湖南省郴州市北湖区等5地2027届高三第一次教学质量监测数学试题

2027届高三第一次教学质量监测试卷 数学参考答案及评分细则 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1—8 DCDD BACB 8.【详解】由题得设0为坐标原点，F,G⊥OG,连接0G, b 曲线的性质可知，双曲线C:,-=1(a>0,6>O)的渐近线方程为y三 焦点到渐近线的距离为b,所以F,G引=b,|OF|=c,|OG=a, 又0为FF,的中点，所以G配·Gm=(0丽-0心)o丽-0心)=a2-2=-6=号c, 所以6=0则2-。=，即装e=25故选h 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9-11 ACD BCD ABD 11.【详解】对于选项A,点P到侧面ADD1A1的距离即为2，SAA.=2, 故三棱锥A-AD,P的体积V=写AAB,=写×2×2=号 1 所以三棱锥A-A,D,P的体积为定值，故A选项正确； 对于选项B,当P在底面A,B,C,D1上时，点P的轨迹为以A,为圆心，2为半径的圆与底面A,BC,D,的交线， 此交线长为T×2=T;由对称性可知，点P的轨迹长度为3m,故B选项正确， 对于选项C,①当点P在侧面BB,C,C,侧面P上时（不包括正方形A,B,C,D,的边界），过点P作平面ABCD的 垂线，垂足为H,连AH,在Rt△APH中，由AH>AB>PH,可得∠PAH<A:②当点P在上底面A,B,C,D,上 时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为M,若∠PAM=牙，必有PM=AM,又由PM=AB,有AM=AB,AP= AB,此时点P的轨迹是以4，为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为}×2m×2=m:国当点P 在侧面AAD,D,AA1BB上时，点P在线段AB1,AD1上符合题意，此时点P的轨迹长为4√2；由上知点P的轨迹 长度为4√2+π，故C选项错误； 对于选项D,因为正=A店+A而+号，正方体ABCD-AB,CD,外接球的球心0与点P距离为 0=P+P+-引=严，又外接球半径为R=2+2产+2。，所以截面圆的半径技小值为 2 -oP-v3)- =2y2,所以截面面积的最小值为8g,故D选项正确： 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.±2√2,213.110 14e-,+ 数学答案第1页（共6页） 161详解1冷f)=0得产-ad-2=0,即有三+巴-1-0 ex 令g(x)=三，则g()=1-年， 所以当x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 令t=总则原方程化为关于t的一元二次方程：2+ad-1=0 又tt2=-1说明两根必定一正一负 因此，f(x)有三个琴点说明产+a仙-1=0两根分别在(-0,0)，0， 所以△=a2+4>0且 + -1>0,解得a>e-1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15(1)油2mc+君}=6，有5mC+mC=血BtC,…1分 sinA 3 sinA sin C sinA cos C sin B+sin C sin(A C)+sin C, 所以√3 sinAsinC=sin CcosA+sinC, …3分 因为sinC≠0所以v3sn4-cos4=,即2sin(4-石)=1， 所以sin(4-君)=分 …5分 又因为A∈(0，m),故A=T 3 ……6分 (2)由(1)有Sae= 2bcsinA =1 2bex3.=√3bc7分 2 4 2 由DC=2DB有Sac=3Sac=3X 4 be=V3 3」 2 bc, …9分 6 又由余弦定理有a2=b2+c2-2 be cosA=b2+c2-bc>≥2bc-bc=bc, 所以bc≤a2=4,当b=c=2时，等号成立，…11分 所以Sa=5≤5×4=25 6 6 3 所以△ADC面积的最大值为2,3 …13分 16.【解析(1)证明：取AB,的中点D,连接C,D,BD,DM,…1分 N是B1C,的中点，A1Q=2Q示， ∴.A1N∩C1D=Q, …2分 直三棱柱ABC-A1B,C1,M是AB的中点， ∴.DMIA,A/CC1,且DM=A1A=CC1, ∴.四边形C,CMD是平行四边形，.C,DICM, … …3分 又CMC平面A,CM,C,DC平面ACM,C1D∥平面A,CM, D,M分别为AB1,AB的中点，∴.A1 DIIBM且A1D=BM, .四边形AMBD是平行四边形，.A,MIIBD, …4分 又A1MC平面A,CM,BDC平面A1CM,.BDW平面A,CM,…5分 数学答案第2页（共6页） ·C1D∩BD=D,C1D,BDC平面CDB, .平面C,DBW平面A,CM,… …6分 PQC平面CDB,.PQW平面ACM,…7分 (2)直三棱柱ABC-A1BC1,∠BAC=90, ∴.以A为坐标原点，分别以AC,AB,AA为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设A41=a.(a>0),由题设得A1(0,0,a),C(2,0,0),B(0,2,0),M(0,1,0), CA=(-2,0,a),Cm=(-2,1,0), …9分 CA·元，=0 C 设平面A1CM的法向量n1=(x,y,z),且 CM.