精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

包九中外国语学校高二年级数学学科 （2026年5月） 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 3. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积. 【详解】当时，，又因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 因为与两坐标轴的交点坐标为和， 所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故选：B. 4. 从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ） A. B. C. D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】分为选派的四人中甲乙仅有其中一人和选派的四人中甲乙均有两种情况分别讨论，结合排列组合即可求出答案. 【详解】若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为. 5. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值. 【详解】由，得， ∴，得， ∴，则. 故选：B． 6. 函数在R上是单调递增的充分条件是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，再由题意可得恒成立，则，从而可求出实数m的取值范围，进而可求解. 【详解】因为，所以． 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 则，解得， 所以函数在R上是单调递增的充分条件是的非空子集. 只有B选项符合. 故选：B. 7. 已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ，将问题转化为比较函数值大小即可. 【详解】设，可得，，， 对求导得，令，解得​； 当时，，即，在上单调递减. 因为，由单调性得 ，即 . 8. 设正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合的单调性可得，令，求导可得的最小值. 【详解】原式化为，因为，则， 则可得. 令，则可得， 因为，则可得在上单调递增， 故，即，令，求导得， 当时，，故函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以．即的最小值为. 故选：B. 二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：BC 10. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2026行的第1013个数最大 C. 210在杨辉三角中出现了6次 D. 记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，将第6行第4个数代入即可；选项B：根据组合数的性质，即可找到第2026行中的最大数；选项C：列举出值为210的组合数即可；选项D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为， 故第6行从左到右第4个数是，故A正确； 选项B：第2026行的第个数可表示为，， 由组合数的性质可知，最大， 因此，，故第2026行的第1014个数最大，B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第行的第个数，因此， 令，则， 即，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时，是函数的极小值点 B. 若，则函数的图像关于点对称 C. 当或时，函数有且仅有3个零点 D. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数性质分析函数单调性，极值点，零点情况，再通过构造新函数研究方程零点问题. 【详解】由题意可得：， 令，解得：或， 当时，，函数在R上单调递增， 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 对于A选项，当时，由函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，可得是函数的极大值点，故A选项错误， 对于B选项，若，，有， 有， 可得函数的图象关于点对称，故B选项正确， 对于C选项，当时，有， 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 又由，，可得函数有3个零点， 当时，有，可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 又由，，可得函数有3个零点，故C选项正确， 对于D 选项，， 令，有，令，有， 令，解得：，， 可得函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，，当时，， 又由，，可得若函数有3个零点， 有，可得，故D选项正确. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调减区间是___________ 【答案】 【解析】 【详解】， ， 当，即， 结合定义域， 解得：， 所以函数的单调减区间是：． 13. 如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 【答案】192 【解析】 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下， 由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题；本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值. （2）求展开式中的系数. 【答案】（1）6 （2）1 【解析】 【分析】（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于的等式，即可解得的值； （2）写出展开式通项，令的指数为，求出的值，代入通项后即可得解. 【小问1详解】 由题意，，解得. 【小问2详解】 的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 16. 某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． （1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ （3）从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分从一班的8名优秀团员中产生、从二班的10名优秀团员中产生和从三班的6名优秀团员中产生三类即可求解； （2）按从一班的8名优秀团员中选1名小组长、从二班的10名优秀团员中选1名小组长和从三班的6名优秀团员中选1名小组长三步即可求解； （3）分从一班、二班的优秀团员中各选1人、从二班、三班的优秀团员中各选1人和从一班、三班的优秀团员中各选1人三类即可. 【小问1详解】 第一类是从一班的8名优秀团员中产生， 有8种不同的选法，第二类是从二班的10名优秀团员中产生， 有10种不同的选法，第三类是从三班的6名优秀团员中产生， 有6种不同的选法，种不同的选法； 【小问2详解】 第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长， 有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长， 有10种不同的选法，第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长， 有6种不同的选法，共有种不同的选法； 【小问3详解】 每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法， 第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法， 第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法，共有种不同的选法. 17. （1）已知，；求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）（2）不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）根据组合数的性质，先由，求得的值，代入，利用组合数的性质可得其值； （2）根据排列数的计算公式，化简可求得不等式的解集. 【详解】（1）由，得或， 所以或. 因为，所以. 所以. （2）由，得. 由，得，即， 即，即，解得， 因此，则， 即不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：（i）； （ii）对任意，对恒成立． 【答案】（1）的单调递增区间为，，的单调递减区间为. （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，并求得导函数，由导函数的符号即可判断的单调区间； （2）（i）构造函数并求得，利用的单调性求得最大值，即可证明不等式成立.；（ii）由（i）可知将不等式变形可得成立，构造函数，因式分解后解一元二次不等式即可证明对恒成立． 【详解】（1）若，（）， 令，得或， 则的单调递增区间为，. 令，得，则的单调递减区间为. （2）证明：（i）设， 则（）， 令，得； 令，得. 故， 从而，即. （ii）函数 由（i）可知 即，所以，当时取等号； 所以当时，则 若，令 则， 当时，. 则当时，， 故对任意，对恒成立. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立问题，构造函数法的应用，属于中档题. 19. 函数. （1）当时，求函数在的单调区间； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，令，利用导数求得在单调递增，得到在单调递增，结合，即可求解； （2）根据题意，转化为有解，令，得到有解，构造函数，求得，得到的单调性和最小值，再结合函数为单调递增，即可求解. （3）根据题意，转化为有两个不同的解，由（2）得到，求得化简得到，令，求得，令，利用导数求得为增函数，得到，得到在递增，求得，即可得到答案. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，；时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得， 当时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以恒成立，所以在单调递增， 可得， 又因为时，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校高二年级数学学科 （2026年5月） 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 3. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ） A. B. C. D. 48 5. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 函数在R上是单调递增的充分条件是：（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2026行的第1013个数最大 C. 210在杨辉三角中出现了6次 D. 记第行的第个数为，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时，是函数的极小值点 B. 若，则函数的图像关于点对称 C. 当或时，函数有且仅有3个零点 D. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调减区间是___________ 13. 如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 四、解答题；本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值. （2）求展开式中的系数. 16. 某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． （1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ （3）从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 17. （1）已知，；求的值； （2）解不等式. 18. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：（i）； （ii）对任意，对恒成立． 19. 函数. （1）当时，求函数在的单调区间； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $