精品解析：湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷

鄂州市部分高中教科研协作体期中联考 高二数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】直接由加法计数原理即可求解. 【详解】依题意，不同的选法共有种． 故选：B． 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据递推关系即可逐一代入求值. 【详解】. 故选:C 3. 已知函数，则（ ） A. e B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导，算出之后，然后求函数值 【详解】，则， 故，解得， ，所以. 故选：C 4. 将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ） A. 504 B. 126 C. 112 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用隔板法列式计算得解. 【详解】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分， 每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数， 所以不同的分配方法的种数为. 故选：D 5. 北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ） A. 504种 B. 432种 C. 384种 D. 240种 【答案】A 【解析】 【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A. 6. 函数，则下列结论错误的是（ ） A. 在区间上不单调 B. 有两个极值点 C. 有两个零点 D. 在上有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可． 【详解】定义域为，求导即， 令，解得． 显然在和上，故在和上单调递增； 在上，故在上单调递减． 所以为的极大值点，为的极小值点，且，，草图如下. 所以ABD正确，C错误． 故选：C． 7. 已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值. 【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列， ，则， ， ， 由得：，解得：，又，. 故选：B. 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义，结合二项式定理可知，再确定中被7整除余3的数，即可得解. 【详解】由二项式定理，得 ， 因为能够被7整除， 被7除余3，则， 又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据排列组合的公式逐个分析判断. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：AB． 10. 已知为每项均为正数等比数列的前n项积，若，则（ ） A. 为递减数列 B. C. 当时，最大 D. 成等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合可推出且，从而可判断等比数列的公比的范围，即可判断A，B，C；利用等比数列的定义可判断D. 【详解】因为，且，所以，即， 同理由可得，即，所以且， 又，所以，又，为正数等比数列， 设公比为q，则， 所以单调递减，且最大，故A，C正确，B错误； 因为，的公比为q，则， 即为等比数列，故D正确． 故选：ACD 11. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别构造函数，，，利用导数讨论其单调性，由单调性比较可判断ABC；构造函数，利用二次导数讨论单调性，然后由单调性可判断D. 【详解】令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，又，所以，即， 所以，故A正确； 设，则在上恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以，即，所以，故B正确； 令，则上恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以，即，即，即，所以，故C错误； 令，则，令， 所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，所以在上单调递增，又， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】此类问题主要方法：先同构函数，再由导数导数讨论其单调性，然后利用单调性比较可得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线为，则直线的倾斜角为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得出直线的倾斜角的值. 【详解】因为，其中，则，则， 设直线的倾斜角为，则，所以． 故答案为：. 13. 五名学生要从JAVA、PYTHON、C语言这3种编程语言中选择1种进行学习，每种编程语言至少有1人且至多有2人选择，则不同的选法总数是______． 【答案】90 【解析】 【分析】将五名学生分为1人、2人、2人三组， 再将三组人分配到三种语言可得答案. 【详解】由题意知，将五名学生分为1人、2人、2人三组， 所以共有种方法， 再将三组人分配到三种语言，有种方法， 所以不同的选法有种. 故答案为：90. 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和为恒成立，则数列的通项公式为____________;数列的前n项和等于____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，求出，当时，，求出为等差数列，得到，当时，，求出，检验是否满足，写出表达式; 根据，利用分母有理化和裂项相消法，求解前n项和. 【详解】当时，，又,所以； 当时，，所以， 所以数列为等差数列， 所以, 又,所以, 所以当时，， 显然时上式成立，故； , 故数列的前n项和 ． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若展开式前三项的二项式系数之和为22. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1） （2）135 【解析】 【分析】（1）根据展开式前三项的二项式系数之和求出n的值，即可求出展开式中二项式系数最大的项； （2）利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为展开式前三项的二项式系数之和为22，所以， 即， 解得或（舍），故的值为6， 即展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项， 即. 【小问2详解】 由题意知展开式中通项公式为， 令，解得， 所以，故展开式中的常数项为135. 16. 已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且. （1）求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据等差数列以及等比数列定义结合数列的单调性求得和，即可求数列与数列的通项公式； （2）利用等差、等比前项和公式并分组求和即可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，得， 即， 即，解得或. 当时，，不满足单调递增， 当时，，满足单调递增， 所以. 又，所以， 所以， 即数列的通项公式为， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 利用等比、等差数列前项和公式可得， 数列的前项和为， 数列的前项和为， 所以数列的前项和 即 17. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案； （2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围． 【小问1详解】 由题意得， 函数在及处取得极值， 得，解得. 此时，. 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. 【小问2详解】 由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根， 由图象知，解得， 所以实数c的取值范围是． 18. 在数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，然后根据累加法结合条件即可求解； （2）利用错位相减法求出，然后根据恒成立分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 当时， ， 所以，又符合， 所以； 【小问2详解】 由题意知， ， 两式相减得， 所以，若不等式对任意的恒成立， 当，时，则， 所以，当，时， 则，所以，即， 所以，即的取值范围为. 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导得到导函数，再求导取为0，计算得到对称中心. （2）求导得到导函数，考虑，，三种情况，分类讨论得到答案. （3）确定函数对称中心，根据对称性和常数项得到，，计算，得到答案. 【小问1详解】 ，，， 令，，， 故的对称中心为. 【小问2详解】 ， 令，则，， 当时，，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 ，， 令，，，所以对称中心为， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ； ， 要使得有三个解，故，， 且，，是方程的根， 由于对称性，为了简化研究，只研究的情况， ， 根据常数项知：，根据对称性知：， ，且， 故，即， . 当时，取得最大值，此时. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导数求函数的单调性，参数范围问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据对称性将，转为为的函数关系，再根据二次函数性质求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鄂州市部分高中教科研协作体期中联考 高二数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 36种 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. e B. C. D. 4. 将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ） A. 504 B. 126 C. 112 D. 56 5. 北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ） A. 504种 B. 432种 C. 384种 D. 240种 6. 函数，则下列结论错误的是（ ） A. 在区间上不单调 B. 有两个极值点 C. 有两个零点 D. 在上有最大值 7. 已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为每项均为正数等比数列的前n项积，若，则（ ） A. 递减数列 B. C. 当时，最大 D. 成等比数列 11. 若，则下列结论中正确的是（ ） A B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线为，则直线的倾斜角为___________． 13. 五名学生要从JAVA、PYTHON、C语言这3种编程语言中选择1种进行学习，每种编程语言至少有1人且至多有2人选择，则不同的选法总数是______． 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和为恒成立，则数列的通项公式为____________;数列的前n项和等于____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若展开式前三项的二项式系数之和为22. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项. 16. 已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且. （1）求数列与数列通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 18. 在数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 给出定义：设是函数导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$