5.4 统计与概率的应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

5．4　统计与概率的应用 学业标准 素养目标 理解统计与概率的基本思想，会利用统计和概率的知识，解决生活实践和其他学科中的实际问题．(重点、难点) 通过统计与概率的实际应用，体会统计思维与确定思维的差异，发展学生数据分析、数学建模等核心素养． [对应学生用书P94] 导学　生活中的概率问题 　某地驻村书记为了振兴当地的乡村经济增加集体收入，引进项目建设了一个水产养殖厂．其中对某种鱼进行人工孵化，据经验10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，现要孵化5 000尾鱼苗，请问大约要准备多少鱼卵(精确到个位)? [提示]　设大约需要x个鱼卵， 依题意＝，解得x≈5 873(个)， 所以大约准备5 873个鱼卵． ◎结论形成 已知一个盒子里装有x个玻璃球，再往盒子里放入m个带有标记的玻璃球，充分搅拌盒子里的玻璃球之后，从盒子里取出n个玻璃球，数出其中带有标记的球的个数，记为k. 由概率统计的基本思想得＝，利用这个关系可对其中某个量进行估计． [对应学生用书P95] 题型一　概率的应用——游戏的公平性 　如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？ [自主解答]　列表如下． 　B A　 3 4 5 6 1 4 5 6 7 2 5 6 7 8 3 6 7 8 9 由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因此甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平． 判断游戏规则公平性的关键及步骤 (1)关键：一种游戏对每个人来说是否公平，关键是看在这一游戏规则下，每个人获胜的概率是否相等． (2)步骤：①先借助概率计算公式，计算每个人获胜的概率；②根据计算的结果判断． [触类旁通] 1．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各伸出1只手中的若干根手指，若和为偶数则甲赢，否则乙赢． (1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)； (2)若以B表示事件“和大于4而小于9”，求P(B)； (3)这种游戏公平吗？试说明理由． 解析　将所有可能情况列表如下． 甲　 乙　 1 2 3 4 5 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) 由上表可知，该试验共包括25个等可能发生的基本事件，属于古典概型． (1)“和为6”包含了(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个基本事件，故P(A)＝＝. (2)“和大于4而小于9”包含了(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共16个基本事件，所以P(B)＝. (3)这种游戏不公平．因为“和为偶数”包括13个基本事件，即甲赢的概率为，乙赢的概率为1－＝，所以游戏不公平． 题型二　古典概型、互斥、独立事件的综合问题 　一个盒子里装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求： (1)“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率． [自主解答]　(1)由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}，共27个样本点． 设“抽出的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A＝{(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)}，共3种． 所以P(A)＝＝. 因此，“抽了的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为. (2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种． 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. 求较复杂事件概率的思路 (1)把复杂事件分解成彼此互斥的和事件，利用古典概型、互斥、独立事件的概率公式求解． (2)合理转化为对立事件的概率求解，化繁为简，减少运算量． [触类旁通] 2．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 解析　设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝. (1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P(B)＝P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3) ＝××＝. (2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P(C)＝P(1＋A12＋A1A23) ＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23) ＝＋×＋××＝. 题型三　统计与概率的综合应用(一题多变) 　某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； (3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率． [自主解答]　(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4， 所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4. (3)受访职工中评分在[50，60)的有 50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40，50)的有 50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为. [母题变式] (变结论)本例(3)条件不变，求此2人中至多有一人的评分在[40，50)的概率． 解析　由本例(3)的解析知，此2人的评分都在[40，50)的概率为，由对立事件的概率公式得此2人中至多有一人的评分在[40，50)的概率为1－＝. [素养聚焦]　　本题考查古典概型与统计的综合应用，突出考查数学建模、数据分析核心素养． 解决概率综合问题的策略 概率问题常常与统计问题综合考查，解概率统计综合题时，首先要处理好数据，然后再根据题目的要求进行相关计算；试题中的统计只要按照相关的统计计算公式计算即可；试题中的概率部分，首先要确定类型，然后确定解决问题的方法．频率的稳定值即为概率，可用频率估计概率．在有些需要对实际问题做出解释的问题中，要根据计算结果的实际意义进行解释． [触类旁通] 3．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如表所示(单位：min)： 组别 候车时间 人数 一 [0，5) 2 二 [5，10) 6 三 [10，15) 4 四 [15，20) 2 五 [20，25] 1 (1)求这15名乘客的平均候车时间； (2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； (3)若从上表第三、四组的6人中选2人做进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． 解析　(1)(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝×157.5＝10.5(min). (2)候车时间少于10分钟的概率为＝，所以候车时间少于10分钟的人数为60×＝32(人). (3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.从6人中任选两人该试验的样本空间为{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)}，其中两个恰好来自不同组包含8个样本点， 所以所求概率为. 知识落实 技法强化 统计与概率的思想及实际应用． 1．判断某些规则是否公平合理的方法是通过对事件概率的计算加以说明理由． 2．在实际应用中，可用频率估计概率，要根据计算结果的实际意义进行解释．概率的大小与事件是否发生没有必然联系． [关键能力·综合提升] 1．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访． 　　　员工 项目　　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率． 解析　(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人． (2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种． ②由表格知，符合题意的所有可能结果为 {A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种． 所以，事件M发生的概率P(M)＝. 2．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表． 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． [解析]　(1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为 由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝. 3．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 解析　(1)由题意知样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000(部)， 获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50(部). 故所求概率为＝0.025. (2)由题意知样本中获得好评的电影部数是 140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372(部). 故所求概率估计为1－＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 4．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄(单位：岁)分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． (1)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？ (2)在(1)的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率． 解析　(1)第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10. 因为第3，4，5组共有60名志愿者， 所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为： 第3组：×6＝3；第4组：×6＝2；第5组：×6＝1. 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人． (2)记第3组的3名志愿者分别为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者分别为B1，B2，则从5名志愿者中抽取2名志愿者组成的样本空间为{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共有10个样本点． 其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共有7个样本点． 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.(注：用对立事件简单) 5．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)： 　　种类 型号　　 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． (1)求z的值； (2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； (3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解析　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意可得＝，即n＝2 000，则z＝2 000－(100＋300)－150－450－600＝400； (2)抽取一个容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用A1，A2表示2辆舒适型轿车，B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则在该样本中任取2辆的基本事件为{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共10个，事件E为{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}共7个，故P(E)＝； (3)由题意可得＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9，则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，故所求概率为，即0.75. [核心价值·探索创新] 6．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果． A配方的频数分布表 指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润(单位：元)与其质量指标值t的关系为y＝ 估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品的平均利润． 解析　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. (2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B配方生产的100件产品平均一件的利润为 ×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元). 学科网（北京）股份有限公司 $$