5.3.5 随机事件的独立性(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系说法不正确的是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 解析　因为P()＝，所以P(A)＝.又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．即只有C正确． 答案　ABD 2．甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　设甲加工的零件为一等品，乙加工的零件为非一等品的事件为A，乙加工的零件为一等品，甲加工的零件为非一等品的事件为B，则两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝×＋×＝. 答案　D 3．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”． ∵事件A与B相互独立，∴事件与相互独立． ∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为 P(AB＋)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.故选D. 答案　D 4．(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则(　　) A．2个球不都是红球的概率是 B．2个球都是红球的概率是 C．至少有1个红球的概率是 D．2个球中恰好有1个红球的概率是 解析　2个球不都是红球的概率为1－×＝，故A不正确；2个球都是红球的概率为×＝，故B正确；至少有一个红球的概率为1－×＝，故C正确；2个球中恰好有1个红球的概率为×＋×＝，故D正确． 答案　BCD 5．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P( )＝________． 解析　∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝.∴P(A)＝P(A)P()＝×＝，P()＝P()P()＝×＝. 答案　　 6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________． 解析　设此队员每次罚球的命中率为p， 则1－p2＝，所以p＝. 答案　 7．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.甲、乙两人在罚球线各投球一次，则恰好命中一次的概率为________，至多有一人命中的概率为________． 解析　设甲、乙分别投球命中的事件为A1和A2. 则恰好命中一次的概率为P(A1 2＋1A2)＝P(A1 2)＋P(1A2)＝×＋×＝，至多有一人命中的概率为1－P(A1A2)＝1－P(A1)·P(A2)＝1－×＝. 答案　　 8．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过． 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响． 求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 解析　记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9. (1)该应聘者用方案一考试通过的概率为 P1＝P(AB )＋P(BC)＋P(A C)＋P(ABC) ＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率为 P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC) ＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9＝0.43. [关键能力·综合提升] 9．掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“掷出偶数点”，事件B：“掷出3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 解析　事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件A∩B＝{6}，基本事件样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}．所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件． 答案　B 10．(多选题)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称，假设甲、乙、丙三人通过科目二的概率分别为，和，且三人能否通过互不影响，则下列说法正确的有(　　) A．三人都通过的概率为 B．三人都没通过的概率为 C．只有一人通过的概率为 D．至少有一人通过的概率为 解析　分别用A，B，C表示甲、乙、丙三人通过科目二考试的事件，三人均通过的概率为P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝，故选项A正确；三人都未通过的概率为P( )＝P()·P()·P()＝××＝，故选项B正确；只有一人通过的概率为P(A ＋ B ＋ C)＝×＋××＋××＝，故选项C不正确；至少有一人通过的概率为1－P( )＝1－＝，故选项D不正确，故选AB. 答案　AB 11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________． 解析　依题意得，加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率是1－＝. 答案　 12．小明和小杰在乒乓球比赛中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜．若两人每盘获胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是________． 解析　如果再打2盘，小明连胜2盘并最后获胜的概率为×＝；如果再打3盘，小明连胜2盘并最后获胜的概率为××＝；如果再打4盘，小明连胜2盘并最后获胜的概率为×××＝.所以小明连胜2盘并最后获胜的概率为＋＋＝. 答案　 13．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响． (1)求甲、乙各投球一次，比赛结束的概率； (2)求甲获胜的概率． 解析　(1)设事件Ak＝“甲在第k次投篮投中”，其中k＝1，2，3，设事件Bk＝“乙在第k次投篮投中”，其中k＝1，2，3，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，其中k＝1，2，3，记“甲、乙各投球一次，比赛结束”为事件C，C＝A1B1，事件1与事件B1相互独立， 根据事件独立性定义得P(C)＝P(A1B1)＝P(A1)P(B1)＝(1－P(A1))P(B1) ＝×＝×＝. 甲、乙各投球一次，比赛结束的概率为； (2)记“甲获胜”为事件D， D＝A1∪1 1A2∪1 1 A2 2A3 事件A1、事件1 1 A2、事件1 1 2 2A3彼此互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义得： P(D)＝P(A1∪A1 B1A2∪A1 B1 A2 B2A3) ＝P(A1)＋P(A1 B1A2)＋P(A1 B1 A2 B2A3) ＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3) ＝＋××＋××××＝， 甲获胜的概率为. [核心价值·探索创新] 14．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C， 则灯亮这一事件E＝ABC＋AB＋AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥， 所以P(E)＝P(ABC＋AB＋AC) ＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C) ＝××＋××＋××＝. 答案　B 15．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　) A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 解析　该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲， 则p甲＝2(1－p2)p1p3＋2p2p1(1－p3)＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3. 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，则p乙＝2(1－p1)p2p3＋2p1p2(1－p3)＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3. 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙， 则p丙＝2(1－p1)p3p2＋2p1p3(1－p2)＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3. 则p甲－p乙＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3－＝2p3<0， p乙－p丙＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3－＝2p1<0， 即p甲<p乙，p乙<p丙， 则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大．选项D判断正确；选项BC判断错误； p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关．选项A判断错误． 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $$