6.2.2 直线上向量的坐标及其运算(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)数轴上的点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列结论正确的是(　　) A．的坐标是2　　　 B．＝－3 C．的坐标是4 D．＝2 解析　易知向量的坐标为1－(－1)＝2，A正确；向量的坐标为－1－5＝－6，－3的坐标为－3×2＝－6，所以＝－3，B正确；向量的坐标为1－5＝－4，C错误；向量的坐标为5－1＝4，2的坐标为2×2＝4，所以＝2，D正确．故选ABD. 答案　ABD 2．已知＝(2，3)，则点N位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 解析　因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定． 答案　D 3．已知向量a＝(3，－4)，b＝(λ，8)，且a∥b，则|a－b|＝(　　) A．15　　　　　　　 B． C．16 D．225 解析　因为a∥b，所以3×8－λ(－4)＝0，解得λ＝－6， 所以a－b＝(3，－4)－(－6，8)＝(9，－12)， 则|a－b|＝＝15. 答案　A 4．(一题多解)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第三象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B． C． D． 解析　解法一　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)， 又＝＋λ＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 于是由＝＋λ可得， (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7y)， 所以即 因为点P在第三象限，所以解得λ＜－1. 故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1). 解法二　＝＋＝＋＋λ ＝＋λ＝(5，4)＋λ(5，7) ＝(5＋5λ，4＋7λ)， 所以P(5＋5λ，4＋7λ)， 因为点P在第三象限，所以所以λ＜－1. 答案　A 5．设数轴上两点A，B的坐标分别为－1，5，记线段AB的中点为C，则||等于________． 解析　C点坐标为＝2，则||＝3. 答案　3 6．平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长，取点E使＝，则点E的坐标为________． 解析　设C(x，y)，由＝， 得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4). 即解得 即C(－5，－2).又E在DC延长线上，＝， 设E(a，b)， 则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3)， 解得a＝－8，b＝－.所以E. 答案　 7．已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，以{e1，e2}为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式为________． 解析　设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)， 则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，所以 解得所以a＝e1＋e2. 答案　a＝e1＋e2 8．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2). (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值． 解析　(1)设B(x1，y1)， 因为＝(4，3)，A(－1，－2)， 所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， 所以所以 所以B(3，1).同理可得D(－4，－3). 设BD的中点M(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1， 所以M. (2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， 又＝λ(λ∈R)， 所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)， 所以所以 [关键能力·综合提升] 9．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　) A．2 B． C． D． 解析　由题意，以A为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形ABCD的边长为2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，M(2，1)，N(1，2)， 所以＝(2，2)，＝(－1，2)，＝(2，1)，λ＋μ＝λ(2，1)＋μ(－1，2)＝(2λ－μ，λ＋2μ)， 又＝λ＋μ， 所以解得所以λ－μ＝. 答案　B 10．(多选题)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　) A．＋＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD的中点，则B，C两点重合 D．若点B，C，D共线，则μ＝1 解析　A选项，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1，1－μ)，A选项正确． B选项，若∥，则λ·μ＝1，故可取λ＝3，μ＝，B选项错误． C选项，若A是BD的中点，则＝－，即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1，所以＝＝(－1，1)，所以B，C两点重合，C选项正确． D选项，因为B，C，D三点共线，所以∥，＝－＝(－1，1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)，＝－＝(1－λ，μ－1)，则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ)⇒λ＝－1或μ＝1，所以D选项错误． 答案　AC 11．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________． 解析　过C作CE⊥x轴于点E， 由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋，即＝λ， 所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝. 答案　 12．已知a＝(x，m)，b＝(3x－2，x＋2).①若a＝b，则m＝________；②若存在实数x，使得a∥b，则实数m的取值范围是__________． 解析　①因为a＝b， 所以⇒即m＝3； ②因为a∥b，所以存在实数λ，使得a＝λb成立，则有⇒x(x＋2)＝m(3x－2)，因此该方程有实数解， x(x＋2)＝m(3x－2)⇒x2＋x(2－3m)＋2m＝0，于是有Δ＝(2－3m)2－8m≥0⇒m≥2或m≤. 答案　①3　②∪[2，＋∞) 13．已知a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，在①(ta＋b)∥(a＋tb)，②|ta＋b|＝|a＋tb|这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． (1)若________，求实数t的值； (2)若向量c＝(x，y)，且c＝－ya＋(1－x)b，求|c|. 解析　(1)因为a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，所以ta＋b＝(－t，－t＋1)，a＋tb＝(－1，－1＋t). 若选择①：由(ta＋b)∥(a＋tb)，则－t(－1＋t)＝(－t＋1)·(－1)，解得t2＝1，所以t＝1或t＝－1； 若选择②：由|ta＋b|＝|a＋tb|， 则＝， 则t2＝1，所以t＝1或t＝－1. (2)由c＝－ya＋(1－x)b＝(y，y)＋(0，1－x)＝(y，1－x＋y)， 因为c＝(x，y)， 所以解得x＝y＝1， 所以c＝(1，1)，可得|c|＝＝. [核心价值·探索创新] 14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， (1)若＋＋＝0，则的坐标为________． (2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，则m－n＝________． 解析　(1)设点P的坐标为(x，y)， 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y). 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2). (2)设点P的坐标为(x0，y0)， 因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， 所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)， ＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)， 因为＝m＋n， 所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， 所以 两式相减得m－n＝y0－x0， 又点P在函数y＝x＋1的图象上， 所以y0－x0＝1，所以m－n＝1. 答案　(1)(2，2)　(2)1 15．已知向量u＝(x，y)与v＝(y，2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示． (1)证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)设a＝(1，1)，b＝(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标； (3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标． 解析　(1)证明　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)， 所以f(ma＋nb) ＝(ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， mf(a)＋nf(b)＝m(a2，2a2－a1)＋n(b2，2b2－b1) ＝(ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1). 所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)， 即对于任意向量a，b及常数m，n， 恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b). (2)f(a)＝(1，1)，f(b)＝(0，－1). (3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y，2y－x)，所以 所以c＝(2p－q，p). 学科网（北京）股份有限公司 $$