章末达标检测4 指数函数、对数函数与幂函数(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[满分：150分，时间：120分钟] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若3x－2y＝2，则＝(　　) A．　　　　　　　 B． C．5 D．25 解析　＝52y－3x＝5－2＝. 答案　B 2．幂函数的图象经过点，则它的单调增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞) 解析　设幂函数f(x)＝xα，将代入得α＝－2，所以f(x)＝，易知其单调增区间为(－∞，0). 答案　C 3．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f＝－＝＝0， 又x≠0，可得ex－ex＝0，即ex＝ex，则x＝x，即1＝a－1，解得a＝2. 故选D. 答案　D 4．已知a＝log816，b＝log36，c＝21.1，则(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析　因为a＝log816＝log2324＝，b＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，log3＜log32＜log33，即＜log32＜1，所以b＝1＋log32∈(1.5，2)，c＝21.1∈(2，＋∞)，所以a＜b＜c. 答案　A 5．函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间是(　　) A．(1，3) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(3，＋∞) 解析　f(x)＝log2(x2－2x－3)要满足x2－2x－3＞0，解得x＞3或x＜－1，又y＝log2u是增函数，所以只需求出g(x)＝x2－2x－3的单调递增区间，g(x)＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，且开口向上，结合函数的定义域可得：f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间为(3，＋∞). 答案　D 6．已知函数g(x)＝2x－，若f(x)＝ 则函数f(x)在定义域内(　　) A．有最小值，但无最大值 B．有最大值，但无最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 解析　当x≥0时，函数f(x)＝g(x)＝2x－在[0，＋∞)上单调递增，设x＞0，则－x＜0，f(x)＝g(x)，f(－x)＝g(x)，则f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，综上可知函数f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1－1＝0，无最大值． 答案　A 7．已知某函数图象如图所示，则该函数解析式为(　　) A．f(x)＝ln |x|－ B．f(x)＝ln |x|＋ C．f(x)＝＋ln |x| D．f(x)＝－ln |x| 解析　对于A，f(1)＝ln |1|－＝－1，显然不满足图象，故A错误； 对于B，f(－1)＝ln |－1|＋＝1，显然不满足图象，故B错误； 对于C，f(2)＝＋ln |2|>0，显然不满足图象，故C错误； 对于D，经检验，f(x)＝－ln |x|满足对应图象，故D正确． 答案　D 8．已知函数f(x)＝的值域为[－8，1]，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3，0) C．[－3，－1] D．{－3} 解析　当0≤x≤4时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以－8≤f(x)≤1； 当a≤x＜0时，f(x)＝－， 所以－≤f(x)＜－1， 因为f(x)的值域为[－8，1]， 所以故－3≤a＜0. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数y＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　) 解析　当a＞1时，∈(0，1)，因此x＝0时，0＜y＝1－＜1，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合；当0＜a＜1时，＞1，因此x＝0时，y＜0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合．故选CD. 答案　CD 10．某工厂12年来某产品总产量S与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法正确的是(　　) A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第3年后至第8年这种产品停止生产了 D．第8年后至第12年间总产量匀速增加 解析　由图可知，前三年是由快变慢，第3～第8年总产量未发生变化，即停止生产．第8～第12年体现为匀速增长(直线模型)故B、C、D正确． 答案　BCD 11．函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　) A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值 B．f(x)在(1＋∞)上递减且无最小值 C．f(x)在定义域内是偶函数 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 解析　由|x－1|＞0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}． 设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a＞1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选AD. 答案　AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数y＝的定义域为________． 解析　要使函数有意义，则log0.5(4x－3)＞0，且4x－3＞0， 所以0＜4x－3＜1，解得＜x＜1. 答案　 13．函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________． 解析　f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)， 又函数满足＞0，解得－3＜x＜3，关于原点对称， 所以f(x)＝loga为奇函数，故 f(－2)＝－f(2)＝－3. 答案　－3 14．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at，有以下几种说法： ①这个指数函数的底数是2； ②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2； ③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等． 其中正确的命题序号是________． 解析　由图象知，t＝2时，y＝4，所以a2＝4，所以 a＝2，所以①正确． 