专题1.2 轴对称图形全章知识典例详解（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题1.2 轴对称图形全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 轴对称与轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 3．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【典例1】（2024春•碑林区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的有（　　）个． ①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆． A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行逐一判断即可． 【解答】解：①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑥正方形；⑦圆都是轴对称图形，共6个． 故选：C． 【典例2】（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案． 【解答】解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 【典例3】（2024春•井冈山市期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点（网格线的交点）上，要找一个格点C，连接AC，BC，使△ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】画出△ABC为等腰三角形时C点位置即可． 【解答】解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为等腰三角形， 所以符合条件的格点C的个数是4个． 故选：B． 【典例4】（2024•瓦房店市模拟）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”是关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A，B，C选项中，两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称，而D选项中，两个字母“E”能沿着直线翻折互相重合，所以选项D符合题意． 故选：D． 【典例5】（2024•柴桑区校级三模）如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（　　） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【分析】将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【解答】解：如图， 涂黑的方案有：选择AB、AC、AD、AE、BC、BD、CD、DE时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种， 故选：C． 【典例6】（2024•金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05． 故选：A． 知识点2 轴对称的性质 1．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 2．画图形的对称轴 如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴. 同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴. 【典例1】（2024春•汉中期末）把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形． 【分析】找出各关键点关于对称轴的对称点，依次连接即可． 【解答】解：如图所示， 【典例2】（2024春•肥乡区期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【解答】解：正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是②③． 故选：C． 【典例3】（2024春•通川区期末）如图，在△ABC中，∠A＝32°，∠B＝36°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　 　． 【分析】利用平行线的性质得到∠ADB′＝∠A＝32°，则由平角的定义可得∠BDB′＝180°﹣∠ADB′＝148°，然后根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可得∠CDB的度数，进而问题可求解． 【解答】解：∵B′D∥AC， ∴∠ADB′＝∠A＝32°， ∴∠BDB′＝180°﹣∠ADB′＝148°， ∵点B关于直线CD的对称点为B′， ∴， ∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝38°． 故答案为：38°． 【典例4】（2023秋•重庆期末）如图，点A是∠MON内一点，点E，F分别是点A关于OM，ON的对称点，连接EF交OM，ON于点B，C，连接AB，AC．已知EF＝18，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．18 C．24 D．36 【分析】由轴对称的性质得到OM垂直平分AE，由线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，同理FC＝AC，即可得到△ABC的周长＝BC+AB+AC＝EF＝18． 【解答】解：∵点E，A关于OM对称， ∴OM垂直平分AE， ∴AB＝BE， 同理FC＝AC， ∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝BC+BE+CF＝EF＝18． 故选：B． 【典例5】（2024春•钱塘区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在BC边上，点G，H在AD边上，分别沿EG，FH折叠．若∠1+∠2＝140°，则∠B′EF+∠C′FE的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】根据长方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠1＝∠BEG，∠2＝∠CFH，进而可得∠BEG+∠CFH＝140°，然后利用折叠的性质可得：∠BEB′＝2∠BEG，∠CFC′＝2∠CFH，从而可得∠BEB′+∠CFC′＝280°，最后利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠BEG，∠2＝∠CFH， ∵∠1+∠2＝140°， ∴∠BEG+∠CFH＝140°， 由折叠得：∠BEB′＝2∠BEG，∠CFC′＝2∠CFH， ∴∠BEB′+∠CFC′＝2∠BEG+2∠CFH＝280°， ∴∠B′EF+∠C′FE＝2×180°﹣（∠BEB′+∠CFC′）＝80°， 故选：B． 【典例6】（2024春•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C′处，当C′D平行于△ABC的边时，∠CDB的大小为（　　） A．118°或67° B．118° C．65° D．118°或65° 【分析】由题意知，分当C′D∥AB时，当C′D∥BC时两种情况，根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可． 【解答】解：当C′D∥AB时，如图1， ∴∠C′DA＝∠A＝56°， ∴∠C′DC＝180°﹣∠C′DA＝124°， 由折叠的性质可得，； 当C′D∥BC时，如图2， ∴∠C′DA＝∠C＝46°， 由折叠的性质可得，； ∵D在AC上， ∴不存在C′D与AC平行的情况； 综上所述，∠CDB＝118°或∠CDB＝67°， 故选：A． 知识点3 设计轴对称图案 1．轴对称图案的设计 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对轴对称图案的设计，实质上就是利用轴对称的性质设计一些成轴对称的图形，可以利用网格纸、基本图案、剪纸等进行设计. 轴对称图案的设计，实质上就是利用轴对称的性质设计一些成轴对称的图形，可以利用网格纸、基本图案、剪纸等进行设计. 设计轴对称图案的三个关键点:①找到对称轴;②把握图案的“单元";③灵活运用轴对称的性质. 【典例1】（2024春•大祥区期末）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形． 【分析】利用轴对称图形的性质进而分析得出答案． 【解答】解：如图所示： ． 【典例2】（2023秋•舒兰市期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用） 【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知． 【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个， 分别为△CDA，△FBC，△AEG，△HGE，△BAH． 【典例3】（2023秋•延边州期末）如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同） 【分析】根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案． 【解答】解：图形如图①②③所示： 知识点4 线段、角的轴对称性 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （4）线段垂直平分线的尺规作图： 已知线段AB，求作AB的垂直平分线 分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点. 作直线CD.CD就是所求作的直线.如右图. 2．角的平分线的性质及其判定 （1）性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 ①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； ④运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． （3）作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． ②分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． ③画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【典例1】（2024春•焦作期末）如图所示，是一块三角形的草坪（△ABC），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角的角平分线的交点 C．△ABC三角形三条边上的高的交点 D．△ABC三角形三条中线的交点 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 【典例2】（2024春•紫金县校级月考）滨河国际新城潮河公园改造，该公园有三角形草坪△ABC，如图，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则该树应种在△ABC的（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【解答】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 【典例3】（2024•武威二模）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】（1）作PH⊥AB于H，证明△PEC≌△PHA，得到PE＝PH，同理可证PF＝PH即可得到结论； （2）根据角平分线的判定定理解答即可； （3）根据全等三角形的性质证得∠EPA＝∠HPA，∠FPB＝∠HPB，再根据四边形内角和即可证得∠APB和∠O关系． 【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H， ∵AP是∠CAB的平分线， ∴∠PAE＝∠PAH， 在△PEA和△PHA中， ， ∴△PEA≌△PHA（AAS）， ∴PE＝PH， ∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD， ∴PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴（1）正确； （2）与（1）可知：PE＝PF， 又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F， ∴点P在∠COD的平分线上， ∴（2）正确； （3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°， 又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°， ∴∠O+∠EPF＝180°， 即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°， 由（1）知：△PEA≌△PHA， ∴∠EPA＝∠HPA， 同理：∠FPB＝∠HPB， ∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°， 即∠O+2∠APB＝180°， ∴∠APB＝90°， ∴（3）错误； 故选：C． 【典例4】（2024春•碑林区校级月考）如图，已知△ABC面积是36，周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，则OD的长是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，由角平分线的性质得到OM＝OD，ON＝OD，由△ABC的周长是18可得AB+BC+AC＝18，由S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，得到S△ABC＝9•OD，由△ABC的面积是36，可得9•OD＝36，即可求解． 【解答】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OM＝OD，ON＝OD， ∵△ABC的周长是18， ∴AB+BC+AC＝18， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴， ∵△ABC的面积是36， ∴9•OD＝36， ∴OD＝4． 故选：B． 【典例5】（2024•安徽一模）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【分析】由线段垂直平分线的性质得DB＝DA，EA＝EC，则∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再由三角形内角和定理得∠BAD+∠CAE＝80°，于是得到结论． 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝20°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣20°＝160°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝160°， ∴∠BAD+∠CAE＝80°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝80°+20°＝100°． 故选：A． 【典例6】（2024•南明区一模）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°， 由作图可知MN为AC的中垂线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°， 故选：C． 【典例7】（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【分析】先连接MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE，再作出∠AOB的平分线OF，DE与OF相交于P点，则点P即为所求． 【解答】解：如图所示： （1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线； （2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）； （3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求． 【典例8】（2024春•新城区月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积． 【分析】（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； （2）利用角平分线性质得出DE＝DF，再利用三角形面积公式即可求出． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°， ∴， ∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°， ∴， ∴∠BDC＝180°﹣20°﹣35°＝125°． （2）BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝2， ∴DF＝DE＝2． ∵BC＝9， ∴． 【典例9】（2024•凉州区校级三模）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论； （2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x+8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 【典例10】（2024春•永寿县校级月考）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． （1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝　 　； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数； （3）设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，EA＝EC，则AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝11； （2）先由三角形内角和定理得到∠B+∠C＝80°，再由等边对等角得到∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，则∠DAB+∠EAC＝80°，据此可得∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°； （3）如图，连接OA，OB，OC，由线段垂直平分线的性质证明OB＝OC，即可证明点O在BC的垂直平分线上． 【解答】解：（1）∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴DB＝DA，EA＝EC． ∵BC＝15，DE＝4， ∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝15﹣4＝11， 故答案为：11； （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°． ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝80°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝100°﹣80°＝20°， ∴∠DAE的度数为20°； （3）点O在BC的垂直平分线上．理由如下： 如图，连接OA，OB，OC， ∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 知识点5 等腰三角形的轴对称性质 1．等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. 2．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 3．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 4．等边三角形概念及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 5．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 6．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 7．直角三角形斜边上的中线 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 【典例1】（2024春•景德镇期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则顶角的度数是（　　） A．50° B．40°或130° C．50°或130° D．40°或140° 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130°． 【解答】：如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝40°， ∴∠A＝180°﹣90°﹣40°＝50°； 如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝40°， ∴∠BAD＝50°， ∴∠BAC＝∠ADB+∠ABD＝130°． 故选：C． 【典例2】（2024春•锦江区校级期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．6cm或8cm C．8cm D．5cm或9cm 【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12和9两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是12，哪个是9，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示， 设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y， ∵BD是腰上的中线， ∴AD＝DC＝x， ①若AB+AD的长为12，则2x+x＝12， 解得x＝4， ∴等腰三角形的腰长为8cm， ②若AB+AD的长为9，则2x+x＝9， 解得x＝3， ∴等腰三角形的腰长为6cm， 故选：B． 【典例3】（2024•黄岩区一模）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．60° 【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，根据三角形外角的性质得∠ADC＝∠DAC＝∠B+∠BAD＝2∠B＝2∠C，设∠C＝x，在△ADC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形， ∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠ADC＝∠DAC＝∠B+∠BAD＝2∠B＝2∠C， 设∠C＝x， 在△ADC中，∠CAD+∠ADC+∠C＝180°， 即x+2x+2x＝180°， 解得：x＝36°， ∴∠C＝36°， ∴∠B＝36°， 故选：B． 【典例4】（2024春•栖霞市期末）如图，B、D两点在AE边上，C、F两点在AG边上，且AB＝BC＝CD＝DF＝EF．若∠A＝20°，则∠EFG＝（　　） A．100° B．90° C．86° D．80° 【分析】根据∠A＝20°，AB＝BC得到∠CBD＝2∠A＝40°，结合BC＝CD得到∠CBD＝∠CDB＝40°，即可得到∠DCF＝∠CDB+∠A＝20°+40°＝60°，结合CD＝DF得到∠DCF＝∠DFC＝60°，即可得到∠FDE＝∠DFC+∠A＝20°+60°＝80°，结合DF＝EF即可得到答案． 【解答】解：∵∠A＝20°，AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB＝20°， ∴∠CBD＝2∠A＝40°， ∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB＝40°， ∴∠DCF＝∠CDB+∠A＝20°+40°＝60°， ∵CD＝DF， ∴∠DCF＝∠DFC＝60°， ∴∠FDE＝∠DFC+∠A＝20°+60°＝80°， ∵DF＝EF， ∴∠FDE＝∠FED＝80°， ∴∠EFG＝∠FED+∠A＝20°+80°＝100°， 故选：A． 【典例5】（2023秋•苍梧县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解． 【解答】解：如图，分情况讨论： ①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：C． 【典例6】（2024春•新郑市月考）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 【分析】根据等边三角形的性质得A1B1＝A1A2＝A2B1，∠A2A1B1＝60°，再根据∠MON＝30°及三角形的外角定理得∠A1B1O＝30°，进而得A1B1＝OA1＝1，由此得△A1B1A2的边长为1，同理：△A2B2A3的边长为2，△A3B3A4的边长为4，…，以此类推，△AnBnAn+1的边长为2n﹣1，根据此规律可得△A6B6A7的边长． 【解答】解：∴△A1B1A2为等边三角形， ∴A1B1＝A1A2＝A2B1，∠A2A1B1＝60°， ∵∠A2A1B1＝∠MON+∠A1B1O＝60°，∠MON＝30°， ∴∠A1B1O＝30°， ∴△OA1B1为等腰三角形， ∴A1B1＝OA1＝1， 即△A1B1A2的边长为1， 同理：△A2B2A3的边长为2，△A3B3A4的边长为4， …，以此类推，△AnBnAn+1的边长为2n﹣1， ∴△A6B6A7的边长为26﹣1＝25＝32． 故选：D． 【典例7】（2023秋•婺城区期末）我们知道等边三角形的每个内角都是60°如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若∠1＝10°，∠2＝20°，则∠3的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】根据等边三角形的性质得∠2+∠5+∠3＝∠3+∠4+∠5＝60°，∠1+∠4+∠3＝∠4+∠3+∠5＝60°，由此可得出∠2＝∠4＝20°，∠1＝∠5＝10°，据此可求出∠3的度数． 【解答】解：如图所示： ∵∠1＝10°，∠2＝20°， 又∵∠2+∠5+∠3＝∠3+∠4+∠5＝60°，∠1+∠4+∠3＝∠4+∠3+∠5＝60°， ∴∠2＝∠4＝20°，∠1＝∠5＝10°， ∴∠3＝60°﹣∠2﹣∠5＝60°﹣20°﹣10°＝30°， 故选：C． 【典例8】（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BFBE＝4，于是CF＝BC﹣BF＝2，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DC＝2CF＝4，然后根据BD＝BC﹣DC即可求解． 【解答】解：过点E作EF⊥BC于F． 在Rt△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°， ∴∠BEF＝30°， ∵AB＝3，AE＝5， ∴BFBE（AB+AE）（3+5）＝4， ∵BC＝6， ∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2． ∵ED＝EC，EF⊥BC于F， ∴DC＝2CF＝4， ∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2． 故选：C． 【典例9】（2023秋•三台县期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴AFAD，CECF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝1， ∴AF，CF，CE， ∴BE＝BC﹣CE＝2， 故选：C． 【典例10】（2024春•东昌府区期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点，∠BCA＝43°，∠ACD＝25°，连接BD，BE，DE，则∠BDE＝（　　） A．25° B．22° C．30° D．32° 【分析】证明EA＝EB＝EC＝ED，可得∠ECB＝∠EBC，∠ECD＝∠EDC，可得∠BED＝2（∠BCA+∠ACD）＝136°，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点， ∴EA＝EB＝EC＝ED， ∴∠ECB＝∠EBC，∠ECD＝∠EDC， 在△ABE中，∠AEB＝∠ECB+∠EBC＝2∠BCA， 同理可得：∠AED＝∠ECD+∠EDC＝2∠ACD， ∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝2（∠BCA+∠ACD）＝2×（43°+25°）＝136°， ∵EB＝ED， ∴． 故选：B． 【典例11】（2024•民勤县校级二模）如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE． 【分析】连接MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MDBC＝ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论． 【解答】证明：连接MD、ME． ∵BD是△ABC的高，M为BC的中点， ∴在Rt△CBD中，MDBC，（直角三角形斜边上那的中线等于斜边的一半） 同理可得MEBC， ∴MD＝ME， ∵F是DE的中点，（等腰三角形三线合一） ∴FM⊥DE． 【典例12】（2024春•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【典例13】（2023秋•甘州区校级期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F． （1）求证：△DFC是等腰三角形； （2）求△AEF的周长． 【分析】（1）首先根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，再根据角平分线的定义可得∠FCD＝∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，据此即可证得； （2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠FDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCD＝∠DCB， ∴∠FDC＝∠FCD， ∴FD＝FC， ∴△DFC是等腰三角形； （2）∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝EB， ∵AC＝6cm，AB＝8cm， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF ＝AE+ED+FD+AF ＝AE+EB+FC+AF ＝AB+AC ＝8+6 ＝14（cm）． 【典例14】（2023秋•东营区校级期中）如图△ABC是等边三角形． （1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形； （2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，求证：BD＝CE． 【分析】（1）先由等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝60°，再由平行线的性质得到∠ADE＝∠B＝60°，由此即可证明结论； （2）利用等边三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，进而得到∠BAD＝∠CAE，由此证明△BAD≌△CAE（SAS），即可证明BD＝CE． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°， ∴△ADE是等边三角形； （2）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE． 【典例15】（2024春•青岛期中）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）BF与AE有怎样的数量关系？请说明理由． 【分析】（1）根据AD垂直平分BC得AB＝AC，再根据EF⊥AB，∠E＝30°得∠BAC，由此即可得出结论； （2）过点C作CH⊥EF于H，设BF＝a，AB＝x，则AF＝AB﹣BF＝x﹣a，证△BFD和△CHD全等得BF＝CH＝a，进而得CE＝2a，AE＝x+2a，再根据AE＝2AF得x+2a＝2（x﹣a），即x＝4a，则AE＝x+2a＝6a，据此可得出BF与AE的数量关系． 【解答】（1）证明：∵AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∵EF⊥AB，∠E＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）BF与AE的数量关系是：BFAE，理由如下： 过点C作CH⊥EF于H，如图所示： 设BF＝a，AB＝x，则AF＝AB﹣BF＝x﹣a， 由（1）可知：△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝x， ∵EF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CHD＝90°， ∵AD垂直平分BC， ∴BD＝CD， 在△BFD和△CHD中， ， ∴△BFD≌△CHD（AAS）， ∴BF＝CH＝a， 在Rt△ECH中，∠E＝30°， ∴CE＝2CH＝2a， ∴AE＝AC+CE＝x+2a， 在Rt△AEF中，∠E＝30°， ∴AE＝2AF， 即x+2a＝2（x﹣a）， ∴x＝4a， ∴AE＝x+2a＝6a， ∵BF＝a， ∴BFAE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 轴对称图形全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 轴对称与轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 3．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【典例1】（2024春•碑林区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的有（　　）个． ①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆． A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【典例3】（2024春•井冈山市期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点（网格线的交点）上，要找一个格点C，连接AC，BC，使△ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【典例4】（2024•瓦房店市模拟）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”是关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【典例5】（2024•柴桑区校级三模）如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（　　） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【典例6】（2024•金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 知识点2 轴对称的性质 1．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 2．画图形的对称轴 如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴. 同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴. 【典例1】（2024春•汉中期末）把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形． 【典例2】（2024春•肥乡区期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 【典例3】（2024春•通川区期末）如图，在△ABC中，∠A＝32°，∠B＝36°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　 　． 【典例4】（2023秋•重庆期末）如图，点A是∠MON内一点，点E，F分别是点A关于OM，ON的对称点，连接EF交OM，ON于点B，C，连接AB，AC．已知EF＝18，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．18 C．24 D．36 【典例5】（2024春•钱塘区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在BC边上，点G，H在AD边上，分别沿EG，FH折叠．若∠1+∠2＝140°，则∠B′EF+∠C′FE的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【典例6】（2024春•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C′处，当C′D平行于△ABC的边时，∠CDB的大小为（　　） A．118°或67° B．118° C．65° D．118°或65° 知识点3 设计轴对称图案 1．轴对称图案的设计 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对轴对称图案的设计，实质上就是利用轴对称的性质设计一些成轴对称的图形，可以利用网格纸、基本图案、剪纸等进行设计. 轴对称图案的设计，实质上就是利用轴对称的性质设计一些成轴对称的图形，可以利用网格纸、基本图案、剪纸等进行设计. 设计轴对称图案的三个关键点:①找到对称轴;②把握图案的“单元";③灵活运用轴对称的性质. 【典例1】（2024春•大祥区期末）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形． 【典例2】（2023秋•舒兰市期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用） 【典例3】（2023秋•延边州期末）如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同） 知识点4 线段、角的轴对称性 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （4）线段垂直平分线的尺规作图： 已知线段AB，求作AB的垂直平分线 分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点. 作直线CD.CD就是所求作的直线.如右图. 2．角的平分线的性质及其判定 （1）性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 ①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； ④运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． （3）作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． ②分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． ③画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【典例1】（2024春•焦作期末）如图所示，是一块三角形的草坪（△ABC），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角的角平分线的交点 C．△ABC三角形三条边上的高的交点 D．△ABC三角形三条中线的交点 【典例2】（2024春•紫金县校级月考）滨河国际新城潮河公园改造，该公园有三角形草坪△ABC，如图，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则该树应种在△ABC的（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【典例3】（2024•武威二模）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例4】（2024春•碑林区校级月考）如图，已知△ABC面积是36，周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，则OD的长是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【典例5】（2024•安徽一模）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【典例6】（2024•南明区一模）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【典例7】（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【典例8】（2024春•新城区月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积． 【典例9】（2024•凉州区校级三模）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【典例10】（2024春•永寿县校级月考）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． （1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝　 　； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数； （3）设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上． 知识点5 等腰三角形的轴对称性质 1．等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. 2．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 3．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 4．等边三角形概念及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 5．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 6．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 7．直角三角形斜边上的中线 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 【典例1】（2024春•景德镇期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则顶角的度数是（　　） A．50° B．40°或130° C．50°或130° D．40°或140° 【典例2】（2024春•锦江区校级期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．6cm或8cm C．8cm D．5cm或9cm 【典例3】（2024•黄岩区一模）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．60° 【典例4】（2024春•栖霞市期末）如图，B、D两点在AE边上，C、F两点在AG边上，且AB＝BC＝CD＝DF＝EF．若∠A＝20°，则∠EFG＝（　　） A．100° B．90° C．86° D．80° 【典例5】（2023秋•苍梧县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【典例6】（2024春•新郑市月考）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 【典例7】（2023秋•婺城区期末）我们知道等边三角形的每个内角都是60°如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若∠1＝10°，∠2＝20°，则∠3的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【典例8】（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（　　） A．3 B． C．2 D． 【典例9】（2023秋•三台县期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【典例10】（2024春•东昌府区期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点，∠BCA＝43°，∠ACD＝25°，连接BD，BE，DE，则∠BDE＝（　　） A．25° B．22° C．30° D．32° 【典例11】（2024•民勤县校级二模）如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE． 【典例12】（2024春•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【典例13】（2023秋•甘州区校级期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F． （1）求证：△DFC是等腰三角形； （2）求△AEF的周长． 【典例14】（2023秋•东营区校级期中）如图△ABC是等边三角形． （1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形； （2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，求证：BD＝CE． 【典例15】（2024春•青岛期中）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）BF与AE有怎样的数量关系？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$