专题03 铅笔头模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型3：“铅笔头”模型 图示 特点 AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 结论 ∠BOC+∠B+∠C=360° 与“M”模型的关联 通过作延长线可知，实线部分为“铅笔头”模型，拐点与虚线部分为“M”模型，两个模型相互依存，同学们在使用中，可根据题目条件灵活选择合适的模型进行计算 1. 找模型 平行线间某一端存在两条凸出的线段并交于一点 2. 用模型 一般过平行线间的交点作平行线，再利用平行线性质同旁内角互补转换或结合三角形的性质求解 结论:∠BOC+∠B+∠C=360° 证法1:如图①,过点 O 作 OE∥AB. ∵AB∥CD,∴OE∥AB∥CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°, ∴∠B+∠BOC+∠C=360°. 证法2:如图②,延长AB,CO交于点E, ∵AB∥CD,∴∠E+∠C=180°, ∵∠ABO+∠EBO=180°, ∴ ∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=360°. ∵∠E+∠EBO=∠BOC, ∴∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=∠C+∠ABO+∠BOC=360°.也可以延长 BO，DC按照证法2证明，试试看呦 思考延伸：同学们还可尝试连接BC，进行结论证明.提示：根据同旁内角互补及三角形内角和为180°. 拓展方向：研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 ∠O₁ + ∠O₂ + ( ∠B +∠C)=3×180° ∠O₁+∠O₂+∠O₃+…+∠On+(∠B+∠C)=(n+1)×180° 思考延伸：“铅笔头”模型与“M”模型求角度时均过拐点作平行线，思考一下，“铅笔头”模型的规律为什么是(n+1),“M”模型为什么是(n-1)呢？ 例1 如图是由一个矩形纸片剪去两个角后得到，已知∠ABO=AB∥CD125°,∠BOC=100°,则∠OCD的度数为 ( ) A. 135° B. 125° C. 115° D. 105° 思路点拨：已知矩形，即隐含AB∥DC，剪去两个角后为“铅笔头”模型，利用模型结论解题. 例2 模型叠加如图,已知AB∥CD,BF与CF分别平分∠ABE,∠DCE，则下列说法正确的是 ( ) A. ∠BEC=∠ABF+∠DCF C. ∠BFC=∠ABE 思路点拨：AB∥CD,与∠BFC 形成“M”模型,与∠BEC 形成“铅笔头”模型，且给出角平分线知道角的数量关系，从而转换角度判断结论 针对训练 1. 如图,,l₁∥l₂,∠3=60°,则∠1+∠2的度数为 ( ) A. 120° B. 200° C. 240° D. 300° 2. 如图,AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD于点P,若∠CPG=20°,则∠EFP 的度数为 ( ) A. 160° B. 150° C. 110° D. 90° 3. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是AD,BC 上的点,沿 EF将矩形折叠,若∠FEA'=70°,则∠A'GF 的度数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 4. 一个小区大门的栏杆如图所示，BA⊥AE 于点A,CD∥AE,若∠ABC=150°,则∠BCD的度数为 . 5. 模型迁移 如图， 点E，F分别在直线AB，CD上，若射线EA 绕点 E 逆时针旋休憩时刻不为失败找理由，要为成功找方法. 转至 EB后立即回转，射线 FD 绕点 F 逆时针旋转至 FC 后立即回转，两射线分别绕点E，F不停地旋转，若射线 EA转动的速度是a°/秒,射线FD转动的速度是b°/秒,且a,b满足方程组 (1)求a,b的值; (2)若射线 EA 和射线 FD 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线EA和射线 FD 互相垂直? 针对训练 一、单选题 1．如图，平面镜与成一定的夹角，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，当平行于地面时，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 三、解答题 7．如图，已知，请回答下列问题： (1)直接写出图形中之间的关系是________； (2)直接写出图形中之间的关系是________； (3)探究出图形中，之间的关系，并写出证明过程． 8．问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 9．已知，点E是平面内一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 10．综合与实践． (1)【阅读理解】如图，与的边与互相平行，另一组边 交于点，且点在，之间，且在直线右侧，证明：．请你完成下面的证明： 解：如图，过点作． ∴（______）． ∵（______）． ∴______（______）． ∴______． ∴． ∴． (2)【理解应用】如图，当图中的点在直线左侧时，其它条件不变，若 ，求的度数； (3)【拓展提升】与的边与互相平行，且点在直线 同侧，另一组边交于点，且点在，之间．若的角平分线与的角平分线交于点，设，请借助图和图，求的度数（用含的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型3：“铅笔头”模型 图示 特点 AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 结论 ∠BOC+∠B+∠C=360° 与“M”模型的关联 通过作延长线可知，实线部分为“铅笔头”模型，拐点与虚线部分为“M”模型，两个模型相互依存，同学们在使用中，可根据题目条件灵活选择合适的模型进行计算 1. 找模型 平行线间某一端存在两条凸出的线段并交于一点 2. 