元1=0 所2+0可度或=a2a. …11分 同理可得平面BB,C1C的一个法向量元2=(1,1,0)， …12分 设平面A,Cw与平面a,CC的夹角为0,0e[0引 1 3a 所以cos0=|cos<元1，i2>|= ……13分 /10a2+8 :二百角4，-CM-B的正弦值为7 sin0=√1-cos6=√a2+8-1 √10a2+82解得a=2, …………………14分 故AA1=2.…15分 17.解：设事件B表示“抽取的顾客来自i号展区"”(i=1,2,3), 事件A表示“该顾客有购买意向” 由题意可知，三个展区的人数比例为3：4：5，所以： PB,)=音=子：Pa,=告-：Pa,=是 …2分 已知各展区顾客的购买意向率分别为： P(AlB1)=0.3,P(AB2)=0.4,P(AB3)=0.5 …3分 )由全概率公式可得： P(A)=P(B )P(AIB )P(B2 )P(AIB2)+P(B3)P(AIB) =号×03+写×04+日×05=是 …………4分 答：该顾客有购买意向的概率为2 5 …5分 (m)由条件概率公式可得： 1 P(B,M=P(B,)PA,_3×048 …7分 P(A) 5 25 12 答：如果该顾客有购买意向，此人来自2号展区的概率为25 …8分 数学答案第3页（共6页） (②)由题意可得每次叫价增加10元的概率为号，每次叫价增加20元的概率为分 规定最多掷骰子3次，设每次增加的金额为随机变量Y(i=1,2,3),则Y:的取值为10或20，且每次掷骰子 相互独立. 最终叫价X=Y,+Y2+Y X的可能取值为：30、40、50、60…9分 设“增加20元”的次数为Z,则2~B(3,，且X=10×3-Z)+202=30+10Z PX=30=Pz=0)=G(写P=8 ……10分 1 P(X=40)=P(2==C(3P.(P=3 .4124 3 9=27=9 ………11分 P(x=50)=PZ=2)=g-(兮P(》=3 .1.26 2 9×3=27=9 …12分 PX=60)=Pz=3=C(3P.(号P=27 1 …13分 所以，X的分布列为： 30 40 50 60 8 1 P x 2 27 9 9 27 6X)=30x分+40×号+50×2号+60×7=40 1 ……………15分 18【答案】(1(4分)解：由短轴长2b=2√3，得b=√3，b2=3.…1分 由题意：M(-a,0),P0,√3)，F(c,0)M亦=a,√3,0亦=(c,0)由M.O=2,ac=2 由a2=b2+c2,得a2-c2=3, …3分 联立方程组c=2 a2-c2=3解得c=1,a=2, ………4分 所以椭圆C的标准方程为年+三1…5分 (2)(i)由题意知直线AB斜率不为0，设直线AB:x=ty+1 x=y+1 联立 + ,代入化简：(32+4)y2+6y-9=0……6分 3 1 所以△=(6t)2-4(3+4)(-9)=144(2+1), 数学答案第4页（共6页） 6t -9 1+2=3P+4m2=30+4' …7分 2 所以-y2=(y1+y2)}2-4y2= 6t -9_12W+1 -4× …8分 32+4 、3t2+4-32+4 sau=方oF-,-W=6+ 3t2+4, …9分 6u 6u 令aP+1则u≥1F世-52w32-)+43+13+1 设6e)=3u+u≥16e)=3-吉>0，放g@)在[，+m)上单调道指。 当u=1时，t=0,对应直线ABx=1,g(u)m=4, ……10分 所以△01B面积的最大值为号 …………11分 6t -9 (i)由(i)得y1+y2= 3P+4M2=3P+4小%= 3P+41…12分 6t 则AMy=车2x+2),BN3y=22出-2》……13分 MM和8v方程联立得，十2x+2)=产2x-2, 即x+2=+2.上=（+3)y=y2+32 x-2x2-2y1(y2-1)y1y2-y1 …14分 -9 ,-6t」 -“4+30+34+3 t· “40为 -27i-3(4+3)y=3… ……15分 -9t-(4+3t2)y1 即七+2 2三3，解得x三4…16分 所以直线AM与直线BN的交点Q落在定直线x=4上…17分 19.(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞）…1分 f'(x)=lnx+a.… …2分 令f'(x)=0,得x=e. 当x∈(0，e)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当xe(e,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)的单调递减区间是(0，e),单调递增区间是(e“,+∞)…4分 f(x)的极小值为f(e“)=-e“,无极大值.…5分 数学答案第5页（共6页） (2))若a=-1,则f(x)=xlnx-2x. 由(1)可知，f(x)在(0，）上单调递减，在(e,+o∞)上单调递增，…6分 当x=e时f(x)取得极小值f(e)=一e.…7分 当x→0时，f(x)→0，f(x)<0:当x→+∞，f(x)→+∞. 函数y=f(x)与y=m的图象有两个公共点时实数m的取值范围是(-e,0). 故方程f(x)=m有两个不等实根时实数m的取值范围是(-e,0).…9分 (i)①由bn=1-lnan得，lnan=1-bn 代入递推关系式na1=号ha.+10.得1-6=号[1-6，)+i 整理得b+1=2b… …11分 由(2(i)知0<x<e,a1=x1,b1=1-lna1=1-lnx1>0, 放数列6.}是以6，=1-hx为首项，为公比的等比数列。…13分 ②证明：由@及等比数列通项公式：6.=6rg=1-nx份， …14分 因为0e,所以1-hx0,月0， 从而a=1-1-h,】 <1,得an<e. …16分 综上所述，对任意的n∈N',都有0<an<e. …17分 数学答案第6页（共6页） 2027届高三第一次教学质量监测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试题卷上无效． 3．本试题卷共4页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（i为虚数单位）的虚部为 A． B． C． D． 2．已知集合，若集合M有8个子集，则可以是 A． B． C． D． 3．已知m，，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量，，且，则 A． B． C． D． 5．在正四棱台中，上底面边长，下底面边长，体积，则直线与底面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 6．已知，都是锐角，，，则 A． B． C． D． 7．某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，政治课排在下午，体育和艺术不能安排在同一个半天，则有（ ）种不同的排法． A．192 B．144 C．96 D．72 8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点G，若，则C的离心率为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的有 A．数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 B．记两个变量的样本相关系数为r，则r越小，相关程度越弱 C．若随机变量X服从正态分布，且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.1 10．已知圆M经过，两点，且圆心M在直线上，则下列说法正确的有 A．点M的坐标为 B．若圆，则两圆有两个公共点 C．直线与圆M恰有两个点到直线m的距离都等于1，则t的取值范围是 D．直线，点，点P在圆M上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线n距离的最小值为 11．如图，点P是边长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列说法正确的是 A．当点P在侧面上时，三棱锥的体积为定值 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当直线与平面所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．若，过点P作正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，若，则点P的坐标为__________． 13．在等差数列中，为其前n项的和，若，，则__________． 14．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）求角A； （2）若，点D在边上，，求面积的最大值． 16．（本题15分）如图，在直三棱柱中，，，M是的中点，N是的中点，P是与的交点，． （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的正弦值为，求线段的长． 17．（本题15分）为助力乡村振兴，郴州市举办“特色农产品助农展销”活动，活动共有3个展区参与．经统计1，2，3号展区的顾客人数比例为3∶4∶5，根据以往经验，这三个展区的顾客的购买意向率分别为0.3，0.4，0.5． （1）现从三个展区随机抽取一位顾客： （ⅰ）求该顾客有购买意向的概率； （ⅱ）如果该顾客有购买意向，求此人来自2号展区的概率； （2）对于某款限量礼盒，设计了一种“掷骰子叫价确定购买资格”的方式：统一以0元为初始价，通过掷骰子确定新叫价．若点数大于2，则在已叫价基础上增加10元更新叫价；若点数小于3，则在已叫价基础上增加20元更新叫价．规定最多掷骰子3次，3次后的最终叫价即为购买价格．设最终叫价为X元，求X的分布列及数学期望． 18．（本小题17分）已知椭圆的左、右顶点分别为M，N，上顶点为P，右焦点为F，满足，短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆右焦点F的直线交椭圆C于A，B两点， （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：直线与直线的交点Q在定直线上，并求出定直线的方程． 19．（本题17分）已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）若，关于x的方程有两个不等实根，，且． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）设，数列满足，记．证明： ①数列是等比数列； ②对任意的，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $