精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区第六十九中学2021-2022学年七年级下学期期末数学(五四制)试题

69中学2021-2022七 （下）数学学科期末 一 、选择题：（每题3分，共计30分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列线段能构成三角形的是（　　） A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 1，2，3 D. 2，3，6 3. 若不等式的解集为x＜﹣2，则以下数轴表示中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5. 人数相同的七年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ，则学生成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 6. 设，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的边BC上的高AD与边AB上的高CE的比值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 某校七年级共有学生340人，其中男生的人数比女生的人数的2倍少2人，如果设男生有x人，女生有y人，则下面所列的方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（ ） A. AD=CP B. △ABP≌△CBP C. △ABD≌△CBD D. ∠ADB=∠CDB． 10. 下列说法中：方程的整数解有4个；各边都相等的多边形是正多边形；有两个角互余的三角形是直角三角形；两个等边三角形全等；⑤三角形两个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每题3分，共计30分） 11. 已知，用 x 表示 y，得 _____________． 12. 已知三角形三个内角之比为1∶2∶3，则该三角形最大的内角为_________度． 13. 数据2，3，4，5，5的中位数和众数的和是 ___________． 14. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______ 15. 已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围________． 16. 如图，是一架婴儿车，其中，，则______度． 17. 某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是_______分． 18. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有_______本． 19. 已知，在中，，直线l 经过点 C，过点 A，B 分别作，垂足分别为 D，E，若则线段的长为____________． 20. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 是对角线，AB=CD，∠DAC+∠BCA=180°，∠BAC+∠ACD=90°，四边形 ABCD 的面积是 18，则 CD 的长是__________. 三、解答题（共计60分） 21. 解方程（不等式）组： （1） （2） 22. 如图，在 5×5 的方格纸中，我们把像△ABC 这样的三个顶点都在网格的格点上的三角 形叫做格点三角形． （1）试在如图①方格纸上画出与△ABC 只有一个公共顶点 C 且全等的格点三角形（只画 一个）； （2）试在如图②方格纸上画出与△ABC 只有一个公共边 AB 且全等的格点三角形（只画 一个）． 23. 如图，在中，是的中点，垂足分别是，，． （1）求证：是的角平分线； （2）请直接写出图中所有全等三角形． 24. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 2000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50分． 为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分） 作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 频数分布表 成绩x/分 划记 频数 50≤x<60 正正 10 60≤x<70 正正正正 20 70≤x<80 正正正正正正 30 80≤x<90 a 90≤x≤100 80 合计 200 （1）请补全频数分布直方图 （2）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； （3）若成绩不低于 90 分的为“优”等，则该校参加这次比赛的 2000 名学生中成绩“优”等的大约有多少人？ 25. 某电器商场销售A，B 两种型号计算器，两种计算器的销售价格分别为 42 元/台，56 元/台，商场销售 5 台A型号和 1 台B型号计算器，可获利润76 元；销售 6 台A型号和3 台B型号计算器，可获利润 120 元． （1）求商场购进A，B 两种型号计算器每台的进货价格分别是多少元？（利润 = 销售价格 -进货价格） （2）商场准备用不超过 2500 元的资金购进A，B两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进A型号计算器多少台？ 26. 如图，在 中，，F是 AB 延长线上一点，， 于点 D，交 BC 于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点 是 边的中点，求 的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，作 ，交 于点G，若 ，．求 的面积 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； （1）分别求出 A、B两点的坐标； （2）点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； （3）在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 69中学2021-2022七 （下）数学学科期末 一 、选择题：（每题3分，共计30分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都为的整式方程即为二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，故符合题意； B、中含未知数的项的最高次数为，是二元二次方程，故不符合题意； C、分母中含有未知数，不是整式方程，故不符合题意； D、是三元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列线段能构成三角形的是（　　） A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 1，2，3 D. 2，3，6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A、2+2=4，不能构成三角形，故本选项错误； B、3、4、5，满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故本选项正确； C、1+2=3，不能构成三角形，故本选项错误； D、2+3＜6，不能构成三角形，故本选项错误． 