第5章 统计与概率 章末整合提升(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[对应学生用书P100] [对应学生用书P100] (一)用样本的数字特征估计总体 1．样本特征数可分两大类，一类是反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数、百分位数，一类是反映样本数据波动大小，它包括样本方差及标准差，通常我们用样本的特征数估计总体特征数．有关样本平均数及方差的性质是高考热点． 2．统计活动中的数据分析，可以分析数据中的平均值、方差、标准差、中位数、百分位数、众数等数字特征数，从而全面把握总体情况． 　甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． (1)请填写下表． 平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上次数 极差 甲 7 1 乙 5.4 (2)根据你所学过的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平． [自主解答]　(1)根据图象及表格，我们可以依次在表中填写：1.2，7，4，7，7.5，3，8. (2)我们可以从以下五个方面进行分析： ①从平均数和方差看(分析谁的成绩稳定些)； ②从极差和平均数看(分析谁的成绩稳定些)； ③从平均数和中位数看(分析谁的成绩好些)； ④从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)； ⑤从折线图上，两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力). 对于①，因为平均数相同，且甲的方差小于乙的方差， 所以甲的成绩比乙稳定； 对于②，因为平均数相同，且乙的极差比甲大， 所以甲的成绩比乙稳定； 对于③，因为平均数相同，且甲的中位数小于乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些； 对于④，由于平均数相同，且命中9环及9环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些； 对于⑤，甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4次以后就没有出现比甲少的情况，故乙更有潜力． (二)用样本的分布估计总体的分布 1．统计活动中的数据分析，可以采取图表来分析，如条形图，扇形图、折线图、直方图以及茎叶图等，这样得到的结果更直观，更能体现出所占的分量，估计总体的分布． 2．主要利用统计表、统计图分析估计总体的分布规律．要熟练掌握绘制统计图表的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键．从图形与图表中获取有关信息并加以整理，是近年来高考命题的热点问题． 　某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定每户居民月均用水量标准A，用水量不超过A的部分按平价收费，超出A的部分按议价收费．为了确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据(单位：t)，得到频率分布直方图(如图). (1)求直方图中a的值，并估计该市居民月均用水量的平均值； (2)如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，请确定每户居民月均用水量的标准A. [自主解答]　(1)因为频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，所以4×0.06＋4×0.08＋4×0.04＋4×0.04＋4×0.02＋4×a＋4×a＝1，即0.96＋8a＝1，则有a＝0.005，该市居民月均用水量的平均值＝4×(3.2×0.06＋7.2×0.08＋11.2×0.04＋15.2×0.04＋19.2×0.02＋23.2×0.005＋27.2×0.005)＝9.84； (2)由题中频率分布直方图知，月均用水量在13.2 t以下的居民用户所占的比例为4×0.06＋4×0.08＋4×0.04＝0.72，月均用水量在17.2 t以下的居民用户所占的比例为0.72＋4×0.04＝0.88，于是得80%分位数一定位于[13.2，17.2)内，13.2＋4×＝15.2， 所以要使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，每户居民月均用水量的标准A为15.2 t. (三)古典概型及其应用 1．古典概型是一种最基本的概型，是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现与此种概型有关的数目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性． 2．求解古典概型概率问题的思路 (1)找出样本空间中基本事件的总数及所求事件所包含的基本事件数，常用方法是列举法、列表法、画树状图法等． (2)若所求概率的事件比较复杂，可求其对立事件，利用对立事件的概率公式求解． 　(1)杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世之中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选两首，从“三别”中选一首推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的古诗中包含《新安吏》和《无家别》的概率是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． (2)某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的． ①求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率； ②求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率． [自主解答]　(1)《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a，b，c，《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d，e，f.从“三吏”中选两首，从“三别”中选一首，有(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，共9种不同的结果，每种结果都是等可能的，其中包含《新安吏》和《无家别》的有(a，b，e)，(a，c，e)，共2种，所以所求概率为.故选A. (2)①将2名男同学和4名女同学分别编号为1，2，3，4，5，6(其中1，2是男同学，3，4，5，6是女同学)，样本空间为(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15个样本点，当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，共8个样本点． 故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P＝. ②当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选)，4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有(3，4，5，6)，则其概率为P＝，又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P＝，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P＝＋＝. [答案]　(1)A　(2)略 (四)互斥事件与独立事件的综合应用 1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．若A1，A2，…，An互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).对立事件概率由公式可得P(A)＝1－P(). 2．事件A，B独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B).若A1，A2，A3，…，An相互独立，则P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P(12…n)＝1－P(1)P(2)…P(n). 　(1)(多选题)现有3个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为，，，则关于该问题的回答情况，以下说法正确的是(　　) A．3个队都回答正确的概率为 B．3个队都回答错误的概率为 C．恰有1个队回答正确的概率比恰有2个队回答正确的概率大 D．恰有2个队回答正确的概率比恰有1个队回答正确的概率大 (2)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求： ①红队中有且只有一名队员获胜的概率； ②(一题多解)红队至少两名队员获胜的概率． [自主解答]　(1)对于A，3个队都回答正确的概率P1＝××＝，故A正确． 对于B，3个队都回答错误的概率P2＝××＝××＝，故B正确． 对于C，D，P(恰有1个队回答正确)＝××＋××＋××＝， P(恰有2个队回答正确)＝××＋××＋××＝. ∵＞，∴恰有1个队回答正确的概率比恰有2个队回答正确的概率大，故C正确，D错误．故选ABC. (2)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F， 则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件． 因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5， 由对立事件的概率公式知P()＝0.4， P()＝0.5，P()＝0.5. ①红队有且只有一名队员获胜的事件有D，E，F，以上3个事件彼此互斥且独立． 所以红队有且只有一名队员获胜的概率P1＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35. ②解法一　红队至少两人获胜的事件有： DE，DF，EF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 P2＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. 解法二　“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1. 所以红队至少两人获胜的概率为 P2＝1－P1－P()＝1－0.35－0.1＝0.55. [答案]　(1)ABC　(2)略 [对应学生用书P102] 频率分布直方图及其应用 [典例]　某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图． (1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数． [自主解答]　 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5， 所以直方图中x的值是0.007 5. (2)月平均用电量的众数是＝230. 因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5， 所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a， 由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5得a＝224， 所以月平均用电量的中位数是224. ●纠错心得 在频率分布直方图中众数是最高的矩形的底边中点的横坐标，是一个数，而不是范围．中位数左右两侧直方图的面积相等，小矩形的高度代表的是对应该组数据的值，只有明确了这些数据特征，才能做到有的放矢. [对应学生用书P103] 概率与统计的实际应用 [典例]　(13分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据(如表所示). 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． [审题指导]　(1)根据表格数据用古典概型计算公式即可； (2)求出最高气温在不同区间的利润Y的值，即可求出Y大于零的概率． [规范解答]　(1) 需求量不超过300瓶，即最高气温低于25℃，从表中可知有54天①，(3分) 所以所求概率为P＝＝.(6分) (2)低于20℃：Y＝200×6＋250×2－450×4＝－100； [20，25)：Y＝300×6＋150×2－450×4＝300； 不低于25℃：Y＝450×(6－4)＝900，②(9分) Y的可能值列表如下： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) Y －100 －100 300 900 900 900 (11分) 所以Y大于0的概率为P＝＋＋＋＝.(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$