当t＝5时，y＝25＝32＞30，所以②正确． 当y＝4时，由4＝2t1，得t1＝2. 当y＝12时，由12＝2t2，得t2＝log212＝2＋log23， 所以|t1－t2|＝log23≠1.5，所以③错误． 浮萍每月增加的面积不等，且增长速度越来越快，所以④错误．故正确的命题序号为①②. 答案　①② 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f(x)＝2x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的单调区间及值域． 解析　(1)因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－0)＝－f(0).所以f(0)＝0， 因为x＜0，f(x)＝2x， 所以x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x＝－， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象为 (3)根据f(x)的图象知： f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)； 值域为(－1，1). 16．(15分)已知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x). (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明； (3)求f的值． 解析　(1)由得即－1＜x＜1. 所以函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}． (2)函数f(x)为偶函数．证明如下： 因为函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}， 又因为f(－x)＝log2[1＋(－x)]＋log2[1－(－x)]＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)，所以函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)为偶函数． (3)f＝log2＋log2 ＝log2 ＝log2 ＝log2＝－1. 17．(15分)已知四个函数f(x)＝2x，g(x)＝，h(x)＝3x，p(x)＝，其中y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图所示． (1)请在坐标系中画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象，并根据这四个函数的图象总结出指数函数具有哪些性质？ (2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由． 解析　(1)画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象如图所示． 4个函数都是y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式，它们的性质包括： ①定义域为R. ②值域为(0，＋∞). ③都过定点(0，1). ④当a＞1时，函数在定义域内单调递增； 当0＜a＜1时，函数在定义域内单调递减． ⑤当a＞1时，若x＜0，则0＜y＜1，若x＞0，则y＞1； 当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1，若x＜0，则y＞1. ⑥对于函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，y＝bx(b＞0，且b≠1)，当a＞b＞1时，若x＜0，则0＜ax＜bx＜1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x＞0，则ax＞bx＞1. 当0＜a＜b＜1时，若x＜0，则ax＞bx＞1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x＞0，则0＜ax＜bx＜1. (2)举例：细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，这两个细胞分裂成4个……若原来有1个细胞，经过x次分裂，细胞个数为y，则y＝2x是一个指数函数． 18．(17分)牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t(单位：分钟)后的温度T满足T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta是环境温度，h称为半衰期．现有一杯80 ℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55 ℃.经测量室温为25 ℃，茶水降至70 ℃大约用时2分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待多少分钟？(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.669 0，lg 11≈1.041 4) 解析　根据题意，70－25＝ (80－25)，即＝，设茶水从70 ℃降至55 ℃大约用时t分钟，则55－25＝ (70－25)， 即＝，即＝＝＝， 即＝，两边同时取对数得2lg ＝lg ＝t lg ＝t(lg 9－lg 11)，解得t＝＝≈≈4， 所以从泡茶开始大约需要等待4＋2＝6分钟． 19．(17分)对于函数f1(x)，f2(x)，如果存在一对实数a，b，使得f(x)＝af1(x)＋bf2(x)，那么称f(x)为f1(x)，f2(x)的亲子函数，(a，b)称为f(x)关于f1(x)和f2(x)的亲子指标． (1)已知f1(x)＝2x－3，f2(x)＝x＋1，试判断f(x)＝5x－5是否为f1(x)，f2(x)的亲子函数，若是，求出其亲子指标；若不是，请说明理由． (2)已知f1(x)＝3x，f2(x)＝9x，F(x)为f1(x)，f2(x)的亲子函数，亲子指标为(－2m－2，m)，是否存在实数m，使函数F(x)在x∈上的最小值为－5，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由． 解析　(1)由题意得5x－5＝a(2x－3)＋b(x＋1)， 故2a＋b＝5，－3a＋b＝－5，解得a＝2，b＝1， 故f(x)＝5x－5是f1(x)，f2(x)的亲子函数，且亲子指标为(2，1)； (2)由题意得F(x)＝(－2m－2)·3x＋m·9x， 且－2m－2<m，解得m>－， 令t＝3x，则g(t)＝m·t2－(2m＋2)t， 因为x∈，所以t＝3x∈， g(t)＝m·t2－(2m＋2)t，t∈， 当m＝0时，g(t)＝－2t在上单调递减， 则g(t)min＝g＝－≠－5，不合要求， 当m>0时，g(t)＝m·t2－t对称轴为t＝＝1＋∈， 若1＋<，即m≥时，g(t)在上单调递减， 在上单调递增， 故g(t)min＝g＝－，令－＝－5，解得m＝， 经检验，均满足要求， 当1＋≥，即0<m<时，g(t)在上单调递减， 故g(t)min＝g＝m－＝－， 令－＝－5，解得m＝∉，舍去， 当m<0时，1＋<1，故g(t)在上单调递减， 故g(t)min＝g＝－， 令－＝－5，解得m＝∉，舍去． 综上，m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$