江苏省南通市第一中学2024-2025学年高三上学期7月周练三数学试题

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第 1页,共 4页 高三数学 (20240731) 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.下列条件中,使得“� > �”成立的充分不必要条件是( ) A. |�| > |�| B. 1� > 1 � C. � 2 > �2 D. ln� > ln� 2.已知定义域为�的函数�(�)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( ) A. ∀� ∈ �,�( − �) ≠ �(�) B. ∀� ∈ �,�( − �) ≠− �(�) C. ∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠ �(�0) D. ∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠− �(�0) 3.设集合�,�,�满足� ∪ ∁�� = � ∪ ∁��,则( ) A. � = � B. � ∩ � = � ∩ � C. � ∩ ∁�� = � ∩ ∁�� D. � ∩ ∁�� = � ∩ ∁�� 4.函数�(�) = 7 + 2�� − �2在区间[ − 1,1]上单调递减,则�的取值范围为( ) A. � ≤− 1 B. � <− 1 C. −3 ≤ � ≤− 1 D. −3 < � <− 1 5.已知关于�的不等式��2 + �� + � ≥ 0 的解集为 −1,2 ,则��+���−� ≥ 0 的解集为( ) A. ( 12 , 1) B. 1 2 , 1 C. −1, − 1 2 D. −1, 1 2 6.已知� > 0,� > 0,2� + � = ��,则 2��−1 + � �−2的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 4 2 D. 3 + 2 2 7. 四棱锥� − ����的顶点均在球�的球面上,底面����为矩形,平面��� ⊥平面����, �� = 5,�� = �� = 1,�� = 2,则�到平面���的距离为( ) A. 13 B. 1 4 C. 2 4 D. 5 8 第 2页,共 4页 8. 在平面直角坐标系中,定义�(�, �) = ���{|�1 − �2|, |�1 − �2|}为两点� �1, �1 , � �2, �2 的 “切比雪夫距离”,又设点�及�上任意一点�,称� �, � 的最小值为点�到直线�的“切比雪夫 距离”记作� �, � ,给出下列四个命题: ①对任意三点�, �, �,都有� �, � + � �, � ≥ � �, � ; ②已知点�(3,1)和直线�: 2� − � − 1 = 0,则� �, � = 43; ③到原点的“切比雪夫距离”等于 1 的点的轨迹是正方形; 其中真命题的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.下列说法中正确为( ) A.已知函数�(�) = 2�2 − �� + 3,若∀� ∈ �,有�(1 − �) = �(1 + �)成立,则实数�的值为 4 B.若关于�的不等式��2 − 6�� + � + 8⩾0 恒成立,则�的取值范围为 0 < �⩽1 C.设集合� = {1,2}, � = {�2},则“� = 1”是“� ⊆ �”的充分不必要条件 D.函数�(�) = |�|与函数�(�) = ( �)2是同一个函数 10. 已知�,� > 0,� + �2 = 1,则下列选项一定正确的是( ) A. 3�−� > 13 B. � � ≤ 1 2 C. � + � < 2 D. �� ≤ 2 3 9 11.如图,正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 2,�,�是线段�1�1上的两个动点,且�� = 1, �是��的中点,则下列结论中正确的是( ) A.三棱锥�1 − ���的体积为定值 B. �1� ⊥平面��� C.在线段��上存在一点�,使得�1�//平面��� D.平面���截正方体的外接球的截面面积为139 � 第 3页,共 4页 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12.命题�: ∀� > 0,�� > 1,则命题�的否定是 . 13.已知函数�(�) = 2�� − 1,�(�) =− �2 + 2� + 1,若对任意的�1 ∈ [ − 1,1],总存在�2 ∈ [0,2], 使得�(�1) < �(�2)成立,则实数�的取值范围为 . 14.若关于�的不等式 2��2 − 4� < �� − 2 只有一个整数解,则实数�的取值范围是 . 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题 13 分) 已知集合� = {2,6}. (1)若集合� = � + 1, �2 − 23 ,且� = �,求实数�的值; (2)若集合� = �∣��2 − � + 6 = 0 ,且�与�有包含关系,求实数�的取值范围. 16.(本小题 15 分) 已知函数� � = ��+�1+�2是定义在 −1,1 上的奇函数,且� 1 2 = 2 5. (1)确定函数� � 的解析式; (2)用定义证明� � 在 −1,1 上是增函数: (3)解关于�的不等式� � − 1 + � � < 0. 17.(本小题 15 分) 已知函数�(�) = �2 + �� + 2,� ∈ �. (1)若对于任意� ∈ [ − 1,1],不等式�(�)⩽2�(� − 1) + 4 恒成立,求实数�的取值范围; (2)已知�(�) =− � + �,当� =− 3 时,若对任意�1 ∈ [1,4],总存在�2 ∈ (1,8),使 � �1 = � �2 成立,求实数�的取值范围. 第 4页,共 4页 18.(本小题 17 分) 如图,已知四棱锥� − ����的底面为矩形,�� = �� = 2,�� = 2 2,�是��的中点, �� ⊥平面����. (1)求证:�� ⊥平面���; (2)设平面���与平面���的交线为 �. ①求证:�//��; ②求�与平面���所成角的大小. 19.(本小题 17 分) 定义在�上的函数�(�),若满足:对任意� ∈ �,存在常数� > 0,都有|�(�)| ≤ �成立,则称�(�) 是�上的有界函数,其中�称为函数�(�)的上界. (1)设� � = ��+1,判断� � 在 − 1 2 , 1 2 上是否是有界函数,若是,说明理由,并写出� � 所有 上界的值的集合;若不是,也请说明理由. (2)若函数�(�) = 1 + � ⋅ ( 13 ) � + ( 19 ) �在[0, + ∞)上是以 4 为上界的有界函数,求实数�的取值 范围. 第 1页,共 11页 参考答案 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列条件中,使得“� > �”成立的充分不必要条件是( ) A. |�| > |�| B. 1� > 1 � C. � 2 > �2 D. ln� > ln� 【答案】D 解:�. |�| > |�|,� > �不一定成立,例如取� =− 2,� = 1,因此不符合题意; B.1� > 1 �,� > �不一定成立,例如取� = 1,� = 2,因此不符合题意; C.�2 > �2,� > �不一定成立,例如取� =− 2,� = 1,因此不符合题意; D.��� > ��� ⇒ � > � > 0 ⇒ � > �,因此使� > �成立的充分不必要条件是��� > ���.故选:�. 2.已知定义域为�的函数�(�)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( ) A. ∀� ∈ �,�( − �) ≠ �(�) B. ∀� ∈ �,�( − �) ≠− �(�) C. ∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠ �(�0) D. ∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠− �(�0) 【答案】C 解:若�(�) = 2�, � ≥ 0,2, � < 0, 则有�( − 1) = �(1),∴全称命题“∀� ∈ �,�( − �) ≠ �(�)”为假命题; 若�(�) = 2�, � ≥ 0,−2, � < 0,则有�( − 1) =− �(1),∴全称命题“∀� ∈ �,�( − �) ≠− �(�)”为假命题; 特称命题“∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠ �(�0)”的否定为全称命题“∀� ∈ �,�( − �) = �(�)”,此时�(�)为偶函数, 与已知矛盾,∴全称命题为假命题,∴特称命题为真命题; 特称命题“∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠− �(�0)”的否定为全称命题“∀� ∈ �,�( − �) =− �(�)”,当函数�(�)是 定义在�上的非奇非偶函数时,全称命题为假命题,此时特称命题为真命题;当函数�(�)是定义在�上的奇 函数时,全称命题为真命题,此时特称命题为假命题.故选 C. 3.设集合�,�,�满足� ∪ ∁�� = � ∪ ∁��,则( ) A. � = � B. � ∩ � = � ∩ � C. � ∩ ∁�� = � ∩ ∁�� D. � ∩ ∁�� = � ∩ ∁�� 【答案】D 解:当� = {1,2,3},∁�� = 1,∁�� = {2}满足� ∪ ∁�� = � ∪ ∁��,但不满足选项 A,�,�; 根据题意,∁�(� ∪ ∁��) = � ∩ ∁��,∁�(� ∪ ∁��) = � ∩ ∁��, 若� ∪ ∁�� = � ∪ ∁��,则∁�(� ∪ ∁��) = ∁�(� ∪ ∁��),即� ∩ ∁�� = � ∩ ∁��, 故选:�. 第 2页,共 11页 4.函数�(�) = 7 + 2�� − �2在区间[ − 1,1]上单调递减,则�的取值范围为( ) A. � ≤− 1 B. � <− 1 C. −3 ≤ � ≤− 1 D. −3 < � <− 1 【答案】C 解:令 � � = 7 + 2�� − �2 ,则 � � = �,由题意可得 � � = 7 + 2�� − �2 需满足在区间 −1,1 上单调 递减,且 � � min ≥ 0,而 � � = 7 + 2�� − �2 的图象开口向下,对称轴为 � = �, 故 � ≤− 1且 � 1 = 6 + 2� ≥ 0,即 −3 ≤ � ≤− 1,故选 C. 5.已知关于�的不等式��2 + �� + � ≥ 0 的解集为 −1,2 ,则��+���−� ≥ 0 的解集为( ) A. ( 12 , 1) B. 1 2 , 1 C. −1, − 1 2 D. −1, 1 2 【答案】B 解:∵关于�的不等式��2 + �� + � ≥ 0 的解集为[ − 1,2],∴− 1 和 2 是方程��2 + �� + � = 0 的两个根, 且� < 0,∴ −1 + 2 =− �� −1 × 2 = �� ,解得 � =− � � =− 2�,∴不等式 ��+� ��−� ≥ 0 可化为, ��−� −2��+� ≥ 0,即 �−1 2�−1 ≤ 0, 转化为(� − 1)(2� − 1) ≤ 0,且 2� − 1 ≠ 0,解得12 < � ≤ 1,即不等式 ��+� ��−� ≥ 0 的解集为( 1 2 , 1].故选:�. 6.已知� > 0,� > 0,2� + � = ��,则 2��−1+ � �−2的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 4 2 D. 3 + 2 2 【答案】D 解:由 2� + � = ��得,� = 2��−1,� = � �−2,且 1 �+ 2 � = 1,因为� > 0,� > 0,所以� − 1 > 0, 所以 2� �−1 + � �−2 = � + � = (� + �)( 1 �+ 2 � ) = 3 + � � + 2� � ⩾3 + 2 � � · 2� � = 3 + 2 2,当且仅当� = 2�时等号 成立.故选�. 7.四棱锥� − ����的顶点均在球�的球面上,底面����为矩形,平面��� ⊥平面����,�� = 5,�� = �� = 1,�� = 2,则�到平面���的距离为( ) A. 13 B. 1 4 C. 2 4 D. 5 8 【答案】A 解:取��中点�,在△���中,��2 + ��2 = ��2,所以�� ⊥ ��,则�� = 12�� = 5 2 , 连接��,��交于点�,则�� = �� = �� = �� = 5+12 = 6 2 ,又因为�为��的中点, 故�� = 12,�� = 5 2 ,因为平面��� ⊥平面����,�� ⊥ ��,�� ⊂平面����,平面���⋂平面���� = ��, 第 3页,共 11页 所以�� ⊥平面���,因为�� ⊂平面���,所以�� ⊥ ��,则�� = ��2 + ��2 = 62 , 所以�为四棱锥� − ����外接球的球心,外接球的半径� = 62 . 因为平面��� ⊥平面����,�� ⊥ ��,�� ⊂平面����,平面���⋂平面���� = ��, 所以�� ⊥平面���,又�� ⊂平面���,所以�� ⊥ ��,所以�� = ��2 + ��2 = 5, 同理可得�� = ��2 + ��2 = 2,则�△��� = 1 2 × 2 × 5 − 2 2 2 = 32,�△��� = 1 2 × 1 2 × 5 = 5 4 , 在平面���内作�� ⊥ ��与�,则�� ⊥平面����,�� = ��·���� = 2 5 5 ,设�到平面���的距离为�, 由��−��� = ��−���,得 1 3 × 3 2� = 1 3 × 5 4 × 2 5 5 ,解得� = 1 3.故选 A. 8. 在平面直角坐标系中,定义�(�, �) = ���{|�1 − �2|, |�1 − �2|}为两点� �1, �1 , � �2, �2 的“切比雪夫距 离”,又设点�及�上任意一点�,称� �, � 的最小值为点�到直线�的“切比雪夫距离”记作� �, � ,给出下列 四个命题: ①对任意三点�, �, �,都有� �, � + � �, � ≥ � �, � ; ②已知点�(3,1)和直线�: 2� − � − 1 = 0,则� �, � = 43; ③到原点的“切比雪夫距离”等于 1 的点的轨迹是正方形; 其中真命题的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】D 解:①对任意三点�、�、�,设�(�1, �1)、�(�2, �2),�(�3, �3), 若它们共线,如图,结合三角形的相似可得�(�, �),�(�, �),�(�, �) 为��,��,��,或��,��,��, 则�(�, �) + �(�, �) = �(�, �); 若�,�或�,�对调,可得�(�, �) + �(�, �) > �(�, �); 若�,�,�不共线,且三角形中�为锐角或钝角, 由矩形����或矩形����,�(�, �) + �(�, �) ≥ �(�, �); 若三角形中�为直角,�(�, �) + �(�, �) > �(�, �), 则对任意的三点�,�,�,都有�(�, �) + �(�, �) ≥ �(�, �); 故①正确; 第 4页,共 11页 ②设点�是直线� = 2� − 1 上一点,且�(�, 2� − 1), 可得�(�, �) = ���{|� − 3|,|2 − 2�|},由|� − 3| ≥ |2 − 2�|,解得−1 ≤ � ≤ 53,即有�(�, �) = |� − 3|, 此时�(�, �) ∈ [ 43 , 4],由|� − 3| < |2 − 2�|,解得� > 5 3或� <− 1,即有�(�, �) = |2� − 2|, 此时�(�, �)的范围是(4, + ∞) ∪ ( 43 , + ∞) = ( 4 3 , + ∞),无最值, 综上可得,�,�两点的“切比雪夫距离”的最小值为43,故②正确; ③设到原点的“切比雪夫距离”等于 1 的点为�(�, �),���{|� − 0|, |� − 0|} = 1,即���{|�|, |�|} = 1, 当|�| ≥ |�|时,则���{|�|, |�|} = |�| = 1;当|�| < |�|时,则���{|�|, |�|} = |�| = 1;所求轨迹是正方形, 故③正确;故选 D. 二、多选题:本题共 3 小题,共 15 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.下列说法中正确为( ) A.已知函数�(�) = 2�2 − �� + 3,若∀� ∈ �,有�(1 − �) = �(1 + �)成立,则实数�的值为 4 B.若关于�的不等式��2 − 6�� + � + 8⩾0 恒成立,则�的取值范围为 0 < �⩽1 C.设集合� = {1,2}, � = {�2},则“� = 1”是“� ⊆ �”的充分不必要条件 D.函数�(�) = |�|与函数�(�) = ( �)2是同一个函数 【答案】AC 解:对于�,由�(1 − �) = �(1 + �)成立,可得函数�(�)的图象的对称轴为� = 1,又二次函数�(�)的图象的 对称轴为 � 4,所以 � 4 = 1,解得� = 4,故 A 正确; 对于�,当� = 0 时,可得 8⩾0 成立,满足题意;当� ≠ 0 时,由� = ( − 6�)2 − 4 ⋅ � ⋅ (� + 8)⩽0 且� > 0, 解得 0 < �⩽1;故�的取值范围为[0,1],故 B 错误; 对于�,当� = 1 时,� = {1},此时� ⊆ �,故充分性成立;若� ⊆ �,则�2 = 1 或�2 = 2,解得� =± 1 或� =± 2,故必要性不成立;所以“� = 1”是“� ⊆ �”的充分不必要条件,故 C 正确; 对于�:函数�(�) = |�|的定义域为�,函数�(�) = ( �)2的定义域为[0, + ∞),定义域不同,故不是同一函数, 故 D 错误.故选:��. 10. 已知�,� > 0,� + �2 = 1,则下列选项一定正确的是( ) A. 3�−� > 13 B. � � ≤ 1 2 C. � + � < 2 D. �� ≤ 2 3 9 【答案】ABD 第 5页,共 11页 解:因为 �, � > 0, � + �2 = 1,所以 � = 1 − �2 > 0,所以 0 < � < 1,0 < � < 1. 对于�:由 0 < � < 1, 0 < � < 1 可得 −1 < � − � < 1,所以 3�−� > 3−1 = 13,故 A 正确; 对于�: � � ≤ � 2+� 2 = 1 2,当且仅当� = �,即� = 1 2时等号成立,所以� �的最大值为 1 2,故 B 正确; 对于�: �+�2 ⩽ ( �)2+�2 2 = 2 2 ,所以 � + � ≤ 2,当且仅当� = �,即� = 1 2时等号成立,故 C 错误; 对于�:因为�� = � 1 − �2 ,令 � = � 1 − �2 ,求导可得:�' = 1 − 3�2,令�' = 0 可得 � = 33 , 当 0 < � < 33 时,� ' > 0,函数单调递增;当 33 < � < 1 时,� ' < 0,函数单调递减, 所以当� = 33 时,取到最大值为 2 3 9 ,所以��⩽ 2 3 9 ,故 D 正确.故选 ABD. 11.如图,正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 2,�,�是线段�1�1上的两个动点,且�� = 1,�是��的中点, 则下列结论中正确的是( ) A.三棱锥�1 − ���的体积为定值 B. �1� ⊥平面��� C.在线段��上存在一点�,使得�1�/​ /平面��� D.平面���截正方体的外接球的截面面积为139 � 【答案】AC 解:�选项,因为��1−��� = ��−�1�� = 1 3 ·��1��·��1 = 1 3 · 1 2 ·1· 2·2 = 2 3 ,所以�选项正确; 以点�为空间原点,以��,��,��1所在直线分别为�,�,�轴,建立空间直角坐标系, 则�(1,2,0),令�(�, 2 − �, 2),�(� − 22 , 2 + 2 2 − �, 2),所以�� = ( − 22 , 2 2 , 0), �� = (1 − �, �, − 2),�1� = −2, − 2, − 2 ,因为�1� ⋅ �� = 2 ≠ 0,所以�选项不正确; 令平面���的一个法向量为� = (�, �, �),则 � ·�� = 0 � ·�� = 0 , ⇒ − 2 2 � + 2 2 � = 0 1 − � � + �� − 2� = 0 ,令� = � = 1, 所以� = (1,1, 12 ),令� ��, 0,0 , �1 0,0,2 ,因为�1� = ��, 0, − 2 ,�1� ·� = ��, 0, − 2 · 1,1, 1 2 = �� − 1 = 0,解得�� = 1,所以点�为��中点时,�1�//平面���,�选项正确. 