5.3.4频率与概率 5.3.5随机事件的独立性同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

5.3.4频率与概率 5.3.5随机事件的独立性 一、单选题 1．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 2．2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为，不中奖的概率为．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知事件，是相互独立事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 6．设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575 8．为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表: 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 27 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知A、B为两个随机事件，且A与B相互独立，若，，则（    ） A． B． C．事件A、B恰有一个发生的概率为 D． 11．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（    ） A． B．与为对立事件 C．与相互独立 D．与相互独立 三、填空题 12．某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为 . 13．[2025南昌二中高一期末]由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，活动共进行三轮，每人猜一次．已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙和甲都猜对的概率为，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 ． 14．已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为 ，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 ． 四、解答题 15．如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率： (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 16．某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 17．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，． (1)若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率； (2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率． 18．根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4～7.5 8.1～8.6 及格 7.6～9.5 8.7～10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生：7.0  7.2  7.2  7.3  7.4  7.4  7.5  7.5  7.9  8.3  8.6  9.6 女生：7.4  7.6  7.6  7.8  7.9  8.0  8.3  8.4  8.7  9.2  9.4  10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； (2)从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 19．某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的. (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联. 则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.4频率与概率 5.3.5随机事件的独立性 一、单选题 1．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 【详解】由题意合格率为，因此合格品件数约为（万件），故选：C． 2．2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为，不中奖的概率为．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，两张奖券中恰有一张中奖的概率为.故选：D 3．下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】对于①：随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值，正确； 对于②：某人打靶，射击次，击中次，那么此人中靶的频率为，但概率不一定为，故错误； 对于③：是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷次，不一定有次“正面朝上”，故错误； 对于④：是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；故选：B 4．已知事件，是相互独立事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为事件，是相互独立事件，所以事件，也是相互独立事件，又，，所以，，所以.故选：A 5．太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立， 若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为.D. 6．设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 【详解】设样本空间含有个样本点，由已知可得，， 所以，.因为事件A与事件相互独立， 所以，即，解得．故选：B. 7．甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575 【详解】由题意知，一二局甲胜的概率为：， 一三局甲胜的概率为：， 二三局甲胜的概率为：， 因此最终甲胜的概率为，故选：D. 8．为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，而，解得，， 设“甲同学答对了i题”，“乙同学答对了i题”，（）， 则，，，， 甲、乙两人共答对至少3道题的事件， 因此， 所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是．故选：C 二、多选题 9．中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表: 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 27 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可知，，， 事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，所以， ，，故选：AC. 10．已知A、B为两个随机事件，且A与B相互独立，若，，则（    ） A． B． C．事件A、B恰有一个发生的概率为 D． 【详解】设，，由A与B相互独立，得， 则，解得，，A正确，BD错误； 事件A、B恰有一个发生的概率为，C正确. 故选：AC 11．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（    ） A． B．与为对立事件 C．与相互独立 D．与相互独立 【详解】依题意，依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个， 事件“”包含的样本点有：，共6个； 事件，包含的样本点有：， ，共18个； 事件，包含的样本点有：，共7个， 对于A，，A正确； 对于B，包含样本点，事件A与C不为对立事件，B错误； 对于C，事件AB包含的样本点有，3个，， 则，即，事件A与相互独立，C正确； 对于D，事件BC包含的样本点有：，共4个， 而，， 事件与不相互独立，D错误．故选：AC 三、填空题 12．某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为 . 【详解】记取到红球为事件A，取到蓝球为事件B，取到的球不是红球也不是蓝球为事件C. 所以，,由题意，，且互斥， 则.故答案为： 13．[2025南昌二中高一期末]由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，活动共进行三轮，每人猜一次．已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙和甲都猜对的概率为，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 ． 【详解】设事件“甲猜对”，事件“乙猜对”，事件“丙猜对”，由题意，得 ，解得， 故乙、丙都猜对的概率为．故答案为：. 14．已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为 ，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 ． 【详解】这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件（，2，3，4，5）， “妻子在科目二考试中第i次通过”记为事件， 则，． 记事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”， 事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”， 则， ， ． 记事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”， 则， ， ． 因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为．故答案为：；． 四、解答题-应用题 15．如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率： (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 【详解】（1）调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车站有：（人）， 因此40分钟内不能赶到火车站的频率为， 用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为. （2）设分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站； 分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站， 依题意，，， 由，得甲应选择路径； ，， 由，得乙应选择路径，所以甲应选择路径，乙应选择路径. 16．某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 【详解】（1）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得. （2）由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以，故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 17．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，． (1)若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率； (2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率． 【详解】（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”． 由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以． 所以． 因此其得分低于4分的概率为； （2）设事件，，，表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，． 则“两次射击得分之和为8分”为事件， 且事件，，互斥，，， 所以两次射击得分之和为8分的概率. 18．根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4～7.5 8.1～8.6 及格 7.6～9.5 8.7～10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生：7.0  7.2  7.2  7.3  7.4  7.4  7.5  7.5  7.9  8.3  8.6  9.6 女生：7.4  7.6  7.6  7.8  7.9  8.0  8.3  8.4  8.7  9.2  9.4  10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； (2)从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【详解】（1）由给定数据得，12名高一男生50米跑测试成绩在7.3及以下的有4人， 高一女生50米跑测试成绩在8.0及以下的有6人， 所以估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率分别为和. （2）该校高一男生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为， 高一女生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为， 抽取的2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的事件为，则， 由（1）知，，显然事件相互独立， 因此， 所以2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率为. （3）依题意，，， ，因此，所以与相互不独立. 19．某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的. (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联. 则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则， 事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的. 则. （2）设方案一、二、三正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为元件， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则. 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立， 则 . 所以； 同理得：； . 又因为， ， 所以选择方案三可以使部件正常工作的概率最大. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $