实战演练05 导数中构造函数的妙用（4大常考点归纳）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

实战演练05 导数中构造函数的妙用 ①构造函数比较大小 ②构造函数解不等式 ③构造函数求最值（范围） ④构造函数证明不等式 一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数 1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3.常见的构造函数有 （1）与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2） 对于，构造． 模型11.（1） （2） ①构造函数比较大小 一、单选题 1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，，，设a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·福建南平·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． ②构造函数解不等式 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 8．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． ③构造函数求最值（范围） 一、单选题 1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若存在正实数满足：，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数，，若成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ④构造函数证明不等式 一、解答题 1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 2．（2024·广西·三模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若对任意，求的取值范围. 3．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的最小值. 5．（2024·四川绵阳·三模）设. (1)当，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，讨论的极值； (2)若是的两个不同的零点，求证：． 7．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 8．（2024·青海·一模）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个零点，，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实战演练05 导数中构造函数的妙用 ①构造函数比较大小 ②构造函数解不等式 ③构造函数求最值（范围） ④构造函数证明不等式 一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数 1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3.常见的构造函数有 （1）与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2） 对于，构造． 模型11.（1） （2） ①构造函数比较大小 一、单选题 1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合的特征，构造函数，利用其单调性即可比较大小. 【详解】构造函数，，则， 令解得；令，解得； 可得在上单调递增，在上单调递减， ，，且， ，即，就是. 故选：C． 2．（2024·四川·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用当时，判断，通过函数在是减函数判断. 【详解】当时，设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 也就是说当时，， 用代替，可得，即， 所以，即． 又知，所以，所以． 故选：A 3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，，，设a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较． 【详解】解：构造函数，则， 当时，，函数在上为减函数， 而，，，又， 所以，即， 故选：A 4．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数说明它在内单调递增即可得解. 【详解】构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，. 故选：A. 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，和，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】令，，则， 令，则即单调递增，所以，故为增函数，所以，可得，故. 令，则，故为增函数，所以0，即.所以，故，所以b 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过指数函数、幂函数的单调性得，，再构造函数，通过导数判断单调性即可得. 【详解】由题意，令，则在上单调递增， 所以， 令，则在上单调递增， 所以， 因为， 令，则， 令，则，单调递增； 令，则，单调递减； 所以，则， 故， 综上所述，即. 故选：C. 7．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，利用导数证明，则，再构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，即可得解. 【详解】令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以， 而， 令， 则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 即，所以， , 令， 则， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 即当时，， 所以函数在上单调递增， 所以， 即，所以， 综上所述，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造和两个函数，是解决本题的关键. 8．（2024·福建南平·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数据结构特征可通过和比较c和b的大小，再通过构造函数，研究函数的单调性可求解判断a和c，进而得解. 【详解】设函数，又， 所以当时，0， 所以在区间内单调递增，又， 所以当时，0恒成立，即， 所以当时， ，即， 所以， 所以．即； 设， 而， 设，则， 当时，单调递增，所以， 所以当时，，即当时单调递增， 所以，故当时，单调递增，所以， 即，所以， 即，即． 综上，， 故选：B． 【点睛】思路点睛：比较具有共性的复杂的数的大小，通常根据数据共性联系构造函数，通过研究函数单调性得函数的正负情况，从而比较得出数的大小关系. ②构造函数解不等式 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造并判断单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】由，可得， 令，结合，则， 所以在R上递减，故， 则原不等式解集为. 故选：A 2．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解. 【详解】设函数，可得， 所以函数在上单调递减， 由，可得，即， 可得，所以，即不等式的解集为. 故选：D. 3．（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集. 【详解】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得. 故选：A. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 构造函数，对求导并判断函数的单调性与奇偶性，分与两种情况求出不等式的解集，综合即可得答案． 【详解】 根据题意，设函数， 则其导数， 又由当时，，则有， 即当时，函数为增函数， 又由，则函数为偶函数， 由当时，函数为增函数，则时，函数是减函数， 因为，所以， 故时，由，得：，解得：， 时，由，得：，解得：，则 成立的的取值范围是：． 故选：C． 5．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意，可证为上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解. 【详解】因为， 设， 则， 即为上的偶函数， 又当时，， 则，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，所以，即， 解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题意，设，研究函数的奇偶性和单调性，从而求解不式. 二、填空题 6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 【答案】 【分析】构造，利用导数得在上单调递增，把转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】构造， 所以， 所以在上单调递增，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题设条件，构造函数，判断其单调性，将所求不等式整理成，利用的单调性即可解得. 【详解】令，则 因为当时，，即 所以当时，单调递减， 由不等式可得， 即,故有，解得：， 即不等式的解集为. 故答案为：. 8．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，由已知得出为偶函数，且在上是增函数，在上为减函数，将转化为求解即可． 【详解】令，则， 当时，， 所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数， 所以，又， 所以是偶函数，所以在上递减， 所以， 即不等式等价为， 所以，所以． 故答案为：． ③构造函数求最值（范围） 一、单选题 1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若存在正实数满足：，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】构造同构函数利用的单调性求解参数的最大值. 【详解】正实数满足，则， 所以令，则， 设，，， 易知在上单调递减，在上单调递增，故， 所以，即，又因为， 故，所以， 所以，则，则，令，，， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以故的最小值为. 故选：A 2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】分析可知，结合的单调性可得，，构建，利用导数求其单调性和最值，即可得结果. 【详解】因为，则， 由题意可得：， 整理可得，即， 又因为在内单调递减，则在内单调递减， 可得，则， 构建，可得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，所以的最小值为. 故选：B. 3．（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围. 【详解】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B 4．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数，，若成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到，关于的函数式，进而可得关于的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值. 【详解】令，则，， ，，所以， 若，则， ，有， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 即的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：令确定关于的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 5．（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当单调递增,当单调递减． 所以有最大值，于是，解得． 故选：B 【点睛】方法点睛：将已知条件转化为，通过构造函数，进而利用导数得到，进而计算求得结果. 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式整理为，构造函数，利用单调性得到，再构造，进而得到，从而. 【详解】，，且， 两边加上得，， 设，则，所以单调递增， ，即， 令，则， 的定义域是， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，取得极大值即为最大值，， ，. 故选：C． 【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解. ④构造函数证明不等式 一、解答题 1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为；单调递增区间为； (2)． 【分析】（1）利用导数即可判断函数的单调区间； （2）转化为恒成立问题，构造函数，求导，对分类讨论，研究正负判断的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时， 当时，，当时，． 所以的单调递减区间为；单调递增区间为 （2）因为对任意恒成立．设． 所以． 分类：①当时，，知在单调递增， 所以，不成立． ②当时，，知在单调递减，所以成立． ③当时，令． 所以． （ⅰ）若即时，，知在单调递减，所以， 所以，所以在单调递减，所以对任意时，成立． （ⅱ）若即时，由可得，所以当时，， 于是，在单调递增，所以对任意时，，所以， 所以在单调递增，所以对任意时，恒成立． 综上所述：的取值范围是． 2．（2024·广西·三模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若对任意，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求导函数的零点，即为的极值点，然后解不等式，，确定极大值和极小值； （2）构造函数，将恒成立问题转化为最值问题，在求最值过程中，注意对参数a的分类讨论. 【详解】（1），得， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）对任意，即， 设， ①当时，在单调递增，单调递增， ，成立； ②当时，令在单调递增， 在单调递增， ，成立； ③当时，当时，单调递减， 单调递减， ，不成立. 综上可知. 3．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性. （2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为，， 故当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，令， 则时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上恒成立， 故证证， 即， 令，则， 故当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上恒成立，故， 所以当时，. 【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证. 4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可得出原函数的增减性； （2）等价变形，构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，即可求出最值. 【详解】（1）因为定义域为，则， 当时，令，解得，令，解得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）因为，所以， 所以，即 令，则有， 设，则，由得 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即，又因为， 所以，当且仅当时等号成立 所以，从而，所以原式 设，则，由得 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以所求最小值为. 5．（2024·四川绵阳·三模）设. (1)当，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求导后代入点的横坐标求出切线斜率，再把点的横坐标代入求出纵坐标，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）用导数求出，把问题转化为设，即证：在上恒成立，求导后构造函数，再求导后得到在恒成立，从而得到在上单调递增，即可证明. 【详解】（1）当时，， ， ， 又， 所以在点处的切线方程为， 即. （2）因为， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要证，即证， 只需证， 设，即证：在上恒成立， 则， 令， 所以， 令， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则， 所以在恒成立，则在上单调递增， 所以，原不等式得证. 【点睛】方法点睛： （1）第一问用导数求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程即可； （2）第二问证明函数不等式恒成立，求导判断函数的最小值，最小值大于不等式右边即可，当一次求导无法判断时，通常二次求导. 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，讨论的极值； (2)若是的两个不同的零点，求证：． 【答案】(1)有极大值，无极小值． (2)证明见解析 【分析】（1）由导数可知某点处的切线斜率，由两直线垂直可知斜率乘积为，便可以求出参数，再利用导数的正负来分析原函数的单调性即可得到答案； （2）关键在于利用已知条件，对称性，转化为参数的表达式，再对原不等式中的参数进行等量代换，通过系列的等价变形，可以构造双变量为单变量的不等式，从而构造函数进行求导分析最值来进行证明. 【详解】（1）由求导得：， 当时，， 根据导数的几何意义求知曲线在点处的切线斜率为， 因为该切线与直线垂直，由斜率之积为得：， 解得，所以， 因为的定义域为，所以由可解得（舍去）或， 即当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 即有极大值，无极小值． （2）因为是的两个不同的零点， 所以，， 两式相减可得，故， ， 不妨设，则， 根据上式可知， 要证，只需证明，即证． 设， 则， 在上单调递减，， 故． 【点睛】方法点睛： （1）研究函数的极值时，一般需要对原函数进行求导，利用导函数的正负来分析原函数的单调性，从而可得到极值； （2）证明多变量不等式时，需要利用相等条件消去参变量，再对不等式进行等价变形转化为单变量的不等式，从而构造函数通过求导分析其最值进行证明. 7．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为有三个不等的实数根，再参数分离为，转化为与有三个交点，利用导数分析函数的图象，即可求解； （2）首先由，转化为，，再通过构造函数，利用导数求的取值范围，再根据的单调性求参数的取值范围. 【详解】（1）函数有三个极值点 则有三个不等实根 即方程有三个不等实根， 令，则， 由得，由得或 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以 （2）由（1）知，， 所以，令，则， 令，则 令，则， 即，，故 在上单调递增，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是根据的单调性，转化为求的取值范围. 8．（2024·青海·一模）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个零点，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）由导数确定函数的单调性及最值，即可求解； （2）的零点满足，要证，即证，通过设函数，然后求导判断函数在上的单调性，可得，结合函数在的单调性即可证明. 【详解】（1）由题意可知的定义域为，且， 对于，有在上恒成立，即递减， 所以，即在上恒成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在时单调递减， 所以当时，函数有最大值，，所以， 即，所以的取值范围为； （2）不妨设，由（1）知，即，令， 构造，且， 所以 ， 令，则， 当时，，递减，故， 所以时，单调递减，故， 即在上，所以， 又，所以，即， 由（1）知在上单调递减，所以，故得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$