2.2 圆的对称性（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.2　圆的对称性（四大题型提分练） 题型一 圆心角、弧、弦之间的关系 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　） ①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为_____________． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为________.    6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的两条弦． （1）如果，那么__________，___________． （2）如果，那么__________，___________． （3）如果，那么__________，___________． （4）如果，垂足分别为与相等吗？为什么？ 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的弦，画一条与长度相等的弦. 仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） 8．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 9．（23-24九年级上·广东珠海·期末）是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 题型二 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 1．（2024·上海静安·二模）对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 2．（23-24九年级上·河北张家口·期末）中的一段劣弧的度数为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，是的直径．，，则的度数为____________. 6． （2023·广东湛江·一模）如图，、是的直径，弦，弧为，则的度数为______. 7．（2022·湖北省直辖县级单位·二模）如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ． 8．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 题型三 垂径定理 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 5．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 6.（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的弦，为的中点，且，则的半径为__________.    7．（2024·山东济南·模拟预测）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ． 8．（2024·广东广州·二模）如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为______________. 9．（2024·陕西榆林·二模）如图，点P在的一条直径上，请用尺规作图法作过点P作的一条弦AB，使．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 题型四 利用垂径定理解决实际问题 1．（2024·广西·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 2．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南永州·中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．    5．（2024·山东临沂·二模）如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为 ．（结果保留） 6．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 7．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 8．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 1．（2021·广西玉林·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（    ） A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在 C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在 2．（2024·安徽亳州·二模）如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的半径为，点为上一点，连接，以为一条直角边，使，，交于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 6．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 7．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为 ． 8．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 9． （2024·安徽池州·三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为________. 10．（2024·广东深圳·模拟预测）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为_____________. 11．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 12．（22-23九年级上·北京平谷·期末）如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程． 方法一：①作射线、； ②作的平分线，与交于点C； 点C即为所求作． 证明：∵平分， ∴ ∴___（_____）（填推理的依据）． 方法二：①连接； ②作线段的垂直平分线，直线与交于点C； 点C即为所求作． 证明：∵垂直平分弦， ∴直线经过圆心O， ∴___（___）（填推理的依据）． 13．（2022九年级上·浙江·专题练习）已知如图所示，为直径上一点，，为过点的两条弦，且； (1)求证：； (2)求证：． 14．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 15．（22-23九年级上·江苏南通·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦； (3)已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2　圆的对称性（四大题型提分练） 题型一 圆心角、弧、弦之间的关系 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 【答案】A 【解析】解：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确； B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误； 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　　） ①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：①∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴的度数的度数．①正确； ②在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．②正确； ③∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴和是等弧．③正确； ④在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．④正确； 故选：D 3．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：在⊙O中，， ，故①正确； 为公共弧， ，故④正确； ，故②正确； ，故③正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故选：D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为_____________． 【答案】. 【解析】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为________.    【答案】. 【解析】解：如图，连接、．    是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， ． 故答案为：. 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的两条弦． （1）如果，那么__________，___________． （2）如果，那么__________，___________． （3）如果，那么__________，___________． （4）如果，垂足分别为与相等吗？为什么？ 【解析】（1）如果AB＝CD，那么，∠AOB＝∠COD； （2）如果，那么∠AOB＝∠COD；AB＝CD； （3）如果∠AOB＝∠COD，那么，AB＝CD； （4）OE与OF相等．理由如下： ∵OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F， ∴AE＝BE，CF＝DF， 而AB＝CD， ∴AE＝CF， ∵OE＝ OF＝，OA=OC， ∴OE＝OF． 故答案为：（1），∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD；∠AOB＝∠COD；（3）AB＝CD，． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的弦，画一条与长度相等的弦. 仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） 【解析】解：如下图，，    8．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【解析】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 9．（23-24九年级上·广东珠海·期末）是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 【解析】（1）证明：过O作于M， （2）证明： ， ， ， 题型二 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 1．（2024·上海静安·二模）对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【解析】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题； ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题 故选：A． 2．（23-24九年级上·河北张家口·期末）中的一段劣弧的度数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 中的一段劣弧的度数为， ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故劣弧的度数为， 故选：D． 4．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解： ，， ． 故选：D． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，是的直径．，，则的度数为____________. 【答案】. 【解析】解：如图， ，， ， ． 又， ， ． 故答案为：． 6． （2023·广东湛江·一模）如图，、是的直径，弦，弧为，则的度数为______. 【答案】. 