精品解析：内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试文科数学试题

赤峰市高三年级4·20模拟考试试题 文科数学 2024. 04 本试卷共 23 题，共 150 分，共8页，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内. 2.选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果. 【详解】由题意集合， 则． 故选：A． 2. 已知复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数除法运算求解出，然后根据共轭复数的概念可得. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 3. 下列函数最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断． 【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错． 故选：B． 4. 已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙: 则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线定理即可判断. 【详解】对于命题甲，可设，即， 则，所以； 对于命题乙，时，，则有向量与共线. 故甲是乙的充要条件. 故选：C. 5. 已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（ ） A. 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B. 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C. 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D. 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，分别令、即可判断. 【详解】由题意不妨设，则，即， 当时，顶点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去两点，故AB错误； 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，故C正确，D错误. 故选：C. 6. 已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数． 【详解】圆标准方程为， 则已知两圆圆心分别为，半径分别为， 圆心距为， 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选：B． 7. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知鳖臑的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图还原实物图，再根据条件得到圆心为的中点，利用几何关系得出外接圆的半径，即可求出结果. 【详解】如图，由三视图知面，，取中点，过作交于， 因为，所以为外接圆的圆心，又面，， 所以面， 由已知为直角三角形，为其斜边，为直角三角形，为其斜边， 则为三棱锥外接圆的圆心， 又，所以， ，外接圆的半径为， 所以几何体的外接球的表面积为， 故选：A. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性排除选项A；由函数单调性排除选项BC即可解决. 【详解】，定义域为R， 由，可知函数为偶函数，排除选项A； ，令，则恒成立 故为R上单调递减函数，又 可知当时，，即，函数为递增函数， 当时，，即，函数为递减函数， 故选项BC判断错误；选项D判断正确. 故选：D 9. 已知，则的零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，由二倍角的余弦公式和辅助角公式化简可得，则或，结合，即可得出答案. 【详解】由， 则，所以， 即， 所以或， 解得：或， 因为，所以，或， 所以的零点之和为， 故选：C. 10. 已知点， 设点M满足 且M 为函数 图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，可以判断点M的轨迹方程，通过解方程组求出M的坐标，最后根据两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为 所以点M是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的方程为， 即， 因此有， 因此， 故选：B 11. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案. 【详解】由于，定义域为 故，定义域为， ， 即不是奇函数，A错误； ，定义域为，不关于原点对称， 即不是奇函数，B错误； ，定义域为，不关于原点对称， 即不是奇函数，C错误； ，定义域为， ， 即为奇函数，D正确， 故选：D 12. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn，下列结论正确的是（ ） ①P₅的边数为 ② ③既不是等差数列，也不是等比数列； ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】设每个图形的边数为，写出，，，，，可判断①；求得，可判断②；根据等比数列求得，根据迭代累加可得，可判断③④． 【详解】设每个图形的边数为，由题意可得，，，，，…,，故①正确； ，故②正确； ， 第一个图形的面积即正三角形的面积， 从第1个图形到第2个图形，边数增加了，同时每条边上多了一个小三角形，这个小三角形的面积是原图形的， 所以，， 以此类推，第个图形的面积为， 依次迭代，则 ， 所以 ，故，，故④正确． ，可得既不是等差数列，也不是等比数列，故③正确 故选：D． 二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分. 13. 若连续抛两次骰子得到的点数分别为a，b，则点在直线上的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】用列举法写出样本空间的样本点，然后根据古典概型概率公式计算即得． 【详解】样本空间中所有样本点个数为， 其中在直线上的样本点有共6个， 所以所求概率． 故答案为：． 14. 将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】运用辅助角公式化简函数的表达式为正弦型函数，再利用正弦型函数的奇偶性和图象变换的性质进行求解即可. 【详解】， 将函数的图象向左平移个单位后， 解析为，而的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数， 因此有， 因为，所以，即， 故答案为： 15. 已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用单调性确定最小值后可得． 【详解】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得， 故答案为：． 16. 在中，角、、的对边分别为、、， 已知 边上的中线，相交于点， 则直线的夹角为____________. 【答案】##90° 【解析】 【分析】将用基底来表示，然后借助向量的数量积运算即可求解即可. 【详解】 ， ， 因为， ， ， ，即. 故答案为： 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一） 必考题:共60分. 17. 随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（千千米） 56 63 71 79 90 102 110 117 核心零件损坏数y （个） 61 73 90 105 119 136 149 163 （1）据关系建立y关于x的回归模型 求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）. （2）为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关? 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 ， 0. 25 0. 1 0. 05 0.025 0. 01 0. 001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 【答案】（1）； （2）表格见解析，核心零件是否报废与是否保养有关. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）完善，求出的观测值并与临界值比对即可得解. 【小问1详解】 依题意，， ， 所以y 关于 x的线性回归方程为. 【小问2详解】 依题意，报废机核心零件中保养过的有台，未保养的有台， 则列联表如下： 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 零假设：核心零件是否报废与保养无关， 则，根据小概率值独立性检验， 推断不成立，即认为核心零件报废与是否保养有关，此推断的错误概率不大于0.01. 18. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） 证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）将两边倒过来，加上1，变形可证：是等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结果； （2）根据已知求出后，利用错位相减法可求得结果. 