故选B． 考点：三角形三边关系． 3. 若不等式的解集为x＜﹣2，则以下数轴表示中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．据此求解即可． 【详解】解：在数轴上表示x＜-2如下： 故选：B． 【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”． 4. 如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图的方法确定三角形全等的判定方法． 【详解】作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交MO、NO于点A、G， ②再分别以A、G为圆心，大于AG长为半径画弧，两弧交于点B， ③画射线OB，射线OB即为所求， 由作图过程可得：OA=OG，AB=GB，而OB=OB， 则用到的三角形全等的判定方法是：SSS． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，作线段相等，理解三角形全等的判定是解题的关键． 5. 人数相同的七年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ，则学生成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差是衡量一组数据波动大小的统计量，根据题中甲、乙两班学生在同一次数学单元测试的平均分及方差情况即可得到答案，熟记方差的意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ，则学生成绩较为稳定的班级是乙班， 故选：B． 6. 设，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉不等式的三个性质是关键；根据不等式的三个性质逐项判断即可．不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向． 【详解】解：A、根据不等式的性质1知，不等式不成立； B、根据不等式的性质1知，不等式不成立； C、根据不等式的性质2知，不等式不成立； D、根据不等式的性质3知，不等式成立； 故选：D． 7. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的边BC上的高AD与边AB上的高CE的比值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积相等列出比例求解即可． 【详解】解：∵的边上的高为，边上的高为， ，， ∴， 即：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高，根据面积相等列出等式是解题的关键． 8. 某校七年级共有学生340人，其中男生的人数比女生的人数的2倍少2人，如果设男生有x人，女生有y人，则下面所列的方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组；根据等量关系：七年级共有学生340人，其中男生的人数比女生的人数的2倍少2人，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由于男生有x人，女生有y人， 由题意得：； 故选：C． 9. 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（ ） A. AD=CP B. △ABP≌△CBP C. △ABD≌△CBD D. ∠ADB=∠CDB． 【答案】A 【解析】 【详解】∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C． ∴PA=PC， ∴△ABP≌△CBP ,△ABD≌△CBD , ∴∠ADB=∠CDB, 故选A. 10. 下列说法中：方程的整数解有4个；各边都相等的多边形是正多边形；有两个角互余的三角形是直角三角形；两个等边三角形全等；⑤三角形两个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，正多边形的意义，直角三角形的判定，全等的判定，角平分线的性质等知识，掌握这些知识是关键；根据上述知识逐个判断即可． 【详解】解：方程的非负整数解有4个，整数解有无数个，故①说法错误；各边都相等各角也相等的多边形是正多边形，故②说法错误；有两个角互余的三角形是直角三角形，故③说法正确；两个等边三角形不一定全等，故④说法错误；根据角平分线的性质定理知，三角形两个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，故⑤说法正确；故正确的有③⑤两个； 故选：B． 二、填空题：（每题3分，共计30分） 11. 已知，用 x 表示 y，得 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法的变形：用含一个未知数的代数式表示另一个代数式．把未知数x看成已知数，解一元一次方程即可． 【详解】解：方程变形得：， 两边除以3，得：； 故答案为：． 12. 已知三角形三个内角之比为1∶2∶3，则该三角形最大的内角为_________度． 【答案】90 【解析】 【分析】根据三角形内角和为180°和三角形三个内角之比为1∶2∶3可以求出三角形三个内角的具体度数，即可判断出最大的内角为多少度． 【详解】解：根据题意：设三角形三个内角分别为x，2x，3x， ∵三角形的内角和为180°， ∴x+2x+3x=180°， 解得：x=30°， ∴三个内角的度数分别是30°，60°，90° 故该三角形最大的内角为90度 故答案为90 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据三角形内角和为180°求出三个角的度数是解题的关键． 13. 数据2，3，4，5，5的中位数和众数的和是 ___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数；把一组数据按大小排列后，最中间一个或两个数的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数就是众数；根据中位数与众数的概念即可求解． 【详解】解：数据2，3，4，5，5最中间的数是4，故中位数是4；这组数据中，5出现的次数最多，故众数是5，则其和为； 故答案为：9． 14. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______ 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的内角和与外角和，先由每个外角都是，三角形外角和为求出正多边形的边上，再用多边形的内角和公式求解即可. 【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为， ∴正多边形的边数为， ∴这个多边形的内角和为， 故答案为： 15. 已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则．根据题目中的不等式可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】由得，， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴且， 解得，， 故答案为． 16. 如图，是一架婴儿车，其中，，则______度． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握这两个知识点是解题的关键．由平行线的性质得的度数，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：，， ； ； 故答案为：． 17. 某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是_______分． 【答案】88 【解析】 【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可 【详解】本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88（分）． 故答案为：88 【点睛】考点：加权平均数． 18. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有_______本． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．设一共有x人，根据“如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本”，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设一共有x人，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， 所以， 答：这些书共有26人． 故答案为：26 19. 已知，在中，，直线l 经过点 C，过点 A，B 分别作，垂足分别为 D，E，若则线段的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分类讨论；分两种情况，分别利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：当l在外部时，如图， ， ， ， ； ， ， ； ， ； 当l穿过内部时，如图， 同理得：， ； ， ； 综上，的长为或． 故答案为：或． 20. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 是对角线，AB=CD，∠DAC+∠BCA=180°，∠BAC+∠ACD=90°，四边形 ABCD 的面积是 18，则 CD 的长是__________. 【答案】6 【解析】 【分析】延长BC至点E,使CE=AD,再连接AE, 证△ACD≌△CAE得,再证△BAE是等腰直角三角形,得,最后根据即可求出CD的长. 【详解】如图,延长BC至点E，使CE=AD，再连接AE， ∵∠DAC+∠BCA=180°， ∠ECA+∠BCA=180°， ∴∠DAC=∠ECA， 在△ACD和△CAE中， ∴△ACD≌△CAE(SAS)， ∴∠ACD=∠CAE，CD=AE，， ∵∠BAC+∠ACD=90°， ∴∠BAC+∠CAE=90°， ∴∠BAE=90°， ∵AB=CD，CD=AE， ∴AB=AE， ∴△BAE是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形 ABCD 的面积是 18， ∴=18， ∵CD>0， ∴CD=6， 故答案为：6. 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造等腰直角三角形解决问题，属于中等题． 三、解答题（共计60分） 21. 解方程（不等式）组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟练准确计算是解题的关键； （1）观察方程组系数特点，未知数x的系数相同，利用加减消元法求解即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【小问1详解】 解：方程两式相减，得：， 解得：， 把代入第一个方程，得：， 解得：， 故方程组的解为． 【小问2详解】 解：解第一个不等式，得：； 解第二个不等式，得：； 所以不等式组的解集为：． 22. 如图，在 5×5 的方格纸中，我们把像△ABC 这样的三个顶点都在网格的格点上的三角 形叫做格点三角形． （1）试在如图①方格纸上画出与△ABC 只有一个公共顶点 C 且全等的格点三角形（只画 一个）； （2）试在如图②方格纸上画出与△ABC 只有一个公共边 AB 且全等的格点三角形（只画 一个）． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析. 【解析】 【详解】分析: （1）根据全等三角形：能够完全重合的两个三角形是全等三角形进行画图即可； （2）根据全等三角形的定义，结合公共边的条件画图即可. 详解:(1)如图, (2)如图, 点睛: 此题主要考查了复杂作图，画全等三角形，关键是掌握全等三角形的定义. 23. 如图，在中，是的中点，垂足分别是，，． （1）求证：是的角平分线； （2）请直接写出图中所有全等三角形． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，结合直角三角形全等的判定定理可得，进而由角平分线的判定定理即可得证； （2）由（1）的证明过程，结合三角形全等的判定与性质即可得到答案． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， ，， ， ， ， 是的角平分线； 【小问2详解】 解：， 由（1）的证明过程可知； 由（1）知，， ， ， 是和的公共边， ； 由（1）知， 是和的公共边， ； 综上所述，图中所有全等三角形有． 【点睛】本题考查三角形全等综合，涉及中点定义、直角三角形全等的判定与性质、角平分线的判定、三角形全等判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 24. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 2000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50分． 为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分） 作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 频数分布表 成绩x/分 划记 频数 50≤x<60 正正 10 60≤x<70 正正正正 20 70≤x<80 正正正正正正 30 80≤x<90 a 90≤x≤100 80 合计 200 （1）请补全频数分布直方图 （2）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； （3）若成绩不低于 90 分的为“优”等，则该校参加这次比赛的 2000 名学生中成绩“优”等的大约有多少人？ 【答案】（1） 直方图如图所示： （2） （3）2000名学生中成绩“优”等大概800人 【解析】 【分析】（1）由表知，样本容量为200，则200减去其它已知频数即可求得a的值，则可补充直方图； （2）数据按从小到大的顺序排列后，第100个与第 101个数据是最中间的两个数，根据频数表即可作出判断； （3）求出样本中成绩“优”等的频率，则频率与参加比赛的总人数的积就是“优”等的众数． 【小问1详解】 解：由表知，样本容量∶， ； 【小问2详解】 解：一共200个数据，按从小到大的顺序排列后，第100个与第 101个数据都落在第四个分数段 ∴中位数会落在分数段， 【小问3详解】 解：样本中成绩“优”等的频率为，（人）， ∴2000名学生中成绩“优”等大概800人． 【点睛】本题考查了频数分布直方图与频数分布表，用样本频率估计总体数量，中位数，求频率等知识，充分利用频数分布表是解题的关键． 25. 某电器商场销售A，B 两种型号计算器，两种计算器的销售价格分别为 42 元/台，56 元/台，商场销售 5 台A型号和 1 台B型号计算器，可获利润76 元；销售 6 台A型号和3 台B型号计算器，可获利润 120 元． （1）求商场购进A，B 两种型号计算器每台的进货价格分别是多少元？（利润 = 销售价格 -进货价格） （2）商场准备用不超过 2500 元的资金购进A，B两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进A型号计算器多少台？ 【答案】（1）商场购进A 种型号计算器每台的进货价格为30元，商场购进B种型号计算器每台的进货价格为40元 （2）最少需购进A 型号计算器30台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是关键； （1）设商场购进A种型号计算器每台的进货价格为x元，商场购进B种型号计算器每台的进货价格为y元，根据等量关系：商场销售 5 台A型号和 1 台B型号计算器，可获利润76 元；销售 6 台A型号和3 台B型号计算器，可获利润 120 元，列出方程组并求解即可； （2）设购进A型号计算器a台，则购进B型号计算器为台，根据不等关系：商场准备用不超过 2500 元的资金购进A，B两种型号计算器共 70 台，列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设商场购进A种型号计算器每台的进货价格为x元，商场购进B种型号计算器每台的进货价格为y元， 由题意得， 解得； 答：商场购进A 种型号计算器每台的进货价格为30元，商场购进B种型号计算器每台的进货价格为40元． 【小问2详解】 解：设购进A型号计算器a台，则购进B型号计算器为台， 由题意，得：， 解得， 即最少需购进A型号计算器30台． 答：最少需购进A 型号计算器30台． 26. 如图，在 中，，F是 AB 延长线上一点，， 于点 D，交 BC 于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点 是 边的中点，求 的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，作 ，交 于点G，若 ，．求 的面积 【答案】（1）详见解析；（2）67.5°;（3）. 【解析】 【分析】（1）先证明三角形全等，利用全等性质即可解出此题 （2）连接CF，得出等腰Rt△BCF，由此得出角度关系，根据D又是中点DF⊥AC可以得出△AFC为等腰三角形，则DF就为角平分线，因此可以得出角度关系，联合求解即可. （3）先证出△BCD≌△BFG，再证出△ABC≌△EBF，从而得出BEG和BEF的关系即可. 【详解】（1）证明： ∵FD⊥AC ∴∠ADF=90° ∵∠ABC=90° ∴∠ADF=∠ABC=∠EBF ∵∠C+∠A=∠F+∠A=90° ∴∠C=∠F 在△ABC和△EBF中 ∴△ABC≌△EBF ∴AC=EF （2） 连接CF ∵点D是AC中点 ∴AD=CD ∵FD⊥AC ∴∠ADF=∠CDF=90° 在△ADF和△CDF中 ∴△ADF≌△CDF ∴∠AFD=∠CFD ∵BF=BC，BC⊥BF ∴△BCF是等腰直角三角形 ∴∠BFC=∠BCF=∠AFD+∠CFD=45° ∴∠AFD=∠CFD=22.5° ∴∠A=90°－∠AFD=90°－22.5°=67.5° （3）∵BG⊥BD ∴∠DBG=90° ∴∠DBC+∠EBG=∠FBG+∠EBG=90° ∴∠DBC=∠FBG 在△BCD和△BFG中 ∴△BCD≌△BFG ∴CD=FG ∵CD=AD，AC=EF ∴FG=EG ∵△ABC≌△EBF ∴AB=BE=1 ∴BF=BC=BE+CE=1+ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质综合问题，熟悉常见的辅助线作法，根据条件得出所要求得三角形关系是本题解题关键. 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； （1）分别求出 A、B两点的坐标； （2）点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； （3）在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，N点坐标为或 或 【解析】 【分析】（1）由及面积关系，即可求得； （2）由，得，由面积公式即可求得t的值； （3）当时，得；证明，则得，从而得；分三种情况讨论：①当点N在上，且时，有，可得点N的坐标；②过点 A 作轴于 A， 使得 ，连接，则可得从而可得点的坐标；③过点 B作轴于B，使得 连接，与②同理得：，从而可得点的坐标；综合起来即可得到点N的坐标． 【小问1详解】 解∶ ， ， 或（舍）， ； 【小问2详解】 解：由题意知：， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，； 轴⊥轴， ， ， ， 在中，， ， ， ； 在和中， ， ． ， ； ①当点N在上，且时， 则，且， ， ； ， ， ； ②过点 A 作轴于 A， 使得 连接， ，， ， ， ， ， 则 轴， ， ， ； ③过点 B作轴于B，使得 连接， 与②同理得：， 轴， ， ； 综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等， N点坐标为或 或 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $