一一)，可知/《r)为奇函数，则xE[一m0时，Ax0, 化商再，原nB+oB=克，即有n(B+吾)）一号 故在工一，0们上函数y=(x)与函数y=1没有交点 所以2E[一xx]时，y-(z)与两数y一1有两个交点. 由B∈(o,）B+晋∈（管·）所以B+晋-晋或 因为《x)的最小正具期为2x, 故在「x,3]上函数y=f(x》与炳数y=1也有两个交点. 期mB=如（停一清）=气2或如B=m(售-若）后中2 银上所述r∈[一3x时，函数g(a)=(t)一1零点的个数为，…4…2分 所以如B石+2成瓦-2 1命题意图：本小题主要考查正荒定理和余兹定理，停单的三角：等变换等基陆知，考查 2.命题意图，本小题主要考查子数的几何意义，利用中数研究两数性质等基碍如识，考查了 化归与转化等数学恩想，考查运算求解等数学能力 化日与转化，函数与方程等数学思想，考查裤理论证，运算求解等数学能力， 解析：1若选邦①： (1)令g(a)-f)-eln一m-(x-1e-dn(r0), 因为1中oes2A=2os2告，所以2cA=2ain号-1-osA 则8u)-e-品>0，可短>0时g()单调通增，又81)-0， 2cos:A +c0A-1-0. 所以0<<1时g(x<0,)单到遂减r>1时，x气.>0，底r)单到递增 所以mA壹又A∈0， 放x=1时g(x)取得极小值.也即为最小值.则g《)≥g()=0. 所以/(x)≥cnT十r,F01手分 所以A一茶 …分 〔2)设钢点（红·），依题意，fx)=(z-1)十r,f(x)=e+u 10月色A·理数参考答案第召奥（共4真） 则切线方程为y一n=了)(x一)，即有y-《r一1)一4r=《x+》(x一)， 所以a1,则4≤字 该切线过点1,0)，则一（一1）e一4n=(十)1一6， 化简得4=（一2，+1）， 蜂上斯述4的取值施围是（一一，号] 过点(1,0)可以作曲线y一f(x)三条切线，只需要该方程有三个不同实织即可， (二选考题：共10分 令A(x)-(x-2x十1e,期(x)-(2-1)e, 22,命愿意图：本小题主装考查参数方程，极坐标系与极坐标方程等基出知识，考在运算求解 可知2<一1时，'(z】>0,'x)单调递增：一1<<1时，(r)<0.'(工)单调通诚： 能力和叫新意识，考在数形结合、化村与转化思想 x>1时，k'(工)>0，'x)单递增， ()由子的参数方程可得其皆通方程为y一一工，4…4…2分 放x=一1时kx)取得鳗大值（一1）=。x=1时x)取得楼小值k1)=0, 设Qe,期P(号0)在C上，所以号+4×号0s一8=，…4分 又+一o,h(r)0.++o,h(x)-+0.义rER时，h(r)0, 所以E的版坐标方程为p十8eos0-32=0,………5分 所以，当0<<时，直线y一：与由线y一A)有三个公共点，即方程a-(一2。+13e 2由愿，直线1的极坐标力程可化为an0-一5，用0-警(cR，…6分 有三个实数根. 代人E的版坐标方程.得：一p一32一0， 所以过点日0)可以作围线y=代)三条切线时心的聚慎意围时(0，…12分 令Mn,8),N(m,4), 21,命意园：本小题主要考在丽数图象和性霞，函致零点，导数的应用等基健知识，考在化归 有>0十两-【%供-一含2，…8分 与转化，函数与方程等数学思想，考查鞋理伦正，运算求解等数学能力。 周1MN-A一=√n十=P年-V一X一32)-12.…1D分 解析，1依题意，厂《一e-3秘， 3.命题意图：本小题主婴考查含绝对值不等式的解法，两数最值，不等式的适明方法等基本 若a≤0，测了(>，fr)单湖速增，f)不存在两个零点： 知识，考查化归与转化，分类与整合等数学思想，考查运算求解等数学能力。 若a>0,期<n3m时，了(x)<0,fr小单到递减：>ln3a时，f(x)>0,f(x)单调通增， 此时￥一血3a为《的极小值点，也即为最小值点 当<-意时，u)--2+1-2一38+，解得-2<-喜：…1分 当上+-时，f)◆+m十时，x)+十， 背-≤名时)=-2+1+r+38+,解得一是< 14442分 函数《)有两个零点，只需)<0博可， 则有心-3an3a<0,博1n3a>1.所以>学， 当>时儿)=2红-1+2x十38十x,粮得分<x2,…3分 综上所述，原不等式的解集为r一2工2,444444…5分 所以代有网个零点时，a的取值花W是（行，十心…4分 (2)由题f(r)=2x-11+|2x+3≥|2r-1-42z+3)1=t. 2)山f(x)2g-o*x,得-3ur22一0wx.即+e09r一233a.r, 当L仅当(2红一D2z+3)0,博-是<x≤号时取“-“ x=0时，此不等式成立： >0时，不等式变形为3知≤一2+es」 所以，场数f(z》的最小值丁-4，故a十自十《一4.…4444447分 设r(r)=g+0sx一2一r(xD0),则(x)=-sin一， 则va函+vac-(h+√c号（位++t小号a++0-2v2, 令(r-w(=g一inr-l,则p(=e-eos.r: 当且仅当6-c-20一1取” 可知x0时，e1c0sx,即(x)>0, 所以(r)单解递增，所以(T>p(0)=0.即4(x)>0, 所以，@而+√2泛，… …10分 可知x)单同递增，则x20时，(x)w(D1一0. 所以>0时-8+e0m->0e-2+0s>.所以心-名m工>1. 10月色A,理数参考答案第4奥（共4直