3.4 第2课时 一元一次方程的应用（2）课件2024-2025学年湘教版数学七年级上册

2024年秋季 数学 湘教版（2024） 七年级上册 第3章 一次方程（组） 3.4 一元一次方程的应用 第2课时 一元一次方程的应用（2） 2 学习目标 1.理解商品销售中进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系.（重点） 2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.(重点） 3.通过列一元一次方程解决分段收费及间隔问题、盈不足问题.（重点） 4.会解决销售问题.（难点） 3 思 考 新课导入 为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆.已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10 km，他在上午10时到达，小华每小时骑15 km，他在上午9时30分到达.他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少? 4 本问题中有如下等量关系: 小楠花的时间-小华花的时间=0.5 h. 由于小楠、小华到雷锋纪念馆花的时间等于路程除以他们各自的速度,若设他俩的家到雷锋纪念馆的路程为x km，则根据等量关系,得 =0.5. 解得 x=15. 因此,他俩的家到雷锋纪念馆的路程为15 km. 例 3 例题讲解 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等. 方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵； 方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好完. 根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度. 分析 观察下面植树示意图，可得如下等量关系： 路长=相邻两树的间隔×(种植的树苗数-1）. 6 设原有树苗 x 棵，由题意可得下表： 方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m 一 5 x + 21 5(x + 21 - 1) 二 5.5 x 5.5(x - 1) 本题中还有如下等量关系： 方案一的路长 = 方案二的路长. 例 3 7 解 设原有树苗 x 棵，根据题意，得 5(x + 21 - 1) = 5.5(x - 1) ， 解得 x = 211. 因此，原有树苗 211 棵，这段路长 5×(211 + 21-1) = 5×231 = 1 155 (m). 答：原有树苗 211 棵，这段路的长1 155 m． 例 3 8 对应练习 某道路一侧原有路灯106盏（两端都有），相邻两盏灯的距离为36m， 现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70m，则 需安装新型节能灯多少盏？ 答：需安装新型节能灯55盏. 解：设需安装新型节能灯x盏，根据题意，得 解得 x=55. 70（x-1）=（106-1)×36. 间隔问题应用比较普遍，如路边种树，街道装路灯等． 需要注意： (1)两个端点都种上树(装上灯)，则树数－1＝间隔数； (2)两个端点都不种树(装上灯)，则树数＋1＝间隔数． 注意 10 例 4 例题讲解 某校七年级甲班有45人，乙班有39人．现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多1人,那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍．请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛? 分析 本题中有如下等量关系: (1)甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1; (2)抽调后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2. 例 4 某校七年级甲班有45人，乙班有39人．现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多1人,那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍．请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛? 解 设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了(x-1)人．根据题意，得 45-x=2[39-(x-1)]. 解得 x=35. 于是，x-l=35-l=34. 答:从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛. 拓 展 为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定：所交水费分为标准内水费与超标部分水费两部分，其中标准内水费为 1.96 元/ t，超标部分水费为2.94 元/t. 某家庭 6 月份用水 12 t，需交水费 27.44元. 求该市规定的家庭月标准用水量. 13 本问题首先要判断所交水费 27.44 元中是否含有超标部分，由于 1.96×12 = 23.52 (元)，小于 27.44 元， 因此所交水费中含有超标部分的水费，即 月标准内水费 + 超标部分的水费 = 该月所交水费 设家庭月标准用水量为 x t，根据等量关系，得 1.96x + (12 - x)×2.94 = 27.44. 解得 x = 8. 因此，该市家庭月标准用水量为 8 t． 14 对应练习 为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每户每月用 电不超过150 kW·h，那么1kW·h电按0.5元缴纳；超过部分则 按1kW·h电0.8元缴纳.如果小张家某月缴纳的电费为147.8元， 那么小张家该月用电多少？ 0.8（x-150）+150×0.5=147.8. 解得 x=241. 答：小张家该月用电约241kw·h. 解：设小张家该月用电x kw·h，根据题意，得 15 解分段计费问题首先要考虑收费是在哪一段，所用水(电)是否超过标准． 