【详解】（1）由已知可得： ，而 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以 所以. （2）由（1）得， ， 两式相减，得： ∴ 【点睛】本题考查了用定义证明等比数列，考查了由递推关系式求通项公式，考查了错位相减法求和，属于中档题. 19. 如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，且边长分别为2和4， , 为线段 的中点， 为线段上的点， 平面 . （1）求证: 点H为线段的中点; （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为 平面，所以想到用线面平行的性质定理证明； （2）利用等体积法将三棱锥 转化为三棱锥的体积求解即可. 【小问1详解】 连接， 设 连接、 因为三棱台 所以 又 所以四边形为平行四边形 所以 . 又平面， ⊂平面， 平面∩平面 ∴ ∵四边形 是正方形，O是的中点， ∴点H是的中点. 【小问2详解】 因为 则 又 平面ABC ∴平面, 由（1） 知 且 是边长为4的等边三角形， ∵H为中点， , 20. 已知 （1）比较， x的大小， 并证明; （2）求证： 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，由导数证明后可得； （2）利用（1）的结论确定只要证明， 即证，为此再构造新函数，利用导数进行证明． 【小问1详解】 ，．证明如下： 令， ， ∴在上单调递增，， 即时，. 【小问2详解】 由（1）得时，， 因此要证，，只要证， 即证， 令 ． ． 令 ． 所以在单调递减，所以，即， 所以在上单调递减; 所以， 所以 ， 所以当时， 【点睛】方法点睛：用导数证明不等式，一般把不等式变形为，引入新函数，利用导数求得的最小值，由最小值大于0（或求得的临界值）证得不等式成立． 21. 已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点. （i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点； （ii） 求证：是定值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得； （2）（i）设 ，，，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由 （i ）求出，，再由计算可得. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 因为线段的垂直平分线交直线于点， 则， ， ∴点的轨迹为以、为焦点的双曲线， 设双曲线方程为，则，，所以， 所以点的轨迹方程为 小问2详解】 （ i ） 设 ，，， 若，则，即直线的方程为，显然满足直线与曲线有且仅有一个交点； 若，显然，由题可知，则，， 因为双曲线的渐近线方程为，不妨令，， 所以，， ，即， 即， ∴直线的方程为，即， 又∵点在上，，则， 即直线方程为， 将方程联立，得， ，由，可知方程有且仅有一个解， ∴与有且仅有一个交点； （ii）由 （i ）联立 ，可得， 同理可得， ， 所以是定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 选修4-4: 极坐标与参数方程（10分） 22. 直角坐标系中，曲线的参数方程为 （θ为参数），曲线的参数方程为 （t为参数， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 其中满足 （1）当 时，求曲线的普通方程； （2）当 时，若与在第一象限的交点在上，求a的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式消元可得普通方程； （2）化曲线方程为普通方程，求得交点坐标，代入普通方程后可得结论． 【小问1详解】 当k=1时， 曲线C₁的参数方程为 ， 可得 又， 所以 ； 【小问2详解】 当k=4时， 曲线C₁的参数方程为 可得 又， 所以 ， 由已知可得的方程为 C₁，C₂的交点满足方程组 解得（另一解舍去），C₁与C₂在第一象限的交点为 由已知 （t为参数） ，所以 ① 将点 A坐标代入①可得 选修4-5: 不等式选讲（10分） 23. 已知 （1）化简 ① ② （2）用数学归纳法证明： 能被整除. 【答案】（1）①；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①：运用平方差公式进行求解即可； ②：运用立方差公式进行求解即可； （2）运用数学归纳法，结合因式分解进行证明即可. 【小问1详解】 ①： ， ②：； 【小问2详解】 当时， 显然能被整除，命题成立. 假设当时命题成立，即 能被整除.设 ， 则当时， ， ∴当时， 命题也成立 综上所述，命题对所有正整数都成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰市高三年级4·20模拟考试试题 文科数学 2024. 04 本试卷共 23 题，共 150 分，共8页，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内. 2.选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两个不共线向量，命题甲：向量与共线；命题乙: 则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（ ） A. 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B. 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C. 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D. 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 6. 已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知鳖臑的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2）（ ） A B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的零点之和为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点， 设点M满足 且M 为函数 图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列函数是奇函数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn，下列结论正确的是（ ） ①P₅的边数为 ② ③既不是等差数列，也不是等比数列； ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分. 13. 若连续抛两次骰子得到的点数分别为a，b，则点在直线上的概率为____________. 14. 将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为____________. 15. 已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a取值范围是____________. 16. 在中，角、、的对边分别为、、， 已知 边上的中线，相交于点， 则直线的夹角为____________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一） 必考题:共60分. 17. 随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（千千米） 56 63 71 79 90 102 110 117 核心零件损坏数y （个） 61 73 90 105 119 136 149 163 （1）据关系建立y关于x的回归模型 求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）. （2）为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关? 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 ， 0. 25 0. 1 0. 05 0.025 0. 01 0. 001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 18. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和. 19. 如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，且边长分别为2和4， , 为线段 中点， 为线段上的点， 平面 . （1）求证: 点H为线段的中点; （2）求三棱锥 的体积. 20. 已知 （1）比较， x的大小， 并证明; （2）求证： 21. 已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点. （i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点； （ii） 求证：是定值. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 选修4-4: 极坐标与参数方程（10分） 22. 直角坐标系中，曲线的参数方程为 （θ为参数），曲线的参数方程为 （t为参数， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 其中满足 （1）当 时，求曲线的普通方程； （2）当 时，若与在第一象限的交点在上，求a的值. 选修4-5: 不等式选讲（10分） 23. 已知 （1）化简 ① ② （2）用数学归纳法证明： 能被整除. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $