专题02 事件之间的关系与运算、古典概型及独立事件（10题型专项训练）数学人教B版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦事件关系、古典概型及独立事件，以10类常考题型构建概念判断-概率计算-综合应用的递进式训练体系，突出高频考点与重点题型的精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|10类题型，每类5-7题，涵盖各地期末/模拟题|基础判断（随机事件）、关系运算（互斥对立）、概率计算（古典概型/加法公式）、高频应用（对立事件/统计交汇）|从事件概念生成，到关系判断，再到概率计算，最后综合统计应用，形成完整逻辑链条| |综合攻坚·知能拔高|含多选/解答题等综合题|跨知识点整合，考查抽象与推理能力|深化事件独立性、概率与统计综合，提升数学思维与应用意识|

专题02 事件之间的关系与运算、古典概型及独立事件 题型01 随机事件的判断 1． 【答案】C 【分析】根据不可能事件的概念判断即可. 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． 故选：C 2． 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 3． 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 4． 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 5． 【答案】B 【分析】根据摸球的可能结果判断. 【详解】从袋中任意摸出个球，可能的情况有：①三个都是红球；②恰有2个红球和1个黑球；③恰有1个红球和2个黑球. 所以摸出的个球中“至少有1个是红球”是必然事件. 故选：B. 6． 【答案】①②④ 【详解】①，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，故①正确； ②，对任意实数x，有，故②正确； ③，下雨是随机事件，故③错误； ④，从100个灯泡中取出5个，5个可能全部是次品，也可能不全是次品，是随机事件，故④正确. 题型02 事件的关系与运算 1． 【答案】B 【详解】事件A=“出现奇数点”=“出现1点或3点或5点”，B=“出现3点或5点”，所以. 2． 【答案】D 【详解】由并联电路性质得电路故障为甲，乙两个元件同时发生故障． ∴表示电路故障的事件为． 3． 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 4． 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【详解】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 5． 【答案】A 【分析】根据事件的包含关系，互斥与对立关系分别判断. 【详解】由事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A选项错误； 事件“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两事件为互斥事件，则，且，B选项正确，C选项正确； 由“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，根据对立事件定义可知，D选项正确； 故选：A. 6． 【答案】D 【分析】先用集合的形式分别表示事件，再根据集合之间的包含关系及交集，并集的概念进行运算，即可判断A，B，C，D. 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 题型03 互斥事件、对立事件的判断 1． 【答案】C 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 2． 【答案】B 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义即可. 【详解】从一批产品中取出三件产品的样本空间有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”，“三件次品”. 事件的样本点有“三件正品”，事件的样本点有“三件次品”，事件的样本点有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”. 所以与互斥不对立，与互斥且对立，与不互斥. 3． 【答案】B 【详解】由题意得，，. 选项A，因为事件可能同时发生，即，所以不是对立事件，故A错误； 选项B，，即B正确. 选项C，第一枚硬币正面朝上并不能得到第二枚硬币反面朝上，二者相互独立，所以并不相等，故C错误. 选项D，由A项知，即两者并不互斥，故D错误. 4． 【答案】C 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义判断即可． 【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件. 对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足. 对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足. 对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足. 对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足. 5． 【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 6． 【答案】A 【分析】由样本空间定义判断①，由互斥事件定义判断②，由对立事件定义判断③，利用古典概型概率求④. 【详解】对于①，可以从不同角度定义样本空间， 例如：以4次抛掷的有序结果为样本点，构成个等可能样本点的样本空间，是古典概型； 若以正面出现的次数为结果，构成含有5个样本点的样本空间， 但各样本点不是等可能的，不是古典概型； 由于可以构建不同的样本空间，故①正确； 对于②，事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正， 事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故②错误； 对于③，事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正， 与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故③正确； 对于④，基本事件样本总数为，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有种， 所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故④正确， 所以，错误的个数为1个. 7． 【答案】A 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 题型04 计算古典概型问题的概率 1． 【答案】B 【分析】分别写出所有结果，找出小明获胜的结果，即可得出答案. 【详解】小明和小泽随机出一种手势，可能的结果为： 石头-石头，石头-剪刀，石头-布，剪刀-石头，剪刀-剪刀，剪刀-布，布-石头，布-剪刀，布-布，共9种. 其中小明获胜的为：石头-剪刀，剪刀-布，布-石头，共3种. 所以小明获胜的概率为. 2． 【答案】A 【详解】从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条， 共有以下4种情况，， 其中这三条线段能构成一个三角形的情况为，只有1个， 所以这三条线段能构成一个三角形的概率为 3． 【答案】B 【详解】对于一元二次方程，其判别式， 因为方程有实数根，所以，即，即， 骰子点数取值为，且均为正整数， 因为，所以， 当时，，要求，无符合条件的值， 当时，，要求，符合条件的有，共2种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共3种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共 2 种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共 1 种， 当时，要求，骰子无对应点数，无符合条件的值， 满足条件的总组合数为种， 则总基本事件数为种， 则满足方程有实数根且的概率为. 4． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对立事件及古典概率公式求解即可. 【详解】记互不相等的5个数为， 则样本空间，共10个样本点， 极差不变的事件，共3个样本点， 所以极差变小的概率为. 5． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率公式，结合样本空间法，即可求解 【详解】设两个红球为1,2，两个白球为， 从中不放回地依次随机摸出2个球的样本空间为， 共包含6个样本点， 其中两次都摸到红球为事件，共1个样本点， 所以两次都摸到红球的概率. 题型05 根据古典概型的概率求参数 1． 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 2． 【答案】C 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键. 3． 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 4． 【答案】B 【分析】设黄球的个数为，利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值即可. 【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：B. 5． 【答案】D 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ， ∴ 故选：D 题型06 互斥事件的概率加法公式 1． 