6.2.1 向量基本定理 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.1 向量基本定理 新授课 1. 理解两向量共线的含义，能用共线向量基本定理解决简单几何问题； 2. 了解平面向量基本定理的含义和基底的含义； 3. 会用平面向量基本定理，用基底表示向量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：共线向量基本定理 思考：如果存在实数λ，使得 = λ，则 ∥. 那么，这个结论反过来成立吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：如图所示，判断向量 ，，，，是否可以写成数与向量 相乘.如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由. a b c d e 解：因为 与 的方向相同，而且 || = 2||，所以 = 2 ； 因为 与 的方向相同，而且 || = ||，所以 = ； 因为 与 的方向相反，而且 || = ||，所以 = ； 因为 与 不平行，所以 不能写成数与向量 相乘. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 共线向量基本定理: （1）定义：如果 ≠ 0 且 ∥，则存在唯一的实数 λ，使得 = λ； （2）① = λ 时，通常称为 能用 表示； ② 其中的“唯一”指的是，如果还有 = μ ，则有 λ = μ； （3）三个点 A，B，C 共线的充要条件是：存在实数 λ，使得 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：如果 = 0 且 ∥，什么时候存在实数 λ，使得 = λ？这样的 λ 有多少个？什么时候不存在这样的实数 λ？ 只有 = 0 时才存在实数 λ，使得 = λ；而这样的 λ，可以是任意实数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， 如果 ，，则 ，； 由此向量 和 都写成了向量 ， 的线性运算. 知识点 2：平面向量基本定理 情境与问题： 共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来，那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ a b A B C D 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：如图所示，已知 ，，，，， 的始点相同，分别将 ，，， 写成向量 ， 的线性运算. a b c d e f 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 平面向量基本定理: 如果平面内两个向量 与 不共线，则对该平面内任意一个向量 ，存在唯一的实数对 (x，y)，使得 = x + y. b a c c b a 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ：如图所示，用 与 表示 ，，，，. a d b f c 解：如图， = 2+ ， = – ， = – – 2， = – + ， = – . 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 基底的概念: 平面内不共线的两个向量 与 组成的集合{，}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果 = x + y，则称 x + y 为 在基底{，}下的分解式． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3 ：已知 与 不共线，而且 – x 与 3 + 2 共线，求 x 的值. 解：因为 与 不共线，所以 3 + 2≠ ， 因此由已知可得存在实数 t 使得 – x = t (3 + 2)， 即 – x= 3t + 2t，从而 ，解得 x = – . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4：如图所示，已知平面上点 O 是直线 l 外一点，A，B 是直线 l 上给定的两点. 求证：平面内任意一点 P 在直线 l 上的充要条件是，存在实数 t，使得 A B l P O 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 5：在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 ，，试用基底 分别表示向量：（1）； （2） . 新课讲授 学习目标 课堂总结 要点概括整理 向量基本定理 共线向量基本定理 平面向量基本定理 基底的概念 简单应用 新课讲授 课堂总结 学习目标 证明：设点P在直线l上， 由共线向量基本定理知：存在实数t，使， 因此，所以； 如果，则 从而，即， 因此P，A，B三点共线，即P在直线l上. 解：（1） ； （2）因为，则； 所以，所以. $$