6.2.3 平面向量的坐标及其运算(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6．2.3　平面向量的坐标及其运算(2) 学业标准 素养目标 1．了解用坐标表示向量平行条件的推导过程．(难点) 2．理解坐标表示的平面向量的平行条件，会用坐标表示的平面向量平行的条件解决相关问题．(重点) 1．通过向量平行的坐标表示的探究，培养学生逻辑推理核心素养． 2．通过向量平行的坐标表示的应用，提升学生数学运算、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P123] 导学　向量平行的坐标表示 　(1)若a，b都是非零向量，且a∥b，则a与b有何关系？ (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，a∥b，它们的坐标应满足什么条件？ [提示]　(1)a＝λb(λ∈R). (2)(λ∈R). ◎结论形成 向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__x1y2＝x2y1__． ●点睛 向量平行的坐标表示的正确理解 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)当b≠0时，a＝λb(λ∈R) 这是几何运算，体现了a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征． [对应学生用书P123] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则a＝λb.(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则＝.(　　) (3)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a1b2＝a2b1，则a∥b.(　　) (4)若a＝(1，1)，b＝(m，m)，则无论m取何实数，都有a∥b.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若点C横坐标为6.则C点纵坐标为(　　) A．－13　　 B．9　　 C．－9　　 D．13 解析　设C点纵坐标为y，＝(－8，8)，＝(3，y＋6). ∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0，∴y＝－9. 答案　C 3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10) 答案　C 4．若向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同． 解析　∵a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0，即x2＝4，∴x＝±2，当x＝－2时，a和b方向相反．当x＝2时，a与b方向相同． 答案　2 [对应学生用书P124] 题型一　向量共线的判定 　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝. (1)求E，F的坐标； (2)判断与是否共线． [自主解答]　(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 依题意得＝(2，2)，＝(－2，3). 由＝可知(x1＋1，y1)＝(2，2)， 即解得∴E. 同理可得，点的坐标为F，即E点的坐标为，F点的坐标为. (2)由(1)可知＝－＝－＝，(O为坐标原点)， 又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝， 即与共线． 向量平行的判定方法 [触类旁通] 1．(多选题)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，3)，e2＝ 解析　A．由于e1＝0，因为零向量与任意向量共线，因此e1，e2共线，不能作基底． B．因为－1×7≠2×5，所以两向量不共线，可以作基底． C.因为e2＝2e1，所以两向量共线，不能作基底． D．因为2×≠3×，所以两向量不共线，可以作基底，故选BD. 答案　BD 题型二　根据向量共线的条件求参数值(一题多解　一题多变) 　(1)已知向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)，则m＝(　　) A．1　　 B．5　　 C．1或－5　 D．－5 (2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [自主解答]　(1)向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)，所以a＋b＝(m＋5，m＋5)，a－b＝(－m－1，m－3)， 所以(m＋5)(m－3)－(－m－1)(m＋5)＝0， 即(m＋5)(m－1)＝0， 解得m＝1或m＝－5. (2)解法一　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b). 由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时 ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因为λ＝－＜0， 所以ka＋b与a－3b反向． 解法二　由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(10，－4)， 因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 这时ka＋b＝＝－(a－3b). 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，且反向． [答案]　(1)C　(2)略 [母题变式] 1．(变条件)本例(1)中，若a＋b，a－b反向，则m＝__________． 解析　当m＝－5时，a＋b＝(0，0)，零向量的方向是任意的，与题意不符，舍去，故m＝1. 答案　1 2．(变结论)本例(1)中是否存在实数m，使向量a，b共线？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解析　假设存在实数m使向量a，b共线，则8－(m＋1)(m＋3)＝0，即m2＋4m－5＝0，解得m＝1或m＝－5，故存在实数1或－5使向量a，b共线． 根据向量平行求参数值的方法 根据向量平行的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理a＝λb列方程组求解，二是利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解． [触类旁通] 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，c＝a＋b，d＝a－b，若c∥d，则实数x的值为________． 解析　因为向量a＝(1，2)，b＝(x，1)， 所以c＝a＋b＝(1＋x，3)， d＝a－b＝(1－x，1). 因为c∥d，所以1＋x－3(1－x)＝0. 解得x＝. 答案　 题型三　三点共线问题 　设A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？ [自主解答]　＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)， ＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)， ＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x). 由与共线，∴x2＝1×4，∴x＝±2. 又与方向相同，∴x＝2. 此时，＝(2，1)，＝(－3，2)， 而2×2≠－3×1， ∴与不共线， ∴A，B，C三点不在同一条直线上． ∴A，B，C，D不在同一条直线上． [素养聚焦]　　本题主要考查向量共线问题，突出考查数学运算、逻辑推理等核心素养． (1)判断三个点共线时，先由三个点中的任意两个点分别组成两个向量，再判断这两个向量共线即可；若已知三个点共线，同样的方法利用两个向量共线列出方程求值． (2)判断多个点中的三个点共线时，先根据向量运算构造关于这三个点的两个向量，再利用向量共线的坐标表示列式． [触类旁通] 3．(1)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　) A．(－9，1) B．(9，－1) C．(9，1) D．(－9，－1) 解析　设点C的坐标是(x，y)， 因为A，B，C三点共线，所以∥. 因为＝－(1，－3)＝， ＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)， 所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7， 经检验可知点(9，1)符合要求，故选C. 答案　C (2)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：A，B，C三点共线，并求出AB的中点坐标． 解析　①证明　∵＝－＝(4，8)，＝－＝(6，12)，∴＝，即与共线．又与有公共点A，∴A，B，C三点共线； ②设AB的中点为D(x，y)，则 x＝＝5，y＝＝8.∴D(5，8). 知识落实 技法强化 向量共线的坐标表示设：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). ①a∥b⇔x1y2－x2y1＝0； ②若a≠0且a∥b，则b＝λa(λ∈R). 1．已知两个向量的坐标判定两向量平行．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行． 2．已知两个向量平行，求点或向量的坐标、求参数的值、求轨迹方程等，要注意方程思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$