【答案】B 【分析】先利用对立事件的概率性质求出，再结合互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】因为与互为对立事件，根据对立事件的概率性质，可得： ，又因为与是互斥事件， 根据互斥事件的概率加法公式，有：， 代入、，计算得：. 2． 【答案】D 【详解】因为随机事件A与B互斥，且，， 所以. 3． 【答案】D 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 4． 【答案】A 【分析】根据题意，根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】设事件“选中高一学生”， “选中高二学生”， “选中高三学生”， 可得事件之间互为互斥事件，且， 所以， 所以选中高三学生的概率为. 故选：A. 5． 【答案】C 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 题型07 独立事件的判断 1． 【答案】B 【分析】由事件的相互关系及独立性进行判断． 【详解】显然与互斥且对立，故B项正确，AC都是错误的； 对于D项，，则， 得与不独立，故D项错误． 2． 【答案】C 【详解】样本空间共包含个等可能基本事件. ，，事件包含共4个基本事件， 故；事件包含18个基本事件，分别为 ， 故. 事件包含基本事件，故与不互斥，A错误. 事件包含基本事件，，，故与不相互独立，B错误. 事件包含共3个基本事件，，， 故，故与相互独立，C正确. 事件包含基本事件，故，，D错误. 3． 【答案】B 【分析】通过列举法写出试验的样本空间， 再逐一判断选项即可. 【详解】从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为 ， 则， ， ，故，故A，C，D错误； 而，所以， 又，， 因此有，故与独立，B正确． 4． 【答案】B 【详解】样本空间为， 由题意可知，，， 所以，，， 所以，与不互斥，也不对立，与相互独立. 5． 【答案】C 【详解】因为事件“第一枚朝上的点数是奇数”， “第二枚朝上的点数是2的倍数”， ，不是整个样本空间，故不互斥不对立，也不相等， ，，，A与B相互独立. 6． 【答案】B 【详解】对于A，当朝上的点数为6时，事件同时发生，不互斥，A错误； 对于B，，则，相互独立，B正确； 对于C，当朝上的点数为6时，事件同时不发生，不对立，C错误； 对于D，事件，，，不独立，D错误. 题型08 利用对立事件的概率公式求概率 1． 【答案】B 【分析】根据独立事件的概率公式直接求解即可. 【详解】由事件、相互独立，则. 2． 【答案】A 【分析】利用相互独立事件与和事件的概率公式计算求解. 【详解】因为随机事件相互独立，， 所以，， 所以. 3． 【答案】B 【分析】利用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式求解. 【详解】设甲投中为事件，乙投中为事件， 由题意可知，，且事件与事件相互独立， 则，， “只有一个人投中”包含“甲投中且乙未投中”与“甲未投中且乙投中”两种互斥情况， 故所求概率， 故B正确. 4． 【答案】D 【详解】设事件为小明投中，事件为小星投中， 则至少有一人投中的概率为. 5． 【答案】D 【分析】利用对立事件的定义、事件包含关系的概率性质、独立事件的概率运算规则即可. 【详解】. 对于选项A，对立事件需同时满足两个条件：①与互斥；②.所以只有不能判定是否对立，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，因为事件与相互独立，所以，故C错误； 对于选项D，因为事件与相互独立，则事件与相互独立.又，所以，故D正确. 6． 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件的概率求解即可. 【详解】目标恰好被命中两次的概率为. 7． 【答案】D 【分析】根据事件和的概率公式，以及独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】设事件表示甲地降雨，事件表示乙地降雨，则表示至少有一地降雨， 所以. 题型09 频率与概率 1． 【答案】A 【详解】由数表得，该校学生每周使用手机的时间少于8小时的频数为15，频率为， 所以该校学生每周使用手机的时间少于8小时的概率约为0.3. 2． 【答案】C 【详解】． 3． 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 4． 【答案】B 【分析】根据题意，用频率估计概率进行求解. 【详解】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为， 由频率估计概率，得. 故选：B. 5． 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 6． 【答案】D 【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解. 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 题型10 概率与统计的交汇问题 1． 【答案】A 【分析】根据所有出现的可能，分别计算每个人能赢的概率，即可解答． 【详解】三人同时各投出一枚均匀硬币，共有以下几种情况（用1表示正，0表示反）： ，，，，，，，， 设事件为小强赢，事件为小亮赢，事件为小文赢， 所以，，，所以是小强赢的概率最小． 2． 【答案】B 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项. 【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 3． 【答案】(1)；续航里程在内的汽车数量为辆 (2) (3) 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，即可求出； （2）用每组区间的中点值乘以该组频率，再相加可得平均续航里程； （3）求出和两组中抽取的汽车辆数，再利用古典概型概率公式计算可得答案． 【详解】（1）由得； 续航里程在内的频率为， 对应汽车数量为辆； （2）， 所以估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程为km； （3）续航里程在和两组中的车辆数分别为， 用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车， 可得在中抽取辆，不妨设为； 在中抽取辆，不妨设为， 再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测， 则有，共10种方法， 抽到这2辆汽车恰有1辆续航里程在内有，共6种， 则抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在内的概率为． 4． 【答案】(1) (2)12次 【分析】（1）将事件“三人中恰有一人击中目标”表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）利用对立事件表示“乙射击次，至少有一次击中目标的概率为”，建立不等式，利用取对数代值估算即得； 【详解】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率为； （2）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以， 所以， 又为正整数，所以，即乙至少要射击12次． 5． 【答案】(1)，众数为，平均数为 (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中频数比等于纵坐标比求，根据最高矩形中点求众数，利用组中值加权平均求平均数； （2）根据频率累加值确定第80百分位数所在区间，列方程求解； （3）利用分层抽样确定各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算。 【详解】（1）由题意可知，第4组，第1组，第2组的频数之比为， 所以，解得. 由频率分布直方图可知，众数在第3组，且为该组区间的中点值，即， . （2）因为前2组的频率之和为前3组的频率之和为所以第80百分位数位于第3组内. 设晋级分数线为，则解得. 故晋级分数线划为78分合理. （3）样本数据在与两个小组内的频率之比为. 利用分层抽样的方法抽取6名同学，则在内抽取的人数为人，记为；在内抽取的人数为人，记为. 从这6名同学中随机选出2人，所有可能的情况有： 共15种情况. 其中选出的两人恰好来自同一小组的情况有：共7种情况. 所以选出的两人恰好来自同一小组的概率. 6． 【答案】(1) (2)（i）样本空间，；（ii） 【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式计算； （2）（i）列出样本空间，再根据古典概型求概率； （ii）根据古典概型求概率. 【详解】（1）设事件为“甲同学三个多选题恰有两题得满分”， 事件为“第个多选题得满分”， 则，且互斥． 又因为相互独立，所以 ． （2）（i）设事件为“乙同学得6分”． 样本空间． 样本空间共有14个样本点， 事件包含其中的1个． 因此． （ii）设事件为“乙同学该题得分大于等于4分”． 样本空间． 样本空间共有7个样本点，事件包含其中的2个和其中的1个． 因此． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】A 【分析】根据随机事件互为对立事件可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为随机事件互为对立事件， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用古典概型的概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A错误； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件与事件不为互斥事件，D错误. 3． 【答案】C 【分析】根据互斥事件、事件的包含关系、相互独立事件的概念及概率公式逐一分析即可. 【详解】若A，B是互斥事件，则A，B不可能同时发生，即，故A错误； 若，则，所以，故B错误； 若A，B是相互独立事件，则，所以，故C正确； 因为，所以，又，所以，即，所以A，B不是相互独立事件，故D错误. 