【解析】连接， 解：∵弧为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2022·湖北省直辖县级单位·二模）如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【解析】解：∵C是的中点， ∴ ， ∴，而， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 所以四边形的周长等于8． 故答案为：8． 8．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【解析】证明：连接， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ． 题型三 垂径定理 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 【答案】D 【解析】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误； C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误； D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确． 故选D． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C 3．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 5．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】解：∵ ∴点为的中点， ∵ ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴ 故选：B． 6.（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的弦，为的中点，且，则的半径为__________.    【答案】5. 【解析】解：连接，，如图所示：    和是的半径， ， 又 为的中点，且， ，， ， 在中，，， ， 的半径为：5， 故答案为5． 7．（2024·山东济南·模拟预测）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ． 【答案】10 【解析】解：连接， ∵是的弦，是的中点， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：． 故答案为：10． 8．（2024·广东广州·二模）如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为______________. 【答案】5. 【解析】解：过O作于H，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是5． 故答案为：5． 9．（2024·陕西榆林·二模）如图，点P在的一条直径上，请用尺规作图法作过点P作的一条弦AB，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【解析】解：如图，弦AB即为所求． ∵，经过的圆心， ∴． 10．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AE＝12cm，CF＝5cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝5cm，OF＝12cm， ∴EF＝12−5＝7cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AE＝12cm，CF＝5cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝5cm，OF＝12cm， ∴EF＝OF＋OE＝17cm． ∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm． 题型四 利用垂径定理解决实际问题 1．（2024·广西·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】连接，交于D，      由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 2．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 4．（2023·湖南永州·中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．    【答案】 【解析】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，    ∵水的最深处到水面的距离为，的半径为． ∴ ， 在中， ∴ 故答案为：． 5．（2024·山东临沂·二模）如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【解析】解：过点O作于D，连接，如图， ∵，， ∴， ∵于D， ∴， ∴， 在Rt中，由勾股定理，得， 在Rt中，由勾股定理，得， ∴这个花坛的面积， 故答案为：． 6．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【答案】 【解析】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 【答案】 【解析】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是 ， 故答案为：． 8．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 【解析】（1）解：∵旋转一周用时120秒， ∴每秒旋转， 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，， ∵， ∴； （2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，    在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴(米)， 答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 1．（2021·广西玉林·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（    ） A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在 C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在 【答案】D 【解析】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知： 小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下； 故选D． 2．（2024·安徽亳州·二模）如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接，如图所示：    ， ， 点是劣弧的中点， ，则， ， ， 故选：C． 3．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【解析】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的半径为，点为上一点，连接，以为一条直角边，使，，交于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，过点作于，则，，    ∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【解析】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 6．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【解析】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 7．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为 ． 【答案】15 【解析】如图，因为点是弧的中点， 所以； 因为为的直径， ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到， 解得． 故答案为：15． 8．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【解析】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 9． （2024·安徽池州·三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为________. 【答案】80 【解析】如图，连接，过点O作，交于点E，交于点F， ∵， ∴， 且易知平分， ∵， ∴， 在和中，， 由勾股定理得，， ∴该烧瓶的高度为． 故答案为：80. 10．（2024·广东深圳·模拟预测）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为_____________. 【答案】米 【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则米，， ， ， 四边形是矩形， 米，米， 设该圆的半径为米， 根据题意得：， 解得：， 即此月亮门的半径为米， 故答案为：米． 11．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 【答案】或或 【解析】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接， ∵点C为半圆上的四等分点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段延长线上时， ∵， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 12．（22-23九年级上·北京平谷·期末）如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程． 方法一：①作射线、； ②作的平分线，与交于点C； 点C即为所求作． 证明：∵平分， ∴ ∴___（_____）（填推理的依据）． 方法二：①连接； ②作线段的垂直平分线，直线与交于点C； 点C即为所求作． 证明：∵垂直平分弦， ∴直线经过圆心O， ∴___（___）（填推理的依据）． 【解析】解：方法一：如图，点C即为所求作． 证明：∵平分， ∴ ∴（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）． 方法二：如图，点C即为所求作． 证明：∵垂直平分弦， ∴直线经过圆心O， ∴（垂径定理）． 13．（2022九年级上·浙江·专题练习）已知如图所示，为直径上一点，，为过点的两条弦，且； (1)求证：； (2)求证：． 【解析】（1）证明：作，， ； ， ， ，， 即． （2）证明： ， ． 14．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【解析】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 15．（22-23九年级上·江苏南通·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦； (3)已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长． 【解析】（1）证明：∵是的等垂弦，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的等垂弦， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； （2）证明：设交于点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴是的等垂弦； （3）解：若点P在内，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图， ∵是的等垂弦， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∵，且， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴； 若点P在外，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图， 同理，，则； ∴或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$