精品解析：河北省邢台经济开发区思源教育集团2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

九年级数学试题（冀教版） 说明：1．本试卷共6页，满分120分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列条件中，能确定一个圆的是（ ） A. 以点为圆心 B. 以长为半径 C. 以点为圆心，长为半径 D. 经过已知点 2. 下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（ ） A B. C. D. 3. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 某斜坡的坡度，则它的坡角是（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ） A. 18 B. 12 C. 6 D. 4 7. 把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（ ） A 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（　　） A. v＝ B. v+t＝480 C. v＝ D. v＝ 9. 已知从点B观测热气球A的俯角为，从点C观测热气球A的仰角为，则两条视线的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加某区“十九届六中全会”为主题的演讲比赛的相关数据：根据表中数据，从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，则可以判断a、b的值可能是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 80 90 80 方差 2．2 5．4 2．4 A. 95，6 B. 95，2 C. 85，2 D. 85，6 11. 以O为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交弧于点E，如果点E所对应的量角器上的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ） A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤ 13. 某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个根是x＝1 D. 不存在实数根 14. 已知在正六边形中，G是的中点，连接并延长交的延长线于点H，若的面积为6，则五边形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 6 二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共12分） 15. 用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是____________，一元二次方程的解是____________． 16. 如图为某学校学生年龄分布情况扇形统计图，根据统计图，解决下列问题： （1）____________； （2）该学校学生的平均年龄为____________岁． 17. 如图，是一张直角三角形彩色纸，，于点D． ①______； ②将斜边上的高进行五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是_______． 三、解答题（本大题共7个小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 如图，某海域以点A为圆心、为半径圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 19. 如图，是高，若，，． （1）求边的长； （2）求的值． 20. 数轴上，A、B、C分别表示数为-3、5、7． （1）求这个三个数的平均数； （2）添加一个点D，若这四个点的表示的数组成一组数据，且这组数据唯一的众数与中位数相等，求点D表示的数． 21. 规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点．如图，点，点在反比例函数的图象上． （1）_______； （2）已知，过点，点作直线交双曲线于点E，连接．若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围为________． 22. 水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售． （1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 　斤． （2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）； （3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 23. 如图1，在中，，，，点M是边上的动点（不与A、B重合），于点Q，，交于点N，连接． （1）求证：； （2）若点M为的中点（如图2），求的长； （3）若四边形为平行四边形（如图3），求的长． 24. 如图1所示，在矩形中，，，点D是射线上一动点，以为半径作． （1）连接交于点E，连接，当的中点在上时，求的长； （2）如图2所示，当与边相切时，设与交于点F，求劣弧的长； （3）连接，若与两条边同时相交，请直接写出取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题（冀教版） 说明：1．本试卷共6页，满分120分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列条件中，能确定一个圆的是（ ） A. 以点为圆心 B. 以长为半径 C. 以点为圆心，长为半径 D. 经过已知点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆； B、只确定圆的半径，不可以确定圆； C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆； D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆； 故选：C． 2. 下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别找出各选项的一次项系数，进行判断即可． 【详解】解：A、的一次项系数为3，符合题意； B、的一次项系数为0，不符合题意； C、的一次项系数为，不符合题意； D、的一次项系数为2，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次项系数；解决问题的关键是掌握一次项系数是x前面的系数，包括符号． 3. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 的取值可以是3， 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键． 4. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例式性质，即可得到答案． 【详解】可得，所以A选项符合题意； 可得，所以B选项不符合题意； 可得，所以C选项不符合题意； 可得，所以D选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键． 5. 某斜坡的坡度，则它的坡角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坡度坡角问题，以及特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．根据坡角和坡度的概念，得，再有特殊角的三角函数值求得即可． 【详解】解：设直角为， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ） A. 18 B. 12 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，进行求解即可． 【详解】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为， 则：， 圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍后，面积变为：， ∴这个扇形的面积将扩大为原来的18倍； 故选A． 【点睛】本题考查扇形的面积．熟记扇形的面积公式是解题的关键． 7. 把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 8. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（　　） A. v＝ B. v+t＝480 C. v＝ D. v＝ 【答案】A 【解析】 【分析】先求得路程,再由等量关系“速度=路程时间”列出关系式即可. 【详解】解:由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地,那么路程为806=480千米,汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系为v=, 所以A选项是正确的. 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用,重点是找出题中的等量关系. 9. 已知从点B观测热气球A的俯角为，从点C观测热气球A的仰角为，则两条视线的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，，过点A作，即可得出，，即可得出的度数． 【详解】解：由题可知，，，，过点A作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了仰角、俯角的概念，以及平行线的性质，熟练掌握仰角、俯角的概念是本题的关键． 10. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加某区“十九届六中全会”为主题的演讲比赛的相关数据：根据表中数据，从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，则可以判断a、b的值可能是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 80 90 80 方差 2．2 5．4 2．4 A. 95，6 B. 95，2 C. 85，2 D. 85，6 【答案】B 【解析】 【分析】平均成绩越高的越优秀，方差越低的成绩越稳定，根据需求选择即可． 【详解】解：从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，说明甲的平均成绩最高且方差最低． 故选B． 【点睛】本题主要考查利用平均数及方差做选择，能够熟练运用方差和平均数分析数据是解题关键． 11. 以O为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交弧于点E，如果点E所对应的量角器上的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由直角三角板判断点C在圆周上，点E所对应的量角器上的读数为，结合圆周角定理即可求出 【详解】连接， 是直角三角板， 故点C在圆周上， 点E所对应的量角器上的读数为， 即 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角定理；解题的关键确定点C在圆周上． 12. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ） A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可． 【详解】解：① ② ∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误； 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的解题步骤是解题的关键． 13. 某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个根是x＝1 D. 不存在实数根 【答案】A 【解析】 【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程根据根的判别式分析即可． 【详解】∵x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根， 1+8﹣c＝0，解得c＝9， ∴原方程x2－8x＋9＝0， ∵＝（﹣8）2－4×9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，根的情况由来判别，当＞0时，方程有两个不相等的实数根，当＝0时，方程有两个相等的实数根，当＜0时，方程没有实数根． 14. 已知在正六边形中，G是的中点，连接并延长交的延长线于点H，若的面积为6，则五边形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取中点O，连接根据已知可求得，依据的面积为6求得，结合中线平分面积可得，从而求出结果． 【详解】解：连接，取中点O，连接， 在正六边形中， ， ∴， ∵G是的中点， ∴， ， ∴， ， ∵O是中点， ， ∵G是的中点， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的判定和性质、中线平分面积；解决问题的关键是构造全等三角形，利用中线求三角形的面积． 二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共12分） 15. 用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是____________，一元二次方程的解是____________． 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】根据，方程可以分解成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是，解这两个一元一次方程即可得一元二次方程的解． 【详解】解：∵， ∴要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是； 由得，由得， 故一元二次方程的解是，， 故答案为：；， 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 16. 如图为某学校学生年龄分布情况扇形统计图，根据统计图，解决下列问题： （1）____________； （2）该学校学生的平均年龄为____________岁． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】直接用1减去12、13、15、16岁的百分比即可得出m的值；利用各年龄所占百分比即可得出平均年龄． 【详解】解：由题意：， 所以30； 该学校学生的平均年龄 ； 故答案为：30；． 【点睛】本题考查扇形统计图，平均数等知识点，属于基础题，能读懂扇形统计图并会计算平均数是解题的关键． 17. 如图，是一张直角三角形彩色纸，，于点D． ①______； ②将斜边上的高进行五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是_______． 【答案】 ①. 24cm ②. 480cm2 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=50cm，再利用面积法可计算出CD=24cm； （2）如图，先证明△CEF∽△CAB，由于斜边上的高CD被五等分，所以，则EF=×50=10，同理可得MN= AB=20，PQ=AB=30，GH= AB=40，然后根据矩形的面积公式计算． 【详解】解：（1），cm，cm， cm， ， cm； （2）如图，， ， ， ， 同样方法可得， ， ， 这4张纸条的面积和cm2． 故答案为：24cm，480cm2． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，然后利用三角形相似，对应边成比例计算相应线段的长． 三、解答题（本大题共7个小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【答案】到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【解析】 【分析】先根据题意求出的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由， 知到之间，渔船是安全；渔船进入危险区域 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 19. 如图，是的高，若，，． （1）求边的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据即可求出边的长； （2）先用勾股定理求出的长，即可求出的值． 【小问1详解】 解：在中， ∵，， ∴ 【小问2详解】 ∵，， ∴； 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查三角函数、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识是解题的关键． 20. 数轴上，A、B、C分别表示数为-3、5、7． （1）求这个三个数的平均数； （2）添加一个点D，若这四个点的表示的数组成一组数据，且这组数据唯一的众数与中位数相等，求点D表示的数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式带入求解即可； （2）点D表示的数为x，因为这四个点的表示数有唯一众数，所以是或5或7 分情况讨论即可． 【小问1详解】 由题意得， 这三个数的平均数为 【小问2详解】 设点D表示的数为x 因为这四个点的表示数有唯一众数，所以是或5或7 当时，这组数为、、5、7的中位数是1，众数为，不符合题意； 当时，这组数为、5、5、7的中位数为5，和众数相等，符合题意； 当时，这组数为、5、7、7的中位数为6，众数为7，不符合题意。 所以的值为5． 【点睛】本题考查了平均数和众数；熟练掌握相关概念是解题的关键． 21. 规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点．如图，点，点在反比例函数的图象上． （1）_______； （2）已知，过点，点作直线交双曲线于点E，连接．若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键； （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后代入即可求得的值； （2）求得直线为，根据题意阴影区域（不包括边界）内4个整点为，，，，求得直线过点和点时的的值，根据图象即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）点，在反比例函数的图象上， ， ，， 故答案为：4； （2）点、点，设直线的解析式为 ∴，解得： 直线为， 由，可知，阴影区域（不包括边界）内4个整点为，，，， 把代入得，解得， 把代入得，解得， 若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则的取值范围为． 故答案为：． 22. 水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售． （1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 　斤． （2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）； （3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 【答案】（1）200 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列出一元二次方程解方程求解即可，根据每天至少售出280斤取舍最后的结果即可 【小问1详解】 根据题意，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤， 则每斤售价降低0.5元，每天可多售出20（斤）， 每天的销售量是（斤） 故答案为：200 【小问2详解】 若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 故答案为： 【小问3详解】 设若每斤售价降低x元，根据题意得： 解得 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， （元） 则售价为3元 答：水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为3元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意列出代数式和一元二次方程是解题的关键． 23. 如图1，在中，，，，点M是边上的动点（不与A、B重合），于点Q，，交于点N，连接． （1）求证：； （2）若点M为的中点（如图2），求的长； （3）若四边形为平行四边形（如图3），求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，根据，得到，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长度，利用中点得到，证明，利用对应边对应成比例，列式求解即可； （3）证明，得到，求出关系，再利用 ，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵点M为的中点，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质．解题的关键是证明三角形相似． 24. 如图1所示，在矩形中，，，点D是射线上一动点，以为半径作． （1）连接交于点E，连接，当中点在上时，求的长； （2）如图2所示，当与边相切时，设与交于点F，求劣弧的长； （3）连接，若与两条边同时相交，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则，则四边形是矩形，由，得到即可求出的长； （2）连接，与相切证得，在中，即圆心角，代入弧长公式即可求解； （3）找到与两条边同时相交，分别计算求出的取值范围． 【小问1详解】 如图，连接，则， ∵的中点在上， ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， ∴即， ∴ 【小问2详解】 如图2，连接， ∵与相切，， ∴点A为切点，所以此时点A与D点的重合，则， 又∵，在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴劣弧 【小问3详解】 如解图③，当经过点C时，， 又 如解图④，当经过点B时，， 在中， 综上所述，当时，与的两边同时相交． 【点睛】本题考查相似三角形，矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$