6.2.1 向量基本定理(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6．2　向量基本定理与向量的坐标 6．2.1　向量基本定理 学业标准 素养目标 1．掌握共线向量基本定理，并能解决有关问题(如平行、点共线等).(重点) 2．理解基底的定义，掌握平面向量基本定理，并能熟练应用．(重点、难点) 1．通过共线向量基本定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算核心素养． 2．通过平面向量基本定理的应用，提升学生逻辑推理、直观想象等核心素养． [对应学生用书P115] 导学1　共线向量基本定理 　①若a＝λb(λ∈R)，a与b是否平行？②若a∥b，是否一定有b＝λa(λ∈R)? [提示]　①平行． ②不一定．当a≠0时，必有b＝λa； 当a＝0，b≠0时，不存在λ∈R使b＝λa. ◎结论形成 共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在__唯一__的实数λ，使得__b＝λa__． 如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ. 导学2　平面向量基本定理 　对于平面内的任意向量c，是否可以用平面内的一个非零向量a线性表示？是否可以用平面内的两个非零向量a，b线性表示？当向量c可以用两个非零向量a，b线性表示时，表示方法是唯一的吗？ [提示]　当a与c共线时，c可用a线性表示，否则不可以；当非零向量a，b共线时，向量c不一定能用a，b线性表示，若非零向量a，b不共线，则任意向量c一定可以用a，b线性表示，且表示方法是唯一的． ◎结论形成 1．平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b__不共线__，则对该平面内任意一个向量c，存在__唯一__的实数对(x，y)，使得c＝__xa＋yb__． 2．基底 平面内不共线的两个向量a与b组成的该平面上向量的一组基底，记为__{a，b}__，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的__分解__式． ●点睛　 平面向量基本定理的理解 (1)a，b是同一平面内的两个不共线的向量，a，b的选取不唯一，即一个平面可以有多组基底． (2)平面内的任一向量c都可以沿基底进行分解． (3)基底{a，b}确定后，实数x，y是唯一确定的． [对应学生用书P116] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a和b共线，则必有b＝λa.(　　) (2)若向量a和b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.(　　) (3)若向量，共线，则A，B，C，D四点共线．(　　) (4)任何向量在基底{e1，e2}下的表示式a＝a1e1＋a2e2是唯一的．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底{e1，e2}表示为(　　) A．e1＋e2　　　　　　 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 解析　a＝－2e1＋e2. 答案　B 3．设a，b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．－2　　　 D．－1 解析　＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在常数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.因为a，b不共线，所以所以p＝－1.故选D. 答案　D 4．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为________． 解析　∵a∥b，∴a＝λb，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2，∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6. 答案　6 [对应学生用书P116] 题型一　共线向量基本定理的应用(一题多变) 　已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，问a与b是否共线？ [自主解答]　∵e1，e2共线，∴存在λ∈R，使e1＝λe2. ∴a＝3e1＋4e2＝3λe2＋4e2＝(3λ＋4)e2， b＝6e1－8e2＝6λe2－8e2＝(6λ－8)e2， ∴a＝b(λ≠)，∴a与b共线； 当λ＝，b＝0时，a与b也共线． [母题变式] (变条件)本例中，若将“共线向量”改为“不共线向量”，其他条件不变，则a与b还共线吗？ 解析　若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb， 即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2). ∴(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0. ∵e1，e2不共线，∴ ∴λ不存在，∴a与b不共线． [素养聚焦]　　本题主要考查平面向量基本定理的应用，突出考查数学运算核心素养． 要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可． 应用共线向量定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题．另一方面当已知两向量共线时应用该定理可以找到有关这两个向量的等量关系，为下一步运算提供一个有利条件． [触类旁通] 1．设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线． (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线． 解析　(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3， ∴＝＋＝2a＋8b＋3＝2a＋8b＋3a－3b＝5＝5. ∴，共线， 又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb反向共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ ， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴a＝b， ∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0, ∴k2－1＝0，∴k＝±1， ∵λ＜0，∴k＝－1. 题型二　平面向量基本定理的应用(一题多解) 　在△ABC中， (1)若D是BC边的中点，试用，表示； (2)若E是BC边上一点，且＝，试用，表示. [自主解答]　(1)解法一　 如图，因为＝＋，＝＋， 所以2＝＋＋＋. 因为D是BC边的中点， 所以＋＝0， 所以2＝＋， 故＝(＋). 解法二　如图，因为＝＋， 而＝＝(－)， 所以＝＋(－)＝＋. (2) 如图，因为＝＋， 而＝＝ ＝(－)， 所以＝＋(－)＝＋. 用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． [触类旁通] 2．(1)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解析　因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2. 又e1，e2不共线，所以 解得所以c＝a－2b. (2)如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，，. 解析　＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋＝－＋＋＝b－a. 连接EF，BD(图略)，由E，F为中点，得EF綊BD，得BG＝BF，则＝＋＝＋＝a＋＝a＋b－a＝a＋b. 题型三　向量基本定理的应用 　(1)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． (2)设点O是直线AB外一点，求证：P，A，B三点共线的充要条件是∃t∈R，使＝x＋y且x＋y＝1. [自主解答]　(1) 如图， ＝－ ＝－ ＝(－)＋ ＝－＋， 又＝λ1＋λ2， 且与不共线， 所以λ1＝－，λ2＝， 故λ1＋λ2＝. (2)证明　先证必要性：若P，A，B三点共线，如图， 则∃t∈R，使＝t， 即－＝t－t， 故＝(1－t)＋t， 令x＝1－t，y＝t， 则x＋y＝1，必要性成立 再证充分性：若＝x＋y且x＋y＝1， 则＝x＋(1－x)，即－＝x(－)，从而＝x，故P，B，A三点共线．充分性成立． 综上，充要性成立． [答案]　(1)　(2)略 1．本例(2)给出一个重要结论，它有如下两方面应用： (1)若A，B，C三点共线，则有＝x＋y且x＋y＝1. (2)若＝x＋y且x＋y＝1，则有A，B，C三点共线． 2．向量基本定理的应用应注意的两点 (1)用基底表示向量是用向量解决问题的基础，应根据条件合理选取． (2)充分挖掘题目中的有利条件(如三点共线、平行、相似关系等)，注意方程思想的应用(求参数值). [触类旁通] 3．如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点．若＝＋2μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于________． 解析　因为E为AO的中点，所以＝＝(＋)， 所以＝－＝(＋)－＝－. 又＝＋2μ， 所以解得所以λ＋μ＝. 答案　 [缜密思维提能区]　易错辨析 对向量基本定理理解不清致错 [典例]　已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　　) A．λ＝0　　　　　　　 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 [解析]　若e1与e2共线， 则存在实数k，使e2＝ke， ∴a＝e1＋λke1＝(1＋λk)e1， ∴a＝b. 若e1与e2不共线②， 若a与b共线，则存在实数m使a＝mb. 即e1＋λe2＝2me1，∴(1－2m)e1＋λe2＝0. ∵e1与e2不共线，∴∴λ＝0. ∴a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0. [答案]　D ●纠错心得 1．在应用平面向量基本定理时要注意等式a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件，若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑． 2．e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．若当基底{e1，e2}确定后，则实数λ1，λ2是唯一确定的． 知识落实 技法强化 1．共线向量基本定理． 2．平面向量基本定理． 1．注意共线向量基本定理中a≠0这个条件． 2．平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 学科网（北京）股份有限公司 $$