如果在标准内，那么所交费用＝标准内费率×所用水(电)量；如果超过标准，那么所交费用＝标准内费用＋超过标准的费用，即：所交费用＝标准内费率×标准量＋标准外费率×超过标准的量． 注意 1. 行程问题中的常见类型 （1）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离. （2）追及问题 ①同时不同地：快者走的路程=慢者走的路程+两地距离； ②同地不同时：快者走的路程=慢者走的路程（两者时间不同）. 归纳 2. 航行问题的几个公式 （1）船在静水中速度+水速=船的顺水速度； （2）船在静水中速度-水速=船的逆水速度； （3）船的顺水速度=船的逆水速度+水速×2. 3. 环形跑道问题 （1）两人同地同向出发，第n次相遇：； （2）两人同地背向出发，第n次相遇：； 4.销售问题中的关系式 利润＝售价－进价，利润＝进价×利润率； 利润率＝ ×100%＝ ×100%； 售价＝标价×折扣率＝进价＋利润＝进价×(1＋利润率)． 5.销售中的盈亏 总售价＞ 总成本 总售价＜ 总成本 总售价＝ 总成本 盈 利 亏 损 不盈不亏 19 补充练习（分段收费） 1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5 t，每吨水费x元；超过5 t，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9 t，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　） A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x-2）=44 C．9（x+2）=44 D．9（x+2）-4×2=44 A 2.某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选 其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月 (限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟． (1) 某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用. 解：(1)采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x， 采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x； 解：(2) 由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上网 时间越长，采用包月制越合算．所以， 当 0 < x < 20 时，采用计时制合算； 当 x＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x > 20 时，采用包月制合算． 2.某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选 其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月 (限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟． (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 3. 用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元. 问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？ (复印的页数不为零) 复印页数x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x 小于20 0.12x 0.1x x 等于20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2 x 大于20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x 解：设复印页数为x，依题意，列表得： (3) 当 x 大于20时，依题意得 2.4+0.09(x－20) ＝ 0.1 x. 解得 x ＝ 60 所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜； 当x等于60时，两者价格相同； 当x大于60时，复印社价格便宜. 综上所述：当 x 小于60页时，图书馆价格便宜； 当 x 等于60时，两者价格相同； 当 x 大于60时，复印社价格便宜. (1) 当 x ＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价格便宜； (2) 当 x = 20 时，图书馆价格便宜； 补充练习（路程问题） 2.A、B两地相距27千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行.已知甲的速度为4千米/时，乙的速度为5千米/时，则甲、乙两人______小时后相遇. 3 1.汽车以72 km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁一下喇叭， 4 s后听到回声，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340 m/s，设听到回声时，汽车离山谷x m，根据题意，列出方程为(　　) A．2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×72＝4×340 C．2x＋4×72＝4×340 D．2x－4×20＝4×340 A 25 3.甲、乙两人相约晨跑，乙出发时，甲跑在乙前方50米处，已知甲跑步速度为每分钟200米，乙跑步速度为每分钟220米，问当两人相距10米时，乙跑了_____________米. 解析：设乙跑了x分钟后，两人相距10米. ①当乙未追上甲时，220x-200x=50-10， 解得x=2，此时乙跑了220×2=440米； ②当乙超过甲时，220x-200x=50+10， 解得x=3，此时乙跑了220×3=660米. 易错点:问题中的“相距”问题需要考虑多解的情况，本题容易忽略乙赶上并超过甲10米时的情况. 440或660 4.小明早晨要在 7：50 以前赶到距家 1000 米的学校上学．一天，小明以 80 米/分钟的速度出发，5 分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以 180 米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他． (1) 爸爸追上小明用了多长时间？ 分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等. 解：(1)设爸爸追上小明用了 x 分钟. 据题意，得 80×5＋80x = 180x. 解得x = 4. 答：爸爸追上小明用了 4 分钟． 80×5 80x 180x 答：追上小明时，距离学校还有 280 米． 4.小明早晨要在 7：50 以前赶到距家 1000 米的学校上学．一天，小明以 80 米/分钟的速度出发，5 分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以 180 米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他． (2) 追上小明时，距离学校还有多远？ 解：(2) 180×4 = 720 (米)， 1 000－720 = 280 (米). 5.一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞 机出航时顺风飞行，在无风时的速度是575 km/h， 风速为25 km/h，这架飞机最远能飞出多少千米就应 返回？ 解：设飞机顺风飞行的时间为t h. 依题意，有(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)． 解得t＝2.2. 则(575＋25)t＝600×2.2＝1 320. 答：这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回． 补充练习（销售问题） 1.某服装进货价为80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打 x 折销售后仍获利50%，则 x 为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：根据题意列方程，得200×-80=80×50%， 解得 x=6. B 30 2.两件商品都卖120元，其中一件赢利25%，另一件亏本20%，则两件商品卖出后（　　） A．赢利16元 B．亏本16元 C．赢利6元 D．亏本6元 D 3．“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是(　　) A．x(1＋30%)×80%＝2 080 B．x·30%·80%＝2 080 C．2 080×30%×80%＝x D．x·30%＝2 080×80% A 4.随着电子信息技术的发展,电视机的价格不断降低.某品牌电视机按原价降低m元后,仍然无人问津，又降低20%,此时售价为n元,则该品牌电视机的原价为　 元.  32 5.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在 2020 年涨价 30% 后，2022 年降价 70% 至 a 元，则这种药品在 2020 年涨价前价格 为 元. 6.文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋，结账时店员说:“如果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元.”小华说:“那就多买一个吧,谢谢.”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款 元. 解析：设小华购买了 x 个笔袋， 根据题意，得18(x-1) -18×0.9x=36， 解得x=30， 所以 18×0.9x=18×0.9×30=486. 故小华结账时实际付款486元. 486 34 7.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8%，那么这种商品原来的利润率是多少？ 解：设原来的利润率是 x，原进价为 a 元，则售价为 a(1+x)元. 根据题意，得 ， 解这个方程，得 x=0.17. 答：这种商品原来的利润率是17%. 1.某人存入银行 2 000 元，定期一年，到期后得到利息和本金共 2 070 元，若设该种储蓄的年利率为 x，请列出方程，并求出 x 的值． 解：根据题意，列方程为 2 000(1＋x)＝2 070， 解得 x＝3.5%. 补充练习（储蓄问题） 2. 小明以两种方式储蓄了 500 元，一种方式储蓄的年利率为 5%，另一种是 4%，一年后得利息 23 元 5 角，问两种储蓄各存了多少元钱？ 解：设年利率为 5% 的储蓄了 x 元， 则另一种年利率为 4% 的储蓄了 (500 - x) 元. 根据题意，得 x · 5%×1 + (500 - x) · 4%×1=23.5. 解得 x = 350. 故 500 - x = 500 - 350 = 150 (元). 答：年利率为 5% 的储蓄了350元，年利率为 4% 的储蓄了 150 元. 列一元一次方程解决应用题的一般步骤 （1）审：审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系； （2）设：设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设； （3）找：找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个等量关系； （4）列：列方程，根据所找出的等量关系列出方程； （5）解：解方程，解所列出的方程，求出未知数的值； （6）验：检验，检验所求的数值是否符合题意或实际； （7）答：写出答案. 课堂小结 38 课堂小结 同向追及问题 同地不同时： 同时不同地： 甲路程＋路程差＝乙路程 甲路程＝乙路程 相向相遇问题 甲的路程＋乙的路程＝总路程 39 储蓄问题 (利息问题) 利息＝本金×利率×存期 本息和＝本金＋利息 利润＝售价－进价 售价＝标价×折数 利润＝进价×利润率 进价 利润 利润率＝ ×100% 课堂小结 销售问题 (利润问题) 分段计费问题 方案问题 几何图形问题 一元一次方程的应用 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 42 谢谢！同学们再见！ $$