江苏省南通市第一中学2024-2025学年高三上学期7月周练三数学试题
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内容正文:
第 1页,共 4页
高三数学 (20240731)
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.下列条件中,使得“� > �”成立的充分不必要条件是( )
A. |�| > |�| B. 1� >
1
� C. �
2 > �2 D. ln� > ln�
2.已知定义域为�的函数�(�)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )
A. ∀� ∈ �,�( − �) ≠ �(�) B. ∀� ∈ �,�( − �) ≠− �(�)
C. ∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠ �(�0) D. ∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠− �(�0)
3.设集合�,�,�满足� ∪ ∁�� = � ∪ ∁��,则( )
A. � = � B. � ∩ � = � ∩ �
C. � ∩ ∁�� = � ∩ ∁�� D. � ∩ ∁�� = � ∩ ∁��
4.函数�(�) = 7 + 2�� − �2在区间[ − 1,1]上单调递减,则�的取值范围为( )
A. � ≤− 1 B. � <− 1 C. −3 ≤ � ≤− 1 D. −3 < � <− 1
5.已知关于�的不等式��2 + �� + � ≥ 0 的解集为 −1,2 ,则��+���−� ≥ 0 的解集为( )
A. ( 12 , 1) B.
1
2 , 1 C. −1, −
1
2 D. −1,
1
2
6.已知� > 0,� > 0,2� + � = ��,则 2��−1 +
�
�−2的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 4 2 D. 3 + 2 2
7. 四棱锥� − ����的顶点均在球�的球面上,底面����为矩形,平面��� ⊥平面����,
�� = 5,�� = �� = 1,�� = 2,则�到平面���的距离为( )
A. 13 B.
1
4 C.
2
4 D.
5
8
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8. 在平面直角坐标系中,定义�(�, �) = ���{|�1 − �2|, |�1 − �2|}为两点� �1, �1 , � �2, �2 的
“切比雪夫距离”,又设点�及�上任意一点�,称� �, � 的最小值为点�到直线�的“切比雪夫
距离”记作� �, � ,给出下列四个命题:
①对任意三点�, �, �,都有� �, � + � �, � ≥ � �, � ;
②已知点�(3,1)和直线�: 2� − � − 1 = 0,则� �, � = 43;
③到原点的“切比雪夫距离”等于 1 的点的轨迹是正方形;
其中真命题的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.下列说法中正确为( )
A.已知函数�(�) = 2�2 − �� + 3,若∀� ∈ �,有�(1 − �) = �(1 + �)成立,则实数�的值为 4
B.若关于�的不等式��2 − 6�� + � + 8⩾0 恒成立,则�的取值范围为 0 < �⩽1
C.设集合� = {1,2}, � = {�2},则“� = 1”是“� ⊆ �”的充分不必要条件
D.函数�(�) = |�|与函数�(�) = ( �)2是同一个函数
10. 已知�,� > 0,� + �2 = 1,则下列选项一定正确的是( )
A. 3�−� > 13 B. � � ≤
1
2 C. � + � < 2 D. �� ≤
2 3
9
11.如图,正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 2,�,�是线段�1�1上的两个动点,且�� = 1,
�是��的中点,则下列结论中正确的是( )
A.三棱锥�1 − ���的体积为定值
B. �1� ⊥平面���
C.在线段��上存在一点�,使得�1�//平面���
D.平面���截正方体的外接球的截面面积为139 �
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三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.命题�: ∀� > 0,�� > 1,则命题�的否定是 .
13.已知函数�(�) = 2�� − 1,�(�) =− �2 + 2� + 1,若对任意的�1 ∈ [ − 1,1],总存在�2 ∈ [0,2],
使得�(�1) < �(�2)成立,则实数�的取值范围为 .
14.若关于�的不等式 2��2 − 4� < �� − 2 只有一个整数解,则实数�的取值范围是 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题 13 分)
已知集合� = {2,6}.
(1)若集合� = � + 1, �2 − 23 ,且� = �,求实数�的值;
(2)若集合� = �∣��2 − � + 6 = 0 ,且�与�有包含关系,求实数�的取值范围.
16.(本小题 15 分)
已知函数� � = ��+�1+�2是定义在 −1,1 上的奇函数,且�
1
2 =
2
5.
(1)确定函数� � 的解析式;
(2)用定义证明� � 在 −1,1 上是增函数:
(3)解关于�的不等式� � − 1 + � � < 0.
17.(本小题 15 分)
已知函数�(�) = �2 + �� + 2,� ∈ �.
(1)若对于任意� ∈ [ − 1,1],不等式�(�)⩽2�(� − 1) + 4 恒成立,求实数�的取值范围;
(2)已知�(�) =− � + �,当� =− 3 时,若对任意�1 ∈ [1,4],总存在�2 ∈ (1,8),使
� �1 = � �2 成立,求实数�的取值范围.
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18.(本小题 17 分)
如图,已知四棱锥� − ����的底面为矩形,�� = �� = 2,�� = 2 2,�是��的中点,
�� ⊥平面����.
(1)求证:�� ⊥平面���;
(2)设平面���与平面���的交线为 �.
①求证:�//��;
②求�与平面���所成角的大小.
19.(本小题 17 分)
定义在�上的函数�(�),若满足:对任意� ∈ �,存在常数� > 0,都有|�(�)| ≤ �成立,则称�(�)
是�上的有界函数,其中�称为函数�(�)的上界.
(1)设� � = ��+1,判断� � 在 −
1
2 ,
1
2 上是否是有界函数,若是,说明理由,并写出� � 所有
上界的值的集合;若不是,也请说明理由.
(2)若函数�(�) = 1 + � ⋅ ( 13 )
� + ( 19 )
�在[0, + ∞)上是以 4 为上界的有界函数,求实数�的取值
范围.
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参考答案
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列条件中,使得“� > �”成立的充分不必要条件是( )
A. |�| > |�| B. 1� >
1
� C. �
2 > �2 D. ln� > ln�
【答案】D
解:�. |�| > |�|,� > �不一定成立,例如取� =− 2,� = 1,因此不符合题意;
B.1� >
1
�,� > �不一定成立,例如取� = 1,� = 2,因此不符合题意;
C.�2 > �2,� > �不一定成立,例如取� =− 2,� = 1,因此不符合题意;
D.��� > ��� ⇒ � > � > 0 ⇒ � > �,因此使� > �成立的充分不必要条件是��� > ���.故选:�.
2.已知定义域为�的函数�(�)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )
A. ∀� ∈ �,�( − �) ≠ �(�) B. ∀� ∈ �,�( − �) ≠− �(�)
C. ∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠ �(�0) D. ∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠− �(�0)
【答案】C
解:若�(�) = 2�, � ≥ 0,2, � < 0, 则有�( − 1) = �(1),∴全称命题“∀� ∈ �,�( − �) ≠ �(�)”为假命题;
若�(�) = 2�, � ≥ 0,−2, � < 0,则有�( − 1) =− �(1),∴全称命题“∀� ∈ �,�( − �) ≠− �(�)”为假命题;
特称命题“∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠ �(�0)”的否定为全称命题“∀� ∈ �,�( − �) = �(�)”,此时�(�)为偶函数,
与已知矛盾,∴全称命题为假命题,∴特称命题为真命题;
特称命题“∃�0 ∈ �,�( − �0) ≠− �(�0)”的否定为全称命题“∀� ∈ �,�( − �) =− �(�)”,当函数�(�)是
定义在�上的非奇非偶函数时,全称命题为假命题,此时特称命题为真命题;当函数�(�)是定义在�上的奇
函数时,全称命题为真命题,此时特称命题为假命题.故选 C.
3.设集合�,�,�满足� ∪ ∁�� = � ∪ ∁��,则( )
A. � = � B. � ∩ � = � ∩ �
C. � ∩ ∁�� = � ∩ ∁�� D. � ∩ ∁�� = � ∩ ∁��
【答案】D
解:当� = {1,2,3},∁�� = 1,∁�� = {2}满足� ∪ ∁�� = � ∪ ∁��,但不满足选项 A,�,�;
根据题意,∁�(� ∪ ∁��) = � ∩ ∁��,∁�(� ∪ ∁��) = � ∩ ∁��,
若� ∪ ∁�� = � ∪ ∁��,则∁�(� ∪ ∁��) = ∁�(� ∪ ∁��),即� ∩ ∁�� = � ∩ ∁��,
故选:�.
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4.函数�(�) = 7 + 2�� − �2在区间[ − 1,1]上单调递减,则�的取值范围为( )
A. � ≤− 1 B. � <− 1 C. −3 ≤ � ≤− 1 D. −3 < � <− 1
【答案】C
解:令 � � = 7 + 2�� − �2 ,则 � � = �,由题意可得 � � = 7 + 2�� − �2 需满足在区间 −1,1 上单调
递减,且 � � min ≥ 0,而 � � = 7 + 2�� − �2 的图象开口向下,对称轴为 � = �,
故 � ≤− 1且 � 1 = 6 + 2� ≥ 0,即 −3 ≤ � ≤− 1,故选 C.
5.已知关于�的不等式��2 + �� + � ≥ 0 的解集为 −1,2 ,则��+���−� ≥ 0 的解集为( )
A. ( 12 , 1) B.
1
2 , 1 C. −1, −
1
2 D. −1,
1
2
【答案】B
解:∵关于�的不等式��2 + �� + � ≥ 0 的解集为[ − 1,2],∴− 1 和 2 是方程��2 + �� + � = 0 的两个根,
且� < 0,∴
−1 + 2 =− ��
−1 × 2 = ��
,解得
� =− �
� =− 2�,∴不等式
��+�
��−� ≥ 0 可化为,
��−�
−2��+� ≥ 0,即
�−1
2�−1 ≤ 0,
转化为(� − 1)(2� − 1) ≤ 0,且 2� − 1 ≠ 0,解得12 < � ≤ 1,即不等式
��+�
��−� ≥ 0 的解集为(
1
2 , 1].故选:�.
6.已知� > 0,� > 0,2� + � = ��,则 2��−1+
�
�−2的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 4 2 D. 3 + 2 2
【答案】D
解:由 2� + � = ��得,� = 2��−1,� =
�
�−2,且
1
�+
2
� = 1,因为� > 0,� > 0,所以� − 1 > 0,
所以
2�
�−1 +
�
�−2 = � + � = (� + �)(
1
�+
2
� ) = 3 +
�
� +
2�
� ⩾3 + 2
�
� ·
2�
� = 3 + 2 2,当且仅当� = 2�时等号
成立.故选�.
7.四棱锥� − ����的顶点均在球�的球面上,底面����为矩形,平面��� ⊥平面����,�� = 5,�� =
�� = 1,�� = 2,则�到平面���的距离为( )
A. 13 B.
1
4 C.
2
4 D.
5
8
【答案】A
解:取��中点�,在△���中,��2 + ��2 = ��2,所以�� ⊥ ��,则�� = 12�� =
5
2 ,
连接��,��交于点�,则�� = �� = �� = �� = 5+12 =
6
2 ,又因为�为��的中点,
故�� = 12,�� =
5
2 ,因为平面��� ⊥平面����,�� ⊥ ��,�� ⊂平面����,平面���⋂平面���� = ��,
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所以�� ⊥平面���,因为�� ⊂平面���,所以�� ⊥ ��,则�� = ��2 + ��2 = 62 ,
所以�为四棱锥� − ����外接球的球心,外接球的半径� = 62 .
因为平面��� ⊥平面����,�� ⊥ ��,�� ⊂平面����,平面���⋂平面���� = ��,
所以�� ⊥平面���,又�� ⊂平面���,所以�� ⊥ ��,所以�� = ��2 + ��2 = 5,
同理可得�� = ��2 + ��2 = 2,则�△��� =
1
2 × 2 × 5 −
2
2
2
= 32,�△��� =
1
2 ×
1
2 × 5 =
5
4 ,
在平面���内作�� ⊥ ��与�,则�� ⊥平面����,�� = ��·���� =
2 5
5 ,设�到平面���的距离为�,
由��−��� = ��−���,得
1
3 ×
3
2� =
1
3 ×
5
4 ×
2 5
5 ,解得� =
1
3.故选 A.
8. 在平面直角坐标系中,定义�(�, �) = ���{|�1 − �2|, |�1 − �2|}为两点� �1, �1 , � �2, �2 的“切比雪夫距
离”,又设点�及�上任意一点�,称� �, � 的最小值为点�到直线�的“切比雪夫距离”记作� �, � ,给出下列
四个命题:
①对任意三点�, �, �,都有� �, � + � �, � ≥ � �, � ;
②已知点�(3,1)和直线�: 2� − � − 1 = 0,则� �, � = 43;
③到原点的“切比雪夫距离”等于 1 的点的轨迹是正方形;
其中真命题的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】D
解:①对任意三点�、�、�,设�(�1, �1)、�(�2, �2),�(�3, �3),
若它们共线,如图,结合三角形的相似可得�(�, �),�(�, �),�(�, �)
为��,��,��,或��,��,��,
则�(�, �) + �(�, �) = �(�, �);
若�,�或�,�对调,可得�(�, �) + �(�, �) > �(�, �);
若�,�,�不共线,且三角形中�为锐角或钝角,
由矩形����或矩形����,�(�, �) + �(�, �) ≥ �(�, �);
若三角形中�为直角,�(�, �) + �(�, �) > �(�, �),
则对任意的三点�,�,�,都有�(�, �) + �(�, �) ≥ �(�, �);
故①正确;
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②设点�是直线� = 2� − 1 上一点,且�(�, 2� − 1),
可得�(�, �) = ���{|� − 3|,|2 − 2�|},由|� − 3| ≥ |2 − 2�|,解得−1 ≤ � ≤ 53,即有�(�, �) = |� − 3|,
此时�(�, �) ∈ [ 43 , 4],由|� − 3| < |2 − 2�|,解得� >
5
3或� <− 1,即有�(�, �) = |2� − 2|,
此时�(�, �)的范围是(4, + ∞) ∪ ( 43 , + ∞) = (
4
3 , + ∞),无最值,
综上可得,�,�两点的“切比雪夫距离”的最小值为43,故②正确;
③设到原点的“切比雪夫距离”等于 1 的点为�(�, �),���{|� − 0|, |� − 0|} = 1,即���{|�|, |�|} = 1,
当|�| ≥ |�|时,则���{|�|, |�|} = |�| = 1;当|�| < |�|时,则���{|�|, |�|} = |�| = 1;所求轨迹是正方形,
故③正确;故选 D.
