3.1 等量关系和方程课件-2024—2025学年湘教版数学七年级上册

2024年秋季 数学 湘教版（2024） 七年级上册 第3章 一次方程（组） 3.1 等量关系和方程 2 学习目标 1. 理解方程、一元一次方程及方程的解的概念. 2. 会根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程.（重点、难点） 3 思考 新课导入 （1）为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得一分.若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分.问：其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？ （2）如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2. 其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？ 4 （1）中蕴含以下等量关系： 胜的场数得分+输的场数得分=总得分. （2）中蕴含以下等量关系： （长×宽+宽×高+长×高）×2=表面积. 前面已经学习了用字母表示数，这启发我们，可以先将问题中的未知量用字母表示，然后再探索解决办法. 对于（1），设该队胜了x场，则该队输了（14-x）场.又由于胜一场得2分，输一场得1分，总共得了26分，因此可得以下等式： 2x +（14-x） = 26. 6 对于（2），若设包装盒的底面宽是y m，则根据题意可得以下等式： （1.2×y+y×1+1.2×1）×2 = 6.8， 即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8. 7 等式2x +（14-x） = 26，2.4y + 2y + 2.4= 6.8中的x，y叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 归纳 2.4y + 2y + 2.4 = 6.8 已知数 未知数 2x +（14-x） = 26 已知数 未知数 方程2x +（14-x） = 26， 2.4y + 2y + 2.4= 6.8中，每个方程含有几个未知数？每个未知数的次数是多少？ 说一说 像方程2x +（14-x） = 26，2.4y + 2y + 2.4= 6.8这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程． 2x +（14-x） = 26有一个未知数，次数是1. 2.4y + 2y + 2.4= 6.8有一个未知数，次数是1. 9 （2）方程中只有一个未知数； （3）未知数的次数是1. 判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件： （1）等号两边都是整式； 归纳 判断下列各式是不是一元一次方程. ①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1； ⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦ ；⑧πx＝12. 解：①未知数的指数是1，所以不是；④含有2个未知数，所以不是； ⑤不是等式，所以不是；⑦未知数指数不是1，所以不是. 注意：⑥2x²-2（x²-x）=1，可化简为2x=1，所以⑥是一元一次方程. 补充练习 √ √ √ √ 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作. 成书于公元400年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有几只鸡和兔？ 做一做 上述趣题中存在以下等量关系: (1)兔的只数十鸡的只数=35; (2)兔的脚数+鸡的脚数=94. 设兔有x只，则鸡有(35-x)只. 由于每只兔有4只脚，每只鸡有2只脚，并且笼子里总共有94只脚， 因此，可得如下一元一次方程:4x+2(35-x)=94.③ 将方程③左边的多项式整理得4x+2(35-x)=4x+(70-2x)=2x+70， 从而方程③变成2x+70=94.④ 把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值. 如何找到一个数，使方程④左、右两边多项式的值相等? 对于方程④，就是要找出一个数，使得它的2倍与70的和等于94.根据方程④中x的实际意义可知，这个数一定是正整数. 议一议 估计x的值 方程④左边的值 与方程④右边的值94比较 第1次估算 10 90 小了 第2次估算 15 100 大了 第3次估算 13 96 大了 第4次估算 12 94 相等 第5次估算 11 92 小了 因此，只有一个数12符合条件. 对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解.习惯上记作x=c. 由上可知，12是方程④的唯一解，于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只. 例 例题讲解 分别检验x的值是否是方程2.5x+318=1 068的解. （1）x=300； （2）x=330. 解：（1）把x用300代入原方程得， 左边=2.5×300+318=1 068， 左边=右边， 所以x=300是方程2.5x+318=1 068的解. 16 例 分别检验x的值是否是方程2.5x+318=1 068的解. （1）x=300； （2）x=330. （2）把x用330代入原方程得， 左边=2.5×330+318=1 143， 左边≠右边， 所以x=330不是方程2.5x+318=1 068的解. 判断方程解的三个步骤： (1)代：把所给未知数的值分别代入方程等号的左右两边. (2)算：计算等号的左右两边的值. (3)判：若左边=右边，则是方程的解；若左边≠右边，则不是方程的解. 总结 补充练习 1.已知九年级某班30名学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则下面所列方程正确的是(　　) A．2x＋3(72－x)＝30 B．3x＋2(72－x)＝30 C．2x＋3(30－x)＝72 D．3x＋2(30－x)＝72 2. 根据下列条件能列出方程的是(　　) A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的15% D．一个数的5倍是18 D D 19 3.已知关于 x 的一元一次方程2(x-1)+3a=3的解为4，则 a 的值是( ) A.-1 B.1 C.-2 D.-3 解析：将x=4代入2(x-1)+3a=3，得2×3+3a=3，解得a= -1. A 技巧点拨：根据方程的解的定义求有关字母的值时，通常先将解代入方程中，得到关于字母的方程，求解即可得到这个字母的值. 4.下列方程是一元一次方程的是（ ） A.-2=0 B.2x=1 C.x+2y=5 D.x2-1=2x B 5.x=5是下列方程的解吗？ （1）2x+(15-x)=10； （2）4x²-12x+5=9x. 不是 是 6.（分类讨论题）若方程3-3x²+2x-2=0是关于x的一元一次方程，求n²-n+1的值. 课堂小结 建立一元一次方程模型 方程的有关概念 一元一次方程的概念 建立一元一次方程模型 设字母表示数 把其他部分的量也用字母表示出来 找等量关系，列出方程 方程的概念 方程的解概念 23 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 24 谢谢！同学们再见！ $$