用模型 一般过平行线间的交点作平行线，再利用平行线性质同旁内角互补转换或结合三角形的性质求解 结论:∠BOC+∠B+∠C=360° 证法1:如图①,过点 O 作 OE∥AB. ∵AB∥CD,∴OE∥AB∥CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°, ∴∠B+∠BOC+∠C=360°. 证法2:如图②,延长AB,CO交于点E, ∵AB∥CD,∴∠E+∠C=180°, ∵∠ABO+∠EBO=180°, ∴ ∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=360°. ∵∠E+∠EBO=∠BOC, ∴∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=∠C+∠ABO+∠BOC=360°.也可以延长 BO，DC按照证法2证明，试试看呦 思考延伸：同学们还可尝试连接BC，进行结论证明.提示：根据同旁内角互补及三角形内角和为180°. 拓展方向：研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 ∠O₁ + ∠O₂ + ( ∠B +∠C)=3×180° ∠O₁+∠O₂+∠O₃+…+∠On+(∠B+∠C)=(n+1)×180° 思考延伸：“铅笔头”模型与“M”模型求角度时均过拐点作平行线，思考一下，“铅笔头”模型的规律为什么是(n+1),“M”模型为什么是(n-1)呢？ 例1 如图是由一个矩形纸片剪去两个角后得到，已知∠ABO=AB∥CD125°,∠BOC=100°,则∠OCD的度数为 ( ) A. 135° B. 125° C. 115° D. 105° 思路点拨：已知矩形，即隐含AB∥DC，剪去两个角后为“铅笔头”模型，利用模型结论解题. 例2 模型叠加如图,已知AB∥CD,BF与CF分别平分∠ABE,∠DCE，则下列说法正确的是 ( ) A. ∠BEC=∠ABF+∠DCF C. ∠BFC=∠ABE 思路点拨：AB∥CD,与∠BFC 形成“M”模型,与∠BEC 形成“铅笔头”模型，且给出角平分线知道角的数量关系，从而转换角度判断结论 针对训练 1. 如图,,l₁∥l₂,∠3=60°,则∠1+∠2的度数为 ( ) A. 120° B. 200° C. 240° D. 300° 1. C 【解析】如解图,∵∠3+∠4=180°(平角的性质),∠3 = 60°,∴ ∠4 = 180°-60°=120°.∵l₁∥l₂,∴ 根据“铅笔头”模型的结论有∠1+∠2+∠4=360°,∴ ∠1+∠2=360°-120°=240°. 2. 如图,AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD于点P,若∠CPG=20°,则∠EFP 的度数为 ( ) A. 160° B. 150° C. 110° D. 90 2. C 【解析】解法1：从题图左侧看，符合“铅笔头”模型,根据模型结论可得,∠AOF+∠OFP+∠FPC=360°,∵EF⊥AB,∴∠AOF=90°,∵∠CPG=20°,∴∠FPC=160°,∴∠EFP= 解法2：从题图右侧看，符合“M”模型，根据模型结论可得,∠OFP=∠BOF+∠FPD, ∵∠BOF=90°,∠FPD=∠CPG=20°,∴∠EFP= 3. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是AD,BC 上的点,沿 EF将矩形折叠,若∠FEA'=70°,则∠A'GF 的度数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 3.D 【解析】由折叠的性质可知， 根据“铅笔头”模型，. 4. 一个小区大门的栏杆如图所示，BA⊥AE 于点A,CD∥AE,若∠ABC=150°,则∠BCD的度数为 . 4. 120° 【解析】∵ CD∥AE,AB 与BC 两条线段相交凸出来，满足“铅笔头”模型，∴∠DCB+∠ABC+∠BAE=360°,又∵AB⊥AE,∴∠BAE=90°,∴ ∠BCD = 360°--∠BAE--∠ABC = 5. 模型迁移 如图， 点E，F分别在直线AB，CD上，若射线EA 绕点 E 逆时针旋休憩时刻不为失败找理由，要为成功找方法. 转至 EB后立即回转，射线 FD 绕点 F 逆时针旋转至 FC 后立即回转，两射线分别绕点E，F不停地旋转，若射线 EA转动的速度是a°/秒,射线FD转动的速度是b°/秒,且a,b满足方程组 (1)求a,b的值; (2)若射线 EA 和射线 FD 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线EA和射线 FD 互相垂直? 5. 解:(1)令 ①+②可得4a=12,解得a=3,将a=3代入①中可得b=1,∴a=3,b=1; (2)设至少旋转t秒时,射线 EA 与射线 FD互相垂直， ∵当射线 EA⊥AB时,∠A'EA=90°, ∴射线 FD旋转的角度为30°, ∴ 当射线 EA与射线 FD 相交时,∠AEA'>90°,如解图，射线 EA 与 FD 的交点为 G，且第一次相交时，∠EGF 从右侧凸出去， ∴∠AEG=(3t)°,∠CFG=180°-t°由“铅笔头”模型可知∠AEG+∠EGF+∠CFG=360°,即 解得t=45. ∴ 至少旋转45秒时,射线 EA 和射线 FD 互相垂直 课后练习 一、单选题 1．如图，平面镜与成一定的夹角，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（　　） A． B． C． D． 1．C 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 2．如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，注意掌握数形结合是解答此题的关键．首先过点作，由，可得，利用平行线的性质，即可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：过点作， ， ，， ， 故选：D 3．如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，当平行于地面时，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．D 【分析】过点作，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，所以，于是有．本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线，并熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图： ∵， ∴， ， ，， ， ， ． 故选：D． 4．如图，， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，作，则，根据平行线的性质分别求出和，则． 【详解】解：如图，作，则，   ， ， ， ， ， ． 故选D． 5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．A 【分析】本题考查平行线的性质与判定，过点C作，得到，进而推出，再求出，即可得出结果． 【详解】解：过点C作， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 6．如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 6． 【分析】本题主要考查学生归纳总结找规律的能力，利用平行线的性质的解答本题的关键.分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 三、解答题 7．如图，已知，请回答下列问题： (1)直接写出图形中之间的关系是________； (2)直接写出图形中之间的关系是________； (3)探究出图形中，之间的关系，并写出证明过程． 7．(1)； (2)； (3)． 【分析】（）过作，则，根据平行线的性质和角度和差即可求解；　 （）过作，则，根据平行线的性质和角度和差即可求解； （）过作，则，根据平行线的性质和角度和差即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 8．问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 8．(1) (2)，理由见解析 (3)当在延长线上时，；当在延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的应用． （1）过点作，通过平行线性质求即可； （2）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）分两种情况：在延长线上时，在延长线上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，可得出答案． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， ，， ，， ． 故答案为：； （2）， 理由：如图，过点作，交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线上时，如图所示， 由（2）可知，，， ， 当在延长线上时，如图所示， 由（2）可知，，， ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 9．已知，点E是平面内一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 9．(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质求角度．熟练掌握平行线的判定与性质，并正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点E作，则，，，根据，计算求解即可； （2）如图2，过点E作，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点E作． 图1 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：如图2，过点E作， 图2 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 10．综合与实践． (1)【阅读理解】如图，与的边与互相平行，另一组边 交于点，且点在，之间，且在直线右侧，证明：．请你完成下面的证明： 解：如图，过点作． ∴（______）． ∵（______）． ∴______（______）． ∴______． ∴． ∴． (2)【理解应用】如图，当图中的点在直线左侧时，其它条件不变，若 ，求的度数； (3)【拓展提升】与的边与互相平行，且点在直线 同侧，另一组边交于点，且点在，之间．若的角平分线与的角平分线交于点，设，请借助图和图，求的度数（用含的式子表示）． 10．(1)两条直线平行，内错角相等；已知；；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确试图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据两条直线平行，内错角相等得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行，进而得，即可得到答案． （2）过点作，根据平行线的性质得，再证，进而得，由此可得，然后根据，可得出与的和是． （3）根据题意分成两种情况，当点在直线右侧时，当点在直线左侧时，结合角平分线的定义，即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴（两条直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两条直线平行，内错角相等；已知；；平行于同一条直线的两条直线平行；． （2）过点作，如图③所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴与的和是． （3）分两种情况讨论如下： 当点在直线右侧，如图所示： 设，， ∵是的角平分线， ∴，， ∵是的角平分线， ∴，， 由（1）的结论得：，， ∴， ∵， ∴． 当点在直线左侧时，如图所示： 设，， ∵是的角平分线， ∴，， ∵是的角平分线， ∴，， 由（1）的结论得：， 由（2）的结论得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的度数为或． $$