二、多选题:本题共 3 小题,共 15 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确为( )
A.已知函数�(�) = 2�2 − �� + 3,若∀� ∈ �,有�(1 − �) = �(1 + �)成立,则实数�的值为 4
B.若关于�的不等式��2 − 6�� + � + 8⩾0 恒成立,则�的取值范围为 0 < �⩽1
C.设集合� = {1,2}, � = {�2},则“� = 1”是“� ⊆ �”的充分不必要条件
D.函数�(�) = |�|与函数�(�) = ( �)2是同一个函数
【答案】AC
解:对于�,由�(1 − �) = �(1 + �)成立,可得函数�(�)的图象的对称轴为� = 1,又二次函数�(�)的图象的
对称轴为
�
4,所以
�
4 = 1,解得� = 4,故 A 正确;
对于�,当� = 0 时,可得 8⩾0 成立,满足题意;当� ≠ 0 时,由� = ( − 6�)2 − 4 ⋅ � ⋅ (� + 8)⩽0 且� > 0,
解得 0 < �⩽1;故�的取值范围为[0,1],故 B 错误;
对于�,当� = 1 时,� = {1},此时� ⊆ �,故充分性成立;若� ⊆ �,则�2 = 1 或�2 = 2,解得� =± 1
或� =± 2,故必要性不成立;所以“� = 1”是“� ⊆ �”的充分不必要条件,故 C 正确;
对于�:函数�(�) = |�|的定义域为�,函数�(�) = ( �)2的定义域为[0, + ∞),定义域不同,故不是同一函数,
故 D 错误.故选:��.
10. 已知�,� > 0,� + �2 = 1,则下列选项一定正确的是( )
A. 3�−� > 13 B. � � ≤
1
2 C. � + � < 2 D. �� ≤
2 3
9
【答案】ABD
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解:因为 �, � > 0, � + �2 = 1,所以 � = 1 − �2 > 0,所以 0 < � < 1,0 < � < 1.
对于�:由 0 < � < 1, 0 < � < 1 可得 −1 < � − � < 1,所以 3�−� > 3−1 = 13,故 A 正确;
对于�: � � ≤ �
2+�
2 =
1
2,当且仅当� = �,即� =
1
2时等号成立,所以� �的最大值为
1
2,故 B 正确;
对于�: �+�2 ⩽
( �)2+�2
2 =
2
2 ,所以 � + � ≤ 2,当且仅当� = �,即� =
1
2时等号成立,故 C 错误;
对于�:因为�� = � 1 − �2 ,令 � = � 1 − �2 ,求导可得:�' = 1 − 3�2,令�' = 0 可得 � = 33 ,
当 0 < � < 33 时,�
' > 0,函数单调递增;当 33 < � < 1 时,�
' < 0,函数单调递减,
所以当� = 33 时,取到最大值为
2 3
9 ,所以��⩽
2 3
9 ,故 D 正确.故选 ABD.
11.如图,正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 2,�,�是线段�1�1上的两个动点,且�� = 1,�是��的中点,
则下列结论中正确的是( )
A.三棱锥�1 − ���的体积为定值
B. �1� ⊥平面���
C.在线段��上存在一点�,使得�1�/ /平面���
D.平面���截正方体的外接球的截面面积为139 �
【答案】AC
解:�选项,因为��1−��� = ��−�1�� =
1
3 ·��1��·��1 =
1
3 ·
1
2 ·1· 2·2 =
2
3 ,所以�选项正确;
以点�为空间原点,以��,��,��1所在直线分别为�,�,�轴,建立空间直角坐标系,
则�(1,2,0),令�(�, 2 − �, 2),�(� − 22 , 2 +
2
2 − �, 2),所以��
= ( − 22 ,
2
2 , 0), ��
= (1 − �, �, − 2),�1� =
−2, − 2, − 2 ,因为�1� ⋅ �� = 2 ≠ 0,所以�选项不正确;
令平面���的一个法向量为� = (�, �, �),则 � ·�� = 0
� ·�� = 0
, ⇒ −
2
2 � +
2
2 � = 0
1 − � � + �� − 2� = 0
,令� = � = 1,
所以� = (1,1, 12 ),令� ��, 0,0 , �1 0,0,2 ,因为�1�
= ��, 0, − 2 ,�1� ·� = ��, 0, − 2 · 1,1,
1
2 = �� − 1 =
0,解得�� = 1,所以点�为��中点时,�1�//平面���,�选项正确.
令正方体的外接球的球心坐标为�(1,1,1),正方体外接球的半径为 4+4+42 = 3,所以点�到平面���的距
离为� =
�� ·�
� =
1
2
9
4
= 13,所以平面���截正方体的外接球的截面面积为�( 3 −
1
9)
2 = 26�9 .
所以�选项错误.故选:��.
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三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.命题�: ∀� > 0,�� > 1,则命题�的否定是 .
【答案】∃�0 > 0,��0⩽1
13.已知函数�(�) = 2�� − 1,�(�) =− �2 + 2� + 1,若对任意的�1 ∈ [ − 1,1],总存在�2 ∈ [0,2],使得�(�1) <
�(�2)成立,则实数�的取值范围为 .
【答案】( − 32 ,
3
2 )
解:因为对任意的�1 ∈ [ − 1,1],总存在与�2 ∈ [0,2],使得�(�1) < �(�2)成立,所以�(�)max < �(�)max,
�(�) =− �2 + 2� + 1 =− (� − 1)2 + 2,对称轴为� = 1,因为� ∈ [0,2],所以当� = 1 时,�(�)max = �(1) = 2,
当� > 0 时,函数�(�) = 2�� − 1 在 −1,1 上单调递增,所以�(�)max = �(1) = 2� − 1,
所以 2� − 1 < 2,解得 0 < � < 32;
当� = 0 时,函数�(�) =− 1 在 −1,1 上为常数函数,满足�(�)max =− 1 < 2;
当� < 0 时,函数�(�) = 2�� − 1 在 −1,1 上单调递减,所以�(�)max = �( − 1) =− 2� − 1,
所以−2� − 1 < 2,解得− 32 < � < 0;
综上,− 32 < � <
3
2,即实数�的取值范围为:( −
3
2 ,
3
2 ).故答案为:( −
3
2 ,
3
2 ).
14.若关于�的不等式 2��2 − 4� < �� − 2 只有一个整数解,则实数�的取值范围是 .
【答案】1 ≤ � < 2
解:2��2 − 4� < �� − 2,即 2� − 1 �� − 2 < 0,
当� = 0 时,则不等式解集为 12 , + ∞ ,不符合题意;
当� < 0 时,则不等式解集为 −∞, 2� ∪
1
2 , + ∞ ,不符合题意;
当� > 0 时,若� = 4 时,不等式解集为⌀,不符合题意;
若 0 < � < 4 时,不等式解集为 12 ,
2
� ,故只需满足 1 <
2
� ≤ 2,解得 1 ≤ � < 2;
若� > 4 时,不等式解集为 2� ,
1
2 ,不合题意,综上:1 ≤ � < 2.故答案为:1 ≤ � < 2
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四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合� = {2,6}.
(1)若集合� = � + 1, �2 − 23 ,且� = �,求实数�的值;
(2)若集合� = �∣��2 − � + 6 = 0 ,且�与�有包含关系,求实数�的取值范围.
【答案】解:(1)根据题意,集合� = {2,6},而集合� = {� + 1, �2 − 23},且� = �,
① �+ 1 = 2�2 − 23 = 6,无解,②
�+ 1 = 6
�2 − 23 = 2,得� = 5,故� = 5;(5 分)
(2)因为集合� = {�|��2 − � + 6 = 0},且�与�有包含关系,而�中最多只有两个元素,只能是� ⊆ �,
若 2 ∈ �,则 4� + 4 = 0,� =− 1,此时� = { − 3,2},�与�无包含关系,
因为�与�有包含关系,只能是�⫋�,
若� ≠ ⌀,6 ∈ �,则� = 0 时,� = {6},符合题意,(8 分)
若� = ⌀,则 � ≠ 0△< 0,即
� ≠ 0
1 − 24� < 0,得� >
1
24,(12 分)
综上,�的取值范围为{�|� = 0 或� > 124 }.(13 分)
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16.(本小题 15 分)
已知函数� � = ��+�1+�2是定义在 −1,1 上的奇函数,且�
1
2 =
2
5.
(1)确定函数� � 的解析式;
(2)用定义证明� � 在上 −1,1 是增函数:
(3)解关于�的不等式� � − 1 + � � < 0.
【答案】(1)解:函数�(�) = ��+�1+�2是定义在( − 1,1)上的奇函数,则�(0) = 0,即有� = 0,
且�( 12 ) =
2
5,则
1
2�
1+14
= 25,解得,� = 1,
经检验符合题意,则函数�(�)的解析式:�(�) = �1+�2 ( − 1 < � < 1);(5 分)
(2)证明:任取−1 < �1 < �2 < 1,则�(�1) − �(�2) =
�1
�1
2+1
− �2
�2
2+1
= (�1−�2)(1−�1�2)
(�1
2+1)(�2
2+1)
,
由于−1 < �1 < �2 < 1,则�1 − �2 < 0,1 + �12 > 0,1 + �22 > 0,∵− 1 < �1�2 < 1,
∴ 1 − �1�2 > 0,∴ �(�1) − �(�2) < 0,∴ �(�)在( − 1,1)上是增函数.(10 分)
(3)解:由于奇函数�(�)在( − 1,1)上是增函数,则不等式�(� − 1) + �(�) < 0,
即为�(� − 1) <− �(�) = �( − �),即有
−1 < � − 1 < 1
−1 < � < 1
� − 1 <− �
,解得
0 < � < 2
−1 < � < 1
� < 12
,则有 0 < � < 12,
即等式� � − 1 + � � < 0 的解集为(0, 12 ).(15 分)
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17.(本小题 15 分)
已知函数�(�) = �2 + �� + 2,� ∈ �.
(1)若对于任意� ∈ [ − 1,1],不等式�(�)⩽2�(� − 1) + 4 恒成立,求实数�的取值范围;
(2)已知�(�) =− � + �,当� =− 3 时,若对任意�1 ∈ [1,4],总存在�2 ∈ (1,8),使� �1 = � �2 成立,求实
数�的取值范围.
【答案】解:(1)对任意的� ∈ [ − 1,1],不等式�(�)⩽2�(� − 1) + 4 恒成立,即为�2 − �� + 2� − 2⩽0 对� ∈
[ − 1,1]恒成立,令ℎ � = �2 − �� + 2� − 2,即ℎ � ≤ 0 对� ∈ [ − 1,1]恒成立,因为函数ℎ � 开口向上,
则当且仅当
ℎ 1 ≤ 0
ℎ −1 ≤ 0 ,即
1 − � + 2� − 2 ≤ 0
1 + � + 2� − 2 ≤ 0 ,解得� ≤
1
3,所以�的取值范围为( − ∞,
1
3 ].(6 分)
(2)当� =− 3 时,�(�) = �2 − 3� + 2 的图象开口向上,对称轴为� = 32,
当� ∈ [1,4]时,�(�)min = �(
3
2 ) =−
1
4,�(�)max = �(4) = 6,即函数�(�)的值域是[ −
1
4 , 6],(8 分)
当� ∈ (1,8)时,�(�) =− � + � ∈ ( − 8 + �, − 1 + �),(10 分)
由对任意�1 ∈ [1,4],总存在�2 ∈ (1,8),使� �1 = � �2 成立,得函数� � 的值域是函数� � 的值域的
子集,(12 分)即[ − 14 , 6] ⊆ −8 + �, − 1 + � ,
因此
−8+ � <− 14
−1+ � > 6
,解得 7 < � < 314,所以�的取值范围为(7,
31
4 ). (15 分)
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18.(本小题 17 分)
如图,已知四棱锥� − ����的底面为矩形,�� = �� = 2,�� = 2 2,�是��的中点,�� ⊥平面����.
(1)求证:�� ⊥平面���;
(2)设平面���与平面���的交线为�.
①求证:�//��;
②求�与平面���所成角的大小.
【答案】解:(1)证明:在 ��▵���中, tan∠��� = 22 ,在 ��▵���中, tan∠��� =
2
2 ,
则∠��� = ∠���,于是 ∠��� + ∠��� = �2 ,所以�� ⊥ ��.因为�� ⊥平面����,�� ⊂平面����,则�� ⊥
��.又 �� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���,所以�� ⊥平面���.(4 分)
(2)①证明:因为 ��//��, �� ⊄平面���,�� ⊂平面���,所以 ��//平面���.
又平面��� ∩平面��� = �,�� ⊂平面���,所以 �//��.(9 分)
②解:因为 �//��,所以�与平面���所成角的正弦值等于��与平面���所成角的正弦值,
连接��,则�� ⊥ ��.易知 �� = ��2 + ��2 = 6, �� = ��2 + ��2 = 2 3,
因为�� ⊥平面����,�� ⊂平面����,则�� ⊥ ��.因为矩形����中,�� ⊥ ��,
又 �� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���,所以�� ⊥平面���.因为�� ⊂平面���,所以�� ⊥ ��,
所以�� = ��2 + ��2 = 2 2.因为�为��中点,�� ⊥ ��,所以�� = �� = 2.
因为 ��2 + ��2 = ��2 ,所以∠��� = 90°,所以 ▵���的面积 � = 12 × �� × �� = 2 2.
设�到平面���的距离为ℎ,则三棱椎� − ���的体积 ��−��� = ��−��� ,即
1
3 × 2 2ℎ =
1
3 ×
1
2 × 2 × 2 2 ×
2, ℎ = 2.设��与平面���所成的角为 �,则 sin� = ℎ�� =
2
2 ,
又因为 � ∈ 0, �2 ,所以�与平面���所成角为
�
4 .(17 分)
第 11页,共 11页
19.(本小题 17 分)
定义在�上的函数�(�),若满足:对任意� ∈ �,存在常数� > 0,都有|�(�)| ≤ �成立,则称�(�)是�上的
有界函数,其中�称为函数�(�)的上界.
(1)设� � = ��+1,判断� � 在 −
1
2 ,
1
2 上是否是有界函数,若是,说明理由,并写出� � 所有上界的值的集
合;若不是,也请说明理由.
(2)若函数�(�) = 1 + � ⋅ ( 13 )
� + ( 19 )
�在[0, + ∞)上是以 4 为上界的有界函数,求实数�的取值范围.
【答案】解:(1)�(�) = ��+1 = 1 −
1
�+1,则�(�)在[ −
1
2 ,
1
2 ]上是增函数;故�( −
1
2 ) ≤ �(�) ≤ �(
1
2 );
即−1 ≤ �(�) ≤ 13,故|�(�)| ≤ 1,故�(�)是有界函数;故�(�)的所有上界的值的集合是[1, + ∞);(6 分)
(2)由题意知,|�(�)| ≤ 4 对� ∈ [0, + ∞)恒成立.即:−4 ≤ �(�) ≤ 4,令� = 13
�
,∵ � ≥ 0,∴ � ∈ (0,1],
所以−4 ≤ 1 + �� + �2 ≤ 4,∴− (� + 5� ) ≤ � ≤
3
� − �对� ∈ (0,1]恒成立,
∴ [ − (� + 5� )]max ≤ � ≤ (
3
� − �)min,(12 分)
设ℎ(�) =− (� + 5� ),�(�) =
3
� − �,由� ∈ (0,1],由于ℎ(�)在� ∈ (0,1]上递增,�(�)在� ∈ (0,1]上递减,
所以ℎ(�)在� ∈ (0,1]上的最大值为ℎ(1) =− 6,�(�)在� ∈ (0,1]上的最小值为�(1) = 2,(16 分)
∴实数�的取值范围为[ − 6,2].(17 分)
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