故选：C. 4． 【答案】ABD 【分析】由必然事件，不可能事件，互斥事件，对立事件的定义即可求解. 【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0； 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足； 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足且（为样本空间）， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求； 对于B选项，已知产品的次品率为，则该批产品存在次品，任取99件时“99件全是次品”是概率很小但仍有可能发生的事件， 属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求； 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求； 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求. 5． 【答案】ABC 【详解】选项A，，事件与事件相互独立， 则，A正确； 选项B，为第二次向上点数为1或2或3或5，则，B正确； 选项C，事件与事件相互不影响，所以事件与事件相互独立，C正确； 选项D，“第一次向上点数为5”，则，即可以同时发生，不互斥，D错误. 6． 【答案】BC 【分析】根据独立事件，互斥事件和概率性质进行判断，得到答案 【详解】，故， ，而，故， 故M与N相互独立，B正确； ，D错误； 由于，故M与N不互斥，A错误； 由于M与N相互独立，故也互相独立， 其中，故， 故，C正确. 7． 【答案】BC 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则有种情况,用表示投掷结果，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果. 事件“第一次的点数为3的倍数”，3的倍数有，则有种情况. 事件“第二次为偶数点”，偶数有，则有种情况. 事件“两次掷出的点数之和大于8”，点数之和可能为，则： ，共10种情况. 事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，点数之和可能为，则： ，共9种情况. 事件和事件同时发生的情况：第一次为3的倍数，第二次为偶数点， 故与不互斥，A错误； ，B正确； 事件是“第一次为3的倍数且第二次为偶数”，第一次有2种选择， 第二次有3种选择，共种情况，则，C正确； 事件是“和大于8 且和能被4整除”，只有一种情况符合， 故，所以与不相互独立，D错误. 8． 【答案】 【分析】利用反比例函数性质得出，再利用列举法计算所求概率即可. 【详解】易知对于反比例函数，当且仅当时，其图象经过第一、三象限，因此本题需满足； 从4个小球中随机摸出2个，所有等可能的基本事件共种，分别为； 其中满足的组合为，共4种； 因此所求概率为. 9． 【答案】 【分析】利用集合的运算性质求出事件包含的样本点数，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】由题意可知，，，，， 因为事件表示属于但不属于的样本点构成的集合， 根据集合的运算性质，有，所以， 根据古典概型的概率公式，可得. 10． 【答案】/ 【分析】统计20组随机数中恰好包含2个代表下雨的数字（2、4）的组数，用频率近似估计概率． 【详解】由题意可知，随机数中，2、4表示下雨，每组三位随机数对应三天的天气情况，只需统计每组中数字2、4的总个数恰好为2的组数即可， 逐一筛查20组随机数，符合条件的随机数为：344、124、524、342、432、245，共6组， 由频率估计概率，可得三天中恰有两天下雨的概率近似为． 11． 【答案】(1)设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子，样本空间； (2) (3)． 【分析】（1）列出全部样本空间与事件包含的基本事件，统计基本事件个数，直接套用古典概型公式计算取出两个风味不同粽子的概率； （2）顾客带走个粽子等价于第一问事件、事件同时发生，利用相互独立事件的概率乘法公式求出联合概率； （3）恰有一人带走个粽子拆解为 “甲成乙败、甲败乙成” 两个互斥事件之和，结合、相互独立，分别计算两部分概率再相加得到结果. 【详解】（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． （3）事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 12． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率乘法原理，将得分相关独立事件概率相乘，即. （2）先分别按概率乘法与加法原理算出，再由建立方程求解. 【详解】（1）设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，， 考生填空题得20分的概率 （2）由题意可得：， ， 由，得 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 事件之间的关系与运算、古典概型及独立事件 常考题型·精准突破 题型01 随机事件的判断 题型02 事件的关系与运算 题型03 互斥事件、对立事件的判断（重） 题型04 计算古典概型问题的概率（高频） 题型05 根据古典概型的概率求参数 题型06 互斥事件的概率加法公式 题型07 独立事件的判断（重） 题型08 利用对立事件的概率公式求概率（高频） 题型09 频率与概率 题型10 概率与统计的交汇问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 随机事件的判断 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 3．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 5．（25-26高一上·江西南昌·开学考试）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至少有1个球是红球 C．至多有1个球是黑球 D．至少有1个球是黑球 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列四个命题，其中正确的命题有__________. ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 题型02 事件的关系与运算 1．（25-26高一下·山西太原·期末）投掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现奇数点”，“出现3点或5点”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南安阳·阶段检测）甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”、“乙元件故障”、则表示电路故障的事件为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 4．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 5．（25-26高三·全国·一轮复习）一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型03 互斥事件、对立事件的判断 1．（25-26高一下·青海海东·期末）某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·期末）从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 3．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（   ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 4．（2026·上海静安·二模）袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 6．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 题型04 计算古典概型问题的概率 1．（25-26高一下·安徽·期末）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种.石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平.小明和小泽玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广西玉林·期末）从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，第一次点数记为，第二次点数记为.则满足方程有实数根且的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东东莞·期末）从互不相等的5个数中随机去掉2个数，则极差变小的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广西南宁·期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（     ） A． B． C． D． 题型05 根据古典概型的概率求参数 1．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 2．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 5．从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 题型06 互斥事件的概率加法公式 1．（25-26高一下·广西河池·期末）已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且，，则（   ） A．0.9 B．0.6 C．0.56 D．0.5 2．（25-26高一下·安徽六安·期末）已知随机事件A与B互斥，且，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 4．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 题型07 独立事件的判断 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与不互斥 D．与相互独立 2．（25-26高一下·广东广州·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（    ） A． B．与独立 C．与对立 D．与互斥 4．（25-26高一下·北京丰台·期末）掷一枚质地均匀的骰子，观察正面向上的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为的倍数”，则与的关系为（   ） A．相等 B．相互独立 C．互斥 D．互为对立 5．（25-26高一下·河北邢台·期末）掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚朝上的点数是奇数”， “第二枚朝上的点数是2的倍数”，则A与B的关系是（    ） A．互斥 B．对立 C．相互独立 D．相等 6．（25-26高一下·山东滨州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数，设事件“朝上的点数为1或6”，事件“朝上的点数为奇数”，事件“朝上的点数为2或4”，事件“朝上的点数为偶数”，下列说法正确的是（   ） A．A与D互斥 B．A与B相互独立 C．B与C互为对立事件 D．C与D相互独立 题型08 利用对立事件的概率公式求概率 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）事件、相互独立，若，，则为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东青岛·期末）已知两个随机事件相互独立，，则（    ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 3．（25-26高一下·青海西宁·期末）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，假设甲、乙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响．若甲、乙各投壶次，则只有一个人投中的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河北张家口·期末）小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（    ） A．0.48 B．0.3 C．0.12 D．0.92 5．（25-26高一下·福建福州·期末）已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（     ） A．若，则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则 6．（25-26高一下·福建福州·期末）甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东广州·期末）天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6，乙地降雨的概率是0.8．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是（    ） A．0.2 B．0.48 C．0.52 D．0.92 题型09 频率与概率 1．（25-26高一下·河南商丘·期末）长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.22 C．0.15 D．0.08 2．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）一个不透明的袋子里装有红､白两种小球，除颜色外其余完全相同，总计20个．进行有放回的重复摸球（每次摸一个）试验，多次试验后，摸到红球的频率稳定在0.6附近，则红球的个数约为（    ） A．6 B．8 C．12 D．14 3．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·河南焦作·期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 6．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 题型10 概率与统计的交汇问题 1．（25-26高一下·四川成都·期末）小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢下面说法正确的是（    ） A．小强赢的概率最小 B．小文赢的概率最小 C．小亮赢的概率最小 D．三人赢的概率都相等 2．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 3．（25-26高一下·陕西汉中·期末）某科技公司为评估其最新研发的一款智能新能源汽车的电池性能，在标准工况下随机测试了200辆该型号汽车的连续续航里程（单位：km），所得数据都在内．将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值以及测试的续航里程在内的汽车数量； (2)估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)从和两组中用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测，求抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在内的概率． 4．（25-26高一下·安徽六安·期末）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，乙、丙射击一次击中目标的概率均为，且任意两次射击互不影响． (1)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (2)若乙至少有一次击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？ （参考数据：） 5．（25-26高一下·宁夏银川·期末）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数之比为，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值，并求样本成绩的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，年级准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线为多少合理？ (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率． 6．（25-26高一下·湖南长沙·期末）新高考数学设有3个多选题，每道题设置A、B、C、D四个选项，且正确选项为2个或3个，每小题6分，评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若某试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分，有错选得0分． (1)根据以往经验，甲同学第一个多选题得满分的概率为，第二个多选题得满分的概率为，第三个多选题得满分的概率为，三个多选题做对与否互不影响．求甲同学三个多选题中恰有两题得满分的概率． (2)乙同学正在做一道多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设乙同学随机选择一种选项组合，每种组合等可能）． （i）在完全盲猜的情况下，求乙同学得6分的概率（要求写出样本空间）． （ii）若该多选题有三个正确选项，乙同学已经判定A正确（即正确答案中有A选项，且乙同学一定会选A），在其余选项随机选择（每种选项组合等可能，且满足整个多选题至少选一项且不能全选）的情况下，求乙同学该题得分大于等于4分的概率． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·湖南娄底·期末）已知随机事件互为对立事件，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山西长治·期末）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为互斥事件 3．（25-26高二上·广东江门·期中）设A，B是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 4．（多选）（25-26高一下·陕西西安·期末）下列说法错误的有（    ） A．连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B．已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D．如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 5．（多选）（25-26高一下·陕西西安·期末）连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件A与事件B独立 D．事件A与事件C互斥 6．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若，，，则（    ） A．M与N互斥 B．M与N相互独立 C． D． 7．（多选）（25-26高一下·湖南·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件“第一次的点数为3的倍数”，事件“第二次为偶数点”，事件“两次掷出的点数之和大于8”，事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，则下列结论正确的有（    ） A．与互斥但不对立 B． C． D．与相互独立 8．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 9．（25-26高一下·青海西宁·期末）如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________． 10．（25-26高一下·安徽安庆·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为.我们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数2，4时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________. 11．（25-26高一下·陕西西安·期末）某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． (1)在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； (2)求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； (3)有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 12．（25-26高一下·陕西西安·期末）一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. (1)当时，求考生填空题得分的概率； (2)若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 事件之间的关系与运算、古典概型及独立事件 常考题型·精准突破 题型01 随机事件的判断 题型02 事件的关系与运算 题型03 互斥事件、对立事件的判断（重） 题型04 计算古典概型问题的概率（高频） 题型05 根据古典概型的概率求参数 题型06 互斥事件的概率加法公式 题型07 独立事件的判断（重） 题型08 利用对立事件的概率公式求概率（高频） 题型09 频率与概率 题型10 概率与统计的交汇问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 随机事件的判断 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【答案】C 【分析】根据不可能事件的概念判断即可. 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． 故选：C 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 3．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 5．（25-26高一上·江西南昌·开学考试）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至少有1个球是红球 C．至多有1个球是黑球 D．至少有1个球是黑球 【答案】B 【分析】根据摸球的可能结果判断. 【详解】从袋中任意摸出个球，可能的情况有：①三个都是红球；②恰有2个红球和1个黑球；③恰有1个红球和2个黑球. 所以摸出的个球中“至少有1个是红球”是必然事件. 故选：B. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列四个命题，其中正确的命题有__________. ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】①②④ 【详解】①，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，故①正确； ②，对任意实数x，有，故②正确； ③，下雨是随机事件，故③错误； ④，从100个灯泡中取出5个，5个可能全部是次品，也可能不全是次品，是随机事件，故④正确. 题型02 事件的关系与运算 1．（25-26高一下·山西太原·期末）投掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现奇数点”，“出现3点或5点”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件A=“出现奇数点”=“出现1点或3点或5点”，B=“出现3点或5点”，所以. 2．（25-26高一下·河南安阳·阶段检测）甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”、“乙元件故障”、则表示电路故障的事件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由并联电路性质得电路故障为甲，乙两个元件同时发生故障． ∴表示电路故障的事件为． 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 4．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【详解】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据事件的包含关系，互斥与对立关系分别判断. 【详解】由事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A选项错误； 事件“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两事件为互斥事件，则，且，B选项正确，C选项正确； 由“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，根据对立事件定义可知，D选项正确； 故选：A. 6．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用集合的形式分别表示事件，再根据集合之间的包含关系及交集，并集的概念进行运算，即可判断A，B，C，D. 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 题型03 互斥事件、对立事件的判断 1．（25-26高一下·青海海东·期末）某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 【答案】C 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·期末）从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 【答案】B 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义即可. 【详解】从一批产品中取出三件产品的样本空间有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”，“三件次品”. 事件的样本点有“三件正品”，事件的样本点有“三件次品”，事件的样本点有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”. 所以与互斥不对立，与互斥且对立，与不互斥. 3．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（   ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 【答案】B 【详解】由题意得，，. 选项A，因为事件可能同时发生，即，所以不是对立事件，故A错误； 选项B，，即B正确. 选项C，第一枚硬币正面朝上并不能得到第二枚硬币反面朝上，二者相互独立，所以并不相等，故C错误. 选项D，由A项知，即两者并不互斥，故D错误. 4．（2026·上海静安·二模）袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 【答案】C 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义判断即可． 【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件. 对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足. 对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足. 对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足. 对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足. 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 6．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由样本空间定义判断①，由互斥事件定义判断②，由对立事件定义判断③，利用古典概型概率求④. 【详解】对于①，可以从不同角度定义样本空间， 例如：以4次抛掷的有序结果为样本点，构成个等可能样本点的样本空间，是古典概型； 若以正面出现的次数为结果，构成含有5个样本点的样本空间， 但各样本点不是等可能的，不是古典概型； 由于可以构建不同的样本空间，故①正确； 对于②，事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正， 事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故②错误； 对于③，事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正， 与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故③正确； 对于④，基本事件样本总数为，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有种， 所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故④正确， 所以，错误的个数为1个. 7．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 题型04 计算古典概型问题的概率 1．（25-26高一下·安徽·期末）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种.石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平.小明和小泽玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别写出所有结果，找出小明获胜的结果，即可得出答案. 【详解】小明和小泽随机出一种手势，可能的结果为： 石头-石头，石头-剪刀，石头-布，剪刀-石头，剪刀-剪刀，剪刀-布，布-石头，布-剪刀，布-布，共9种. 其中小明获胜的为：石头-剪刀，剪刀-布，布-石头，共3种. 所以小明获胜的概率为. 2．（25-26高一下·广西玉林·期末）从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条， 共有以下4种情况，， 其中这三条线段能构成一个三角形的情况为，只有1个， 所以这三条线段能构成一个三角形的概率为 3．（25-26高一下·重庆·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，第一次点数记为，第二次点数记为.则满足方程有实数根且的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于一元二次方程，其判别式， 因为方程有实数根，所以，即，即， 骰子点数取值为，且均为正整数， 因为，所以， 当时，，要求，无符合条件的值， 当时，，要求，符合条件的有，共2种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共3种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共 2 种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共 1 种， 当时，要求，骰子无对应点数，无符合条件的值， 满足条件的总组合数为种， 则总基本事件数为种， 则满足方程有实数根且的概率为. 4．（25-26高一下·广东东莞·期末）从互不相等的5个数中随机去掉2个数，则极差变小的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对立事件及古典概率公式求解即可. 【详解】记互不相等的5个数为， 则样本空间，共10个样本点， 极差不变的事件，共3个样本点， 所以极差变小的概率为. 5．（25-26高一下·广西南宁·期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率公式，结合样本空间法，即可求解 【详解】设两个红球为1,2，两个白球为， 从中不放回地依次随机摸出2个球的样本空间为， 共包含6个样本点， 其中两次都摸到红球为事件，共1个样本点， 所以两次都摸到红球的概率. 题型05 根据古典概型的概率求参数 1．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 2．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键. 3．在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 4．一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设黄球的个数为，利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值即可. 【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：B. 5．从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ， ∴ 故选：D 题型06 互斥事件的概率加法公式 1．（25-26高一下·广西河池·期末）已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且，，则（   ） A．0.9 B．0.6 C．0.56 D．0.5 【答案】B 【分析】先利用对立事件的概率性质求出，再结合互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】因为与互为对立事件，根据对立事件的概率性质，可得： ，又因为与是互斥事件， 根据互斥事件的概率加法公式，有：， 代入、，计算得：. 2．（25-26高一下·安徽六安·期末）已知随机事件A与B互斥，且，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9 【答案】D 【详解】因为随机事件A与B互斥，且，， 所以. 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 4．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】设事件“选中高一学生”， “选中高二学生”， “选中高三学生”， 可得事件之间互为互斥事件，且， 所以， 所以选中高三学生的概率为. 故选：A. 5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 题型07 独立事件的判断 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与不互斥 D．与相互独立 【答案】B 【分析】由事件的相互关系及独立性进行判断． 【详解】显然与互斥且对立，故B项正确，AC都是错误的； 对于D项，，则， 得与不独立，故D项错误． 2．（25-26高一下·广东广州·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【详解】样本空间共包含个等可能基本事件. ，，事件包含共4个基本事件， 故；事件包含18个基本事件，分别为 ， 故. 事件包含基本事件，故与不互斥，A错误. 事件包含基本事件，，，故与不相互独立，B错误. 事件包含共3个基本事件，，， 故，故与相互独立，C正确. 事件包含基本事件，故，，D错误. 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（    ） A． B．与独立 C．与对立 D．与互斥 【答案】B 【分析】通过列举法写出试验的样本空间， 再逐一判断选项即可. 【详解】从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为 ， 则， ， ，故，故A，C，D错误； 而，所以， 又，， 因此有，故与独立，B正确． 4．（25-26高一下·北京丰台·期末）掷一枚质地均匀的骰子，观察正面向上的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为的倍数”，则与的关系为（   ） A．相等 B．相互独立 C．互斥 D．互为对立 【答案】B 【详解】样本空间为， 由题意可知，，， 所以，，， 所以，与不互斥，也不对立，与相互独立. 5．（25-26高一下·河北邢台·期末）掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚朝上的点数是奇数”， “第二枚朝上的点数是2的倍数”，则A与B的关系是（    ） A．互斥 B．对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【详解】因为事件“第一枚朝上的点数是奇数”， “第二枚朝上的点数是2的倍数”， ，不是整个样本空间，故不互斥不对立，也不相等， ，，，A与B相互独立. 6．（25-26高一下·山东滨州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数，设事件“朝上的点数为1或6”，事件“朝上的点数为奇数”，事件“朝上的点数为2或4”，事件“朝上的点数为偶数”，下列说法正确的是（   ） A．A与D互斥 B．A与B相互独立 C．B与C互为对立事件 D．C与D相互独立 【答案】B 【详解】对于A，当朝上的点数为6时，事件同时发生，不互斥，A错误； 对于B，，则，相互独立，B正确； 对于C，当朝上的点数为6时，事件同时不发生，不对立，C错误； 对于D，事件，，，不独立，D错误. 题型08 利用对立事件的概率公式求概率 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）事件、相互独立，若，，则为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件的概率公式直接求解即可. 【详解】由事件、相互独立，则. 2．（25-26高一下·山东青岛·期末）已知两个随机事件相互独立，，则（    ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 【答案】A 【分析】利用相互独立事件与和事件的概率公式计算求解. 【详解】因为随机事件相互独立，， 所以，， 所以. 3．（25-26高一下·青海西宁·期末）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，假设甲、乙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响．若甲、乙各投壶次，则只有一个人投中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式求解. 【详解】设甲投中为事件，乙投中为事件， 由题意可知，，且事件与事件相互独立， 则，， “只有一个人投中”包含“甲投中且乙未投中”与“甲未投中且乙投中”两种互斥情况， 故所求概率， 故B正确. 4．（25-26高一下·河北张家口·期末）小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（    ） A．0.48 B．0.3 C．0.12 D．0.92 【答案】D 【详解】设事件为小明投中，事件为小星投中， 则至少有一人投中的概率为. 5．（25-26高一下·福建福州·期末）已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（     ） A．若，则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则 【答案】D 【分析】利用对立事件的定义、事件包含关系的概率性质、独立事件的概率运算规则即可. 【详解】. 对于选项A，对立事件需同时满足两个条件：①与互斥；②.所以只有不能判定是否对立，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，因为事件与相互独立，所以，故C错误； 对于选项D，因为事件与相互独立，则事件与相互独立.又，所以，故D正确. 6．（25-26高一下·福建福州·期末）甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件的概率求解即可. 【详解】目标恰好被命中两次的概率为. 7．（25-26高一下·广东广州·期末）天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6，乙地降雨的概率是0.8．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是（    ） A．0.2 B．0.48 C．0.52 D．0.92 【答案】D 【分析】根据事件和的概率公式，以及独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】设事件表示甲地降雨，事件表示乙地降雨，则表示至少有一地降雨， 所以. 题型09 频率与概率 1．（25-26高一下·河南商丘·期末）长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.22 C．0.15 D．0.08 【答案】A 【详解】由数表得，该校学生每周使用手机的时间少于8小时的频数为15，频率为， 所以该校学生每周使用手机的时间少于8小时的概率约为0.3. 2．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）一个不透明的袋子里装有红､白两种小球，除颜色外其余完全相同，总计20个．进行有放回的重复摸球（每次摸一个）试验，多次试验后，摸到红球的频率稳定在0.6附近，则红球的个数约为（    ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【详解】． 3．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 4．（25-26高一上·河南焦作·期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，用频率估计概率进行求解. 【详解】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为， 由频率估计概率，得. 故选：B. 5．（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 6．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 【答案】D 【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解. 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 题型10 概率与统计的交汇问题 1．（25-26高一下·四川成都·期末）小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢下面说法正确的是（    ） A．小强赢的概率最小 B．小文赢的概率最小 C．小亮赢的概率最小 D．三人赢的概率都相等 【答案】A 【分析】根据所有出现的可能，分别计算每个人能赢的概率，即可解答． 【详解】三人同时各投出一枚均匀硬币，共有以下几种情况（用1表示正，0表示反）： ，，，，，，，， 设事件为小强赢，事件为小亮赢，事件为小文赢， 所以，，，所以是小强赢的概率最小． 2．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 【答案】B 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项. 【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 3．（25-26高一下·陕西汉中·期末）某科技公司为评估其最新研发的一款智能新能源汽车的电池性能，在标准工况下随机测试了200辆该型号汽车的连续续航里程（单位：km），所得数据都在内．将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值以及测试的续航里程在内的汽车数量； (2)估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)从和两组中用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测，求抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在内的概率． 【答案】(1)；续航里程在内的汽车数量为辆 (2) (3) 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，即可求出； （2）用每组区间的中点值乘以该组频率，再相加可得平均续航里程； （3）求出和两组中抽取的汽车辆数，再利用古典概型概率公式计算可得答案． 【详解】（1）由得； 续航里程在内的频率为， 对应汽车数量为辆； （2）， 所以估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程为km； （3）续航里程在和两组中的车辆数分别为， 用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车， 可得在中抽取辆，不妨设为； 在中抽取辆，不妨设为， 再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测， 则有，共10种方法， 抽到这2辆汽车恰有1辆续航里程在内有，共6种， 则抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在内的概率为． 4．（25-26高一下·安徽六安·期末）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，乙、丙射击一次击中目标的概率均为，且任意两次射击互不影响． (1)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (2)若乙至少有一次击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？ （参考数据：） 【答案】(1) (2)12次 【分析】（1）将事件“三人中恰有一人击中目标”表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）利用对立事件表示“乙射击次，至少有一次击中目标的概率为”，建立不等式，利用取对数代值估算即得； 【详解】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率为； （2）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以， 所以， 又为正整数，所以，即乙至少要射击12次． 5．（25-26高一下·宁夏银川·期末）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数之比为，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值，并求样本成绩的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，年级准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线为多少合理？ (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率． 【答案】(1)，众数为，平均数为 (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中频数比等于纵坐标比求，根据最高矩形中点求众数，利用组中值加权平均求平均数； （2）根据频率累加值确定第80百分位数所在区间，列方程求解； （3）利用分层抽样确定各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算。 【详解】（1）由题意可知，第4组，第1组，第2组的频数之比为， 所以，解得. 由频率分布直方图可知，众数在第3组，且为该组区间的中点值，即， . （2）因为前2组的频率之和为前3组的频率之和为所以第80百分位数位于第3组内. 设晋级分数线为，则解得. 故晋级分数线划为78分合理. （3）样本数据在与两个小组内的频率之比为. 利用分层抽样的方法抽取6名同学，则在内抽取的人数为人，记为；在内抽取的人数为人，记为. 从这6名同学中随机选出2人，所有可能的情况有： 共15种情况. 其中选出的两人恰好来自同一小组的情况有：共7种情况. 所以选出的两人恰好来自同一小组的概率. 6．（25-26高一下·湖南长沙·期末）新高考数学设有3个多选题，每道题设置A、B、C、D四个选项，且正确选项为2个或3个，每小题6分，评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若某试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分，有错选得0分． (1)根据以往经验，甲同学第一个多选题得满分的概率为，第二个多选题得满分的概率为，第三个多选题得满分的概率为，三个多选题做对与否互不影响．求甲同学三个多选题中恰有两题得满分的概率． (2)乙同学正在做一道多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设乙同学随机选择一种选项组合，每种组合等可能）． （i）在完全盲猜的情况下，求乙同学得6分的概率（要求写出样本空间）． （ii）若该多选题有三个正确选项，乙同学已经判定A正确（即正确答案中有A选项，且乙同学一定会选A），在其余选项随机选择（每种选项组合等可能，且满足整个多选题至少选一项且不能全选）的情况下，求乙同学该题得分大于等于4分的概率． 【答案】(1) (2)（i）样本空间，；（ii） 【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式计算； （2）（i）列出样本空间，再根据古典概型求概率； （ii）根据古典概型求概率. 【详解】（1）设事件为“甲同学三个多选题恰有两题得满分”， 事件为“第个多选题得满分”， 则，且互斥． 又因为相互独立，所以 ． （2）（i）设事件为“乙同学得6分”． 样本空间． 样本空间共有14个样本点， 事件包含其中的1个． 因此． （ii）设事件为“乙同学该题得分大于等于4分”． 样本空间． 样本空间共有7个样本点，事件包含其中的2个和其中的1个． 因此． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·湖南娄底·期末）已知随机事件互为对立事件，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机事件互为对立事件可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为随机事件互为对立事件， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2．（25-26高一下·山西长治·期末）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为互斥事件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用古典概型的概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A错误； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件与事件不为互斥事件，D错误. 3．（25-26高二上·广东江门·期中）设A，B是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、事件的包含关系、相互独立事件的概念及概率公式逐一分析即可. 【详解】若A，B是互斥事件，则A，B不可能同时发生，即，故A错误； 若，则，所以，故B错误； 若A，B是相互独立事件，则，所以，故C正确； 因为，所以，又，所以，即，所以A，B不是相互独立事件，故D错误. 故选：C. 4．（多选）（25-26高一下·陕西西安·期末）下列说法错误的有（    ） A．连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B．已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D．如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 【答案】ABD 【分析】由必然事件，不可能事件，互斥事件，对立事件的定义即可求解. 【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0； 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足； 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足且（为样本空间）， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求； 对于B选项，已知产品的次品率为，则该批产品存在次品，任取99件时“99件全是次品”是概率很小但仍有可能发生的事件， 属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求； 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求； 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求. 5．（多选）（25-26高一下·陕西西安·期末）连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件A与事件B独立 D．事件A与事件C互斥 【答案】ABC 【详解】选项A，，事件与事件相互独立， 则，A正确； 选项B，为第二次向上点数为1或2或3或5，则，B正确； 选项C，事件与事件相互不影响，所以事件与事件相互独立，C正确； 选项D，“第一次向上点数为5”，则，即可以同时发生，不互斥，D错误. 6．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若，，，则（    ） A．M与N互斥 B．M与N相互独立 C． D． 【答案】BC 【分析】根据独立事件，互斥事件和概率性质进行判断，得到答案 【详解】，故， ，而，故， 故M与N相互独立，B正确； ，D错误； 由于，故M与N不互斥，A错误； 由于M与N相互独立，故也互相独立， 其中，故， 故，C正确. 7．（多选）（25-26高一下·湖南·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件“第一次的点数为3的倍数”，事件“第二次为偶数点”，事件“两次掷出的点数之和大于8”，事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，则下列结论正确的有（    ） A．与互斥但不对立 B． C． D．与相互独立 【答案】BC 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则有种情况,用表示投掷结果，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果. 事件“第一次的点数为3的倍数”，3的倍数有，则有种情况. 事件“第二次为偶数点”，偶数有，则有种情况. 事件“两次掷出的点数之和大于8”，点数之和可能为，则： ，共10种情况. 事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，点数之和可能为，则： ，共9种情况. 事件和事件同时发生的情况：第一次为3的倍数，第二次为偶数点， 故与不互斥，A错误； ，B正确； 事件是“第一次为3的倍数且第二次为偶数”，第一次有2种选择， 第二次有3种选择，共种情况，则，C正确； 事件是“和大于8 且和能被4整除”，只有一种情况符合， 故，所以与不相互独立，D错误. 8．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 【答案】 【分析】利用反比例函数性质得出，再利用列举法计算所求概率即可. 【详解】易知对于反比例函数，当且仅当时，其图象经过第一、三象限，因此本题需满足； 从4个小球中随机摸出2个，所有等可能的基本事件共种，分别为； 其中满足的组合为，共4种； 因此所求概率为. 9．（25-26高一下·青海西宁·期末）如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的运算性质求出事件包含的样本点数，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】由题意可知，，，，， 因为事件表示属于但不属于的样本点构成的集合， 根据集合的运算性质，有，所以， 根据古典概型的概率公式，可得. 10．（25-26高一下·安徽安庆·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为.我们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数2，4时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________. 【答案】/ 【分析】统计20组随机数中恰好包含2个代表下雨的数字（2、4）的组数，用频率近似估计概率． 【详解】由题意可知，随机数中，2、4表示下雨，每组三位随机数对应三天的天气情况，只需统计每组中数字2、4的总个数恰好为2的组数即可， 逐一筛查20组随机数，符合条件的随机数为：344、124、524、342、432、245，共6组， 由频率估计概率，可得三天中恰有两天下雨的概率近似为． 11．（25-26高一下·陕西西安·期末）某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． (1)在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； (2)求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； (3)有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 【答案】(1)设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子，样本空间； (2) (3)． 【分析】（1）列出全部样本空间与事件包含的基本事件，统计基本事件个数，直接套用古典概型公式计算取出两个风味不同粽子的概率； （2）顾客带走个粽子等价于第一问事件、事件同时发生，利用相互独立事件的概率乘法公式求出联合概率； （3）恰有一人带走个粽子拆解为 “甲成乙败、甲败乙成” 两个互斥事件之和，结合、相互独立，分别计算两部分概率再相加得到结果. 【详解】（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． （3）事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 12．（25-26高一下·陕西西安·期末）一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. (1)当时，求考生填空题得分的概率； (2)若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率乘法原理，将得分相关独立事件概率相乘，即. （2）先分别按概率乘法与加法原理算出，再由建立方程求解. 【详解】（1）设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，， 考生填空题得20分的概率 （2）由题意可得：， ， 由，得 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $