专题19 三角恒等变换（八大考点+一个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题19三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） （3）；（4） （5） （6） 二、二倍角公式 （1） （2） （3） 三、公式的常用变形 （1）； （2）降幂公式：；； （3）升幂公式：；；； （4）辅助角公式：，其中， 考点01两角和与差的三角函数公式的正用和逆用 【例1】（    ） A． B． C． D． 【例2】利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【变式1-1】已知中，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【变式1-2】已知向量，将绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标 . 【变式1-3】已知，，则 . 考点02两角和差公式中角的变换问题 【例3】已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【例4】已知且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知都是锐角，，则 . 【变式2-2】已知，均为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，，，则 ． 考点03二倍角的三角函数公式 【例5】等于（    ） A． B．2 C． D．1 【例6】已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（多选）以下化简正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则 . 【变式3-3】若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点04给角求值 【例7】（多选）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例8】（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】计算下列各式的值，其结果为2的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】化简（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-3】若，则的值是 . 考点05给值求值 【例9】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，则的值 ． 【变式5-3】已知， (1)求和值； (2)求的值. 考点06给值求角 考点07辅助角公式 【例11】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例12】已知，，且，则 ． 【变式6-1】设，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式6-3】已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 考点08三角恒等变换的综合应用 【例13】的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【例14】已知，，则 . 【变式7-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】化简 ． 【变式7-3】若，则 . 【例15】设，，，则有（    ）． A． B． C． D． 【例16】已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8-3】已知，且，，求的值. 易错点01忽略隐含条件导致错误 注意：利用三角函数值求值(角)的关键:①角范围的判断；②尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小 1．已知，，则 ． 2．已知角满足． (1)求和的值； (2)求的值． 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．计算下列几个式子，结果为的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则 . 13．在中，已知，是关于的方程的两个实根，则 . 14．已知，且，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 16．已知，，，，求，的值. 17．已知方程（）的两根分别为、，且、，求的值. 18．已知、，且，，求. 19．（1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题19三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） （3）；（4） （5） （6） 二、二倍角公式 （1） （2） （3） 三、公式的常用变形 （1）； （2）降幂公式：；； （3）升幂公式：；；； （4）辅助角公式：，其中， 考点01两角和与差的三角函数公式的正用和逆用 【例1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D 【例2】利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. 【变式1-1】已知中，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为在中，，，所以，， 由题意可得，为锐角且， 若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾， 故，则， 故选：B 【变式1-2】已知向量，将绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标 . 【答案】 【详解】，设，则，， 设,，则， ， 故， 故答案为： 【变式1-3】已知，，则 . 【答案】 【详解】已知 ①， ②， 则得：， 即， 所以， 整理得， 所以． 故答案为： 考点02两角和差公式中角的变换问题 【例3】已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为, 所以， 所以. 故选：A. 【例4】已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：B 【变式2-1】已知都是锐角，，则 . 【答案】 【详解】因为都是锐角，， 所以，， 所以， 所以 . 故答案为：. 【变式2-2】已知，均为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，均为锐角，即，所以，， 又，， 所以，， 所以 ， 故选：B. 【变式2-3】已知，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，则，， 且，， 可得，， 又因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 考点03二倍角的三角函数公式 【例5】等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】原式． 故选：A 【例6】已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】， 所以，即，即， 由题意，所以解得满足题意， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于求得，进一步将所求式子化成关于的式子即可顺利求解. 【变式3-1】（多选）以下化简正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确； 故选：BCD 【变式3-2】已知，则 . 【答案】/ 【详解】由，得，解得或（舍）， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 则， 又，所以， 则， 两边平方得， 所以. 故选：D. 考点04给角求值 【例7】（多选）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A， ，故A正确. 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 【例8】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 故选：B． 【变式4-1】计算下列各式的值，其结果为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A， ，不合题意； 对于B，，不合题意； 对于C，由，得， 故，符合题意； 对于D， ，不合题意； 故选：C 【变式4-2】化简（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B． 【变式4-3】若，则的值是 . 【答案】 【详解】 ， 所以. 故答案为： 考点05给值求值 【例9】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， ， 所以， 故选：B 【例10】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【变式5-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，， 所以 . 故选：. 【变式5-2】若，则的值 ． 【答案】/ 【详解】， ，或， ． 故答案为：． 【变式5-3】已知， (1)求和值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以由得， 所以， 所以， 所以. （2）由（1），，， 所以， 所以. 考点06给值求角 考点07辅助角公式 【例11】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以. 故选：B. 【例12】已知，，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以，， 因为， 所以，，因此， 因为， 所以， 故答案为： 【变式6-1】设，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以 所以， 所以 因为 所以， ， 故选：B 【变式6-2】已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）因为为锐角，，可得，， 由，可得， 所以， 则， 又因为，所以，而， 可得，所以． 【变式6-3】已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 考点08三角恒等变换的综合应用 【例13】的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 【例14】已知，，则 . 【答案】/ 【详解】由，，可得， ∴，， ∴. 故答案为： 【变式7-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B 【变式7-2】化简 ． 【答案】 【详解】 ． 故答案为： 【变式7-3】若，则 . 【答案】/ 【详解】,则, 运用诱导公式. 故答案为：． 八、未命名题型 【例15】设，，，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ， ， 因为，所以. 故选：C. 【例16】已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 设， 则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角， 所以 ，设， 整理为，得（舍）或， 则，，所以. 故选：B 【变式8-1】已知为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是锐角，所以， 所以，化简得， 平方得， 所以． 故选：D． 【变式8-2】已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 【变式8-3】已知，且，，求的值. 【答案】 【详解】∵且， ∴，， ∴， 根据，，得. . 原式. 易错点01忽略隐含条件导致错误 注意：利用三角函数值求值(角)的关键:①角范围的判断；②尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小 1．已知，，则 ． 【答案】 【详解】由，得，即， 由，得，整理得， 所以. 故答案为： 2．已知角满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由，得， 所以，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，； （2）由（1）可得， 所以 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选：D 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将两边平方可得， 即，可得. 故选：C 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得； 由可得； 两式相加可得， 即，解得. 故选：B 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 则. 故选：A. 6．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则， 所以. 故选：C 7．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， ，整理得， 即，由，得， 所以. 故选：D 8．已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数给值求值，解题关键是寻找已知角与所求角的关系，综合运用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换进行求解，易错点是因忽略角的范围而导致三角函数值的符号出现错误. 二、多选题 9．计算下列几个式子，结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A，， 变形得，故A正确； 对于选项B，原式可化为，故B正确； 对于选项C，原式，故C错误； 对于选项D，原式＝＝tan 60°＝，故D正确； 故选：ABD. 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，，则. ,则A正确; ,则B正确; ,则，即，联立解得， ，则C错误； ，则，则. ，故D正确. 故选：ABD. 11．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】， 即，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 故或，解得或， 经检验，均满足要求. 故选：AC 三、填空题 12．已知，则 . 【答案】 【详解】因为，即 所以， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 13．在中，已知，是关于的方程的两个实根，则 . 【答案】 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 所以，，因为， 因为，所以， 故答案为： 14．已知，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 则，所以， 又，所以，， 则， 当且仅当，即时取等号， 又，所以的最大值为． 故答案为：. 四、解答题 15．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得. （2）， 而，所以， 所以， ， 所以. 16．已知，，，，求，的值. 【答案】，. 【详解】∵，，∴. ∵，，∴， ∴， . 17．已知方程（）的两根分别为、，且、，求的值. 【答案】 【详解】依题意，，， 则， 所以 . 18．已知、，且，，求. 【答案】 【详解】由，得，即， 由，得， 两式平方相加得，即， 则，又，于是， 因此 ，由，得， 所以. 19．（1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 【答案】（1）.（2）. 【详解】（1），， ，， ，， . 故答案为：. （2）， ，即， ，又， ， ，即. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$