令正方体的外接球的球心坐标为�(1,1,1),正方体外接球的半径为 4+4+42 = 3,所以点�到平面���的距 离为� = �� ·� � = 1 2 9 4 = 13,所以平面���截正方体的外接球的截面面积为�( 3 − 1 9) 2 = 26�9 . 所以�选项错误.故选:��. 第 6页,共 11页 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12.命题�: ∀� > 0,�� > 1,则命题�的否定是 . 【答案】∃�0 > 0,��0⩽1 13.已知函数�(�) = 2�� − 1,�(�) =− �2 + 2� + 1,若对任意的�1 ∈ [ − 1,1],总存在�2 ∈ [0,2],使得�(�1) < �(�2)成立,则实数�的取值范围为 . 【答案】( − 32 , 3 2 ) 解:因为对任意的�1 ∈ [ − 1,1],总存在与�2 ∈ [0,2],使得�(�1) < �(�2)成立,所以�(�)max < �(�)max, �(�) =− �2 + 2� + 1 =− (� − 1)2 + 2,对称轴为� = 1,因为� ∈ [0,2],所以当� = 1 时,�(�)max = �(1) = 2, 当� > 0 时,函数�(�) = 2�� − 1 在 −1,1 上单调递增,所以�(�)max = �(1) = 2� − 1, 所以 2� − 1 < 2,解得 0 < � < 32; 当� = 0 时,函数�(�) =− 1 在 −1,1 上为常数函数,满足�(�)max =− 1 < 2; 当� < 0 时,函数�(�) = 2�� − 1 在 −1,1 上单调递减,所以�(�)max = �( − 1) =− 2� − 1, 所以−2� − 1 < 2,解得− 32 < � < 0; 综上,− 32 < � < 3 2,即实数�的取值范围为:( − 3 2 , 3 2 ).故答案为:( − 3 2 , 3 2 ). 14.若关于�的不等式 2��2 − 4� < �� − 2 只有一个整数解,则实数�的取值范围是 . 【答案】1 ≤ � < 2 解:2��2 − 4� < �� − 2,即 2� − 1 �� − 2 < 0, 当� = 0 时,则不等式解集为 12 , + ∞ ,不符合题意; 当� < 0 时,则不等式解集为 −∞, 2� ∪ 1 2 , + ∞ ,不符合题意; 当� > 0 时,若� = 4 时,不等式解集为⌀,不符合题意; 若 0 < � < 4 时,不等式解集为 12 , 2 � ,故只需满足 1 < 2 � ≤ 2,解得 1 ≤ � < 2; 若� > 4 时,不等式解集为 2� , 1 2 ,不合题意,综上:1 ≤ � < 2.故答案为:1 ≤ � < 2 第 7页,共 11页 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知集合� = {2,6}. (1)若集合� = � + 1, �2 − 23 ,且� = �,求实数�的值; (2)若集合� = �∣��2 − � + 6 = 0 ,且�与�有包含关系,求实数�的取值范围. 【答案】解:(1)根据题意,集合� = {2,6},而集合� = {� + 1, �2 − 23},且� = �, ① �+ 1 = 2�2 − 23 = 6,无解,② �+ 1 = 6 �2 − 23 = 2,得� = 5,故� = 5;(5 分) (2)因为集合� = {�|��2 − � + 6 = 0},且�与�有包含关系,而�中最多只有两个元素,只能是� ⊆ �, 若 2 ∈ �,则 4� + 4 = 0,� =− 1,此时� = { − 3,2},�与�无包含关系, 因为�与�有包含关系,只能是�⫋�, 若� ≠ ⌀,6 ∈ �,则� = 0 时,� = {6},符合题意,(8 分) 若� = ⌀,则 � ≠ 0△< 0,即 � ≠ 0 1 − 24� < 0,得� > 1 24,(12 分) 综上,�的取值范围为{�|� = 0 或� > 124 }.(13 分) 第 8页,共 11页 16.(本小题 15 分) 已知函数� � = ��+�1+�2是定义在 −1,1 上的奇函数,且� 1 2 = 2 5. (1)确定函数� � 的解析式; (2)用定义证明� � 在上 −1,1 是增函数: (3)解关于�的不等式� � − 1 + � � < 0. 【答案】(1)解:函数�(�) = ��+�1+�2是定义在( − 1,1)上的奇函数,则�(0) = 0,即有� = 0, 且�( 12 ) = 2 5,则 1 2� 1+14 = 25,解得,� = 1, 经检验符合题意,则函数�(�)的解析式:�(�) = �1+�2 ( − 1 < � < 1);(5 分) (2)证明:任取−1 < �1 < �2 < 1,则�(�1) − �(�2) = �1 �1 2+1 − �2 �2 2+1 = (�1−�2)(1−�1�2) (�1 2+1)(�2 2+1) , 由于−1 < �1 < �2 < 1,则�1 − �2 < 0,1 + �12 > 0,1 + �22 > 0,∵− 1 < �1�2 < 1, ∴ 1 − �1�2 > 0,∴ �(�1) − �(�2) < 0,∴ �(�)在( − 1,1)上是增函数.(10 分) (3)解:由于奇函数�(�)在( − 1,1)上是增函数,则不等式�(� − 1) + �(�) < 0, 即为�(� − 1) <− �(�) = �( − �),即有 −1 < � − 1 < 1 −1 < � < 1 � − 1 <− � ,解得 0 < � < 2 −1 < � < 1 � < 12 ,则有 0 < � < 12, 即等式� � − 1 + � � < 0 的解集为(0, 12 ).(15 分) 第 9页,共 11页 17.(本小题 15 分) 已知函数�(�) = �2 + �� + 2,� ∈ �. (1)若对于任意� ∈ [ − 1,1],不等式�(�)⩽2�(� − 1) + 4 恒成立,求实数�的取值范围; (2)已知�(�) =− � + �,当� =− 3 时,若对任意�1 ∈ [1,4],总存在�2 ∈ (1,8),使� �1 = � �2 成立,求实 数�的取值范围. 【答案】解:(1)对任意的� ∈ [ − 1,1],不等式�(�)⩽2�(� − 1) + 4 恒成立,即为�2 − �� + 2� − 2⩽0 对� ∈ [ − 1,1]恒成立,令ℎ � = �2 − �� + 2� − 2,即ℎ � ≤ 0 对� ∈ [ − 1,1]恒成立,因为函数ℎ � 开口向上, 则当且仅当 ℎ 1 ≤ 0 ℎ −1 ≤ 0 ,即 1 − � + 2� − 2 ≤ 0 1 + � + 2� − 2 ≤ 0 ,解得� ≤ 1 3,所以�的取值范围为( − ∞, 1 3 ].(6 分) (2)当� =− 3 时,�(�) = �2 − 3� + 2 的图象开口向上,对称轴为� = 32, 当� ∈ [1,4]时,�(�)min = �( 3 2 ) =− 1 4,�(�)max = �(4) = 6,即函数�(�)的值域是[ − 1 4 , 6],(8 分) 当� ∈ (1,8)时,�(�) =− � + � ∈ ( − 8 + �, − 1 + �),(10 分) 由对任意�1 ∈ [1,4],总存在�2 ∈ (1,8),使� �1 = � �2 成立,得函数� � 的值域是函数� � 的值域的 子集,(12 分)即[ − 14 , 6] ⊆ −8 + �, − 1 + � , 因此 −8+ � <− 14 −1+ � > 6 ,解得 7 < � < 314,所以�的取值范围为(7, 31 4 ). (15 分) 第 10页,共 11页 18.(本小题 17 分) 如图,已知四棱锥� − ����的底面为矩形,�� = �� = 2,�� = 2 2,�是��的中点,�� ⊥平面����. (1)求证:�� ⊥平面���; (2)设平面���与平面���的交线为�. ①求证:�//��; ②求�与平面���所成角的大小. 【答案】解:(1)证明:在 ��▵���中, tan∠��� = 22 ,在 ��▵���中, tan∠��� = 2 2 , 则∠��� = ∠���,于是 ∠��� + ∠��� = �2 ,所以�� ⊥ ��.因为�� ⊥平面����,�� ⊂平面����,则�� ⊥ ��.又 �� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���,所以�� ⊥平面���.(4 分) (2)①证明:因为 ��//��, �� ⊄平面���,�� ⊂平面���,所以 ��//平面���. 又平面��� ∩平面��� = �,�� ⊂平面���,所以 �//��.(9 分) ②解:因为 �//��,所以�与平面���所成角的正弦值等于��与平面���所成角的正弦值, 连接��,则�� ⊥ ��.易知 �� = ��2 + ��2 = 6, �� = ��2 + ��2 = 2 3, 因为�� ⊥平面����,�� ⊂平面����,则�� ⊥ ��.因为矩形����中,�� ⊥ ��, 又 �� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���,所以�� ⊥平面���.因为�� ⊂平面���,所以�� ⊥ ��, 所以�� = ��2 + ��2 = 2 2.因为�为��中点,�� ⊥ ��,所以�� = �� = 2. 因为 ��2 + ��2 = ��2 ,所以∠��� = 90°,所以 ▵���的面积 � = 12 × �� × �� = 2 2. 设�到平面���的距离为ℎ,则三棱椎� − ���的体积 ��−��� = ��−��� ,即 1 3 × 2 2ℎ = 1 3 × 1 2 × 2 × 2 2 × 2, ℎ = 2.设��与平面���所成的角为 �,则 sin� = ℎ�� = 2 2 , 又因为 � ∈ 0, �2 ,所以�与平面���所成角为 � 4 .(17 分) 第 11页,共 11页 19.(本小题 17 分) 定义在�上的函数�(�),若满足:对任意� ∈ �,存在常数� > 0,都有|�(�)| ≤ �成立,则称�(�)是�上的 有界函数,其中�称为函数�(�)的上界. (1)设� � = ��+1,判断� � 在 − 1 2 , 1 2 上是否是有界函数,若是,说明理由,并写出� � 所有上界的值的集 合;若不是,也请说明理由. (2)若函数�(�) = 1 + � ⋅ ( 13 ) � + ( 19 ) �在[0, + ∞)上是以 4 为上界的有界函数,求实数�的取值范围. 【答案】解:(1)�(�) = ��+1 = 1 − 1 �+1,则�(�)在[ − 1 2 , 1 2 ]上是增函数;故�( − 1 2 ) ≤ �(�) ≤ �( 1 2 ); 即−1 ≤ �(�) ≤ 13,故|�(�)| ≤ 1,故�(�)是有界函数;故�(�)的所有上界的值的集合是[1, + ∞);(6 分) (2)由题意知,|�(�)| ≤ 4 对� ∈ [0, + ∞)恒成立.即:−4 ≤ �(�) ≤ 4,令� = 13 � ,∵ � ≥ 0,∴ � ∈ (0,1], 所以−4 ≤ 1 + �� + �2 ≤ 4,∴− (� + 5� ) ≤ � ≤ 3 � − �对� ∈ (0,1]恒成立, ∴ [ − (� + 5� )]max ≤ � ≤ ( 3 � − �)min,(12 分) 设ℎ(�) =− (� + 5� ),�(�) = 3 � − �,由� ∈ (0,1],由于ℎ(�)在� ∈ (0,1]上递增,�(�)在� ∈ (0,1]上递减, 所以ℎ(�)在� ∈ (0,1]上的最大值为ℎ(1) =− 6,�(�)在� ∈ (0,1]上的最小值为�(1) = 2,(16 分) ∴实数�的取值范围为[ − 6,2].(17 分)

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