江苏省南通市第一中学2024-2025学年高三上学期8月强化训练三数学试题

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2024-08-06
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第 1页,共 4页 高三数学强化训练三 8.3 1.已知集合� = {� ∈ �|�2 − 3� − 4 ≤ 0},� = {�|0 < � ≤ 3},则�∩ � =( ) A. { − 1,0,1,2,3} B. {1,2,3} C. (0,3] D. [ − 1,4] 2.已知函数� � 在区间 − �2 , � 2 的图象如下图所示,则� � 的解析式可能为( ) A. � 3−� 2�+2−� B. 1−�2 2�+2−� C. �cos2� 2�+2−� D. sin2� 2�+2−� 3.某学生为制作圆台形容器,利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是 2��和 4��)铁皮材料, 通过卷曲使得��边与��边对接制成圆台形容器的侧面,则该圆台的高为( ) A. 32 �� B. 1�� C. 3�� D. 3 3 2 �� 4.若函数� = �2 − 2� − 3的定义域为 −1, � ,值域为 −4,0 ,则实数�的取值范围为( ) A. 1 ≤ � ≤ 3 B. 1 < � < 3 C. −1 < � < 3 D. −1 < � ≤ 3 5.函数�(�) = ����(5 − ��)(� > 0, � ≠ 1)在(1,3)上是减函数,则�的取值范围是( ) A. [ 53 , + ∞) B. ( 1 5 , 1) C. (1, 5 3 ) D. (1, 5 3 ] 6.已知� > 0,� > 0,� + � = 1,则2� 2−�+1 �� 的最小值为( ) A. 4 B. 143 C. 2 + 2 D. 2 2 + 1 7.已知函数� � = − 1 � , � < 0, � − 2 + �, � ≥ 0. 若� � 的图象上至少有两对点关于�轴对称,则实数�的取值范围是 ( ) A. −∞, 12 B. 1 2 , + ∞ C. 0, 1 2 D. 0,1 第 2页,共 4页 8.如图,在三棱锥� − ���中,∠��� = 60∘,2�� = �� = �� = ��,平面��� ⊥平面���,�是��的中点, �� = 4 3,则三棱锥� − ���的外接球的表面积为( ) A. 160�3 B. 40� C. 208� 3 D. 80� 9.下列命题正确的是( ) A.命题“对任意� ∈ �,�2 + � + 1 < 0”的否定是“存在� ∉ �,使得�2 + � + 1 ≥ 0” B.“1� < 1”的充分不必要条件是“� > 1” C.设�, � ∈ �,则“� ≥ 2 且� ≥ 2”是“�2 + �2 ≥ 4”的充分不必要条件 D.设�, � ∈ �,则“� ≠ 0”是“�� ≠ 0”的充分不必要条件 10.已知函数� � 的定义域为�,� � + � − � � − � = � � + 32 � � + 3 2 ,� 0 ≠ 0,则( ) A. � 32 = 0 B.函数� � 是奇函数 C. � 0 =− 2 D. � � 的一个周期为 3 11.如图所示,在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中,�为线段�1�的中点,�,�分别为线段��1,�1�1 上的动点,则下列说法正确的是( ) A. �1� ⊥平面��� B.存在点�,�,使得��//�� C.平面���与平面����所成的角为�4 D. �� + ��的最小值为 2 2 + 1 第 3页,共 4页 12.已知� ∈ �,不等式�−3�+� ≥ 1 的解集为�,且−2 ∈ �,则�的取值范围是 . 13.定义在�上的奇函数�(�)满足�(2) = 3,且函数�(�) = �(�) − 2�在[0, + ∞)上单调递减,则不等式�(� − 1) > 2� − 1 的解集为 . 14.已知函数�(�) = � 3, �⩾0, 2 − |2� + 1|, � < 0 .若方程� 2(�) − 2�(�) + � = 0 有 5 个实数根,则�的取值范围 为 . 15.已知集合� = {�|� ≤ 2�−1 ≤ 4},集合� = {�|log3(2� + 1) < 2}. (1)当� = 12,求 ∁�� ∩ �; (2)已知“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分不必要条件,求�的取值范围. 16.已知幂函数� � = �4�−�2(� ∈ �)的图象关于�轴对称,且� 2 < � 3 . (1)求�的值及函数� � 的解析式; (2)若� � + 2 < � 1 − 2� ,求实数�的取值范围. 第 4页,共 4页 17.已知函数� � = 2� − � ⋅ 2−�是定义在�上的偶函数. (1)求� � 的解析式; (2)若不等式[� � ]2 − �� � + 1 ≥ 0 对� ∈ �恒成立,求�的取值范围. 18.如图,在直三棱柱��� − �1�1�1中,点�,�分别是��,�1�1中点,平面���1�1 ∩平面��� = �. (1)证明:�/​ /��; (2)若�� = �� = 2 2,平面���1�1 ⊥平面���1�1,且��1 ⊥ ��,求直线�与平面�1�1�所成角的余弦值. 19.函数�(�)和�(�)的图象关于原点对称,且�(�) =− �2 + 2�. (1)求函数�(�)的解析式; (2)解不等式�(�) − �(�) ≤ |� − 1|; (3)若ℎ(�) = �(�) − ��(�) + 1 在[ − 1,1]上是增函数,求实数�的取值范围. 第 1页,共 16页 1.已知集合� = {� ∈ �|�2 − 3� − 4 ≤ 0},� = {�|0 < � ≤ 3},则�∩ � =( ) A. { − 1,0,1,2,3} B. {1,2,3} C. (0,3] D. [ − 1,4] 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了集合的表示方法以及集合的基本运算,属于基础题. 先求出集合�,再根据交集运算即可求得结论. 【解答】 解:∵集合� = {� ∈ �|�2 − 3� − 4 ≤ 0} = {� ∈ �| − 1 ≤ � ≤ 4} = { − 1,0,1,2,3,4}, � = {�|0 < � ≤ 3}, ∴ �⋂� = {1,2,3}. 故选:�. 2.已知函数� � 在区间 − �2 , � 2 的图象如下图所示,则� � 的解析式可能为( ) A. � 3−� 2�+2−� B. 1−�2 2�+2−� C. �cos2� 2�+2−� D. sin2� 2�+2−� 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查函数图象的识别,余弦型函数的奇偶性,指数函数的单调性与最值,属于中档题. 结合函数图像,根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果. 【解答】 解:当 0 < � < 1 时,�3 − � < 0,所以� = � 3−� 2�+2−� < 0,由图可知�不符合; 因为 1− −� 2 2−�+2− −� = 1−�2 2�+2−�,所以� = 1−�2 2�+2−�为偶函数,由题给图象可知函数是奇函数,故 B 不符合; 当� = �2时,� = sin2� 2�+2−� = sin2×�2 2 � 2+2− � 2 = 0,由图可知�不符合; 由奇函数定义可知函数� = �cos2�2�+2−�为奇函数,当 0 < � < � 4时� = �cos2� 2�+2−� > 0, 当� = �2时,� = �cos2� 2�+2−� = � 2cos 2× � 2 2 � 2+2− � 2 < 0,选项 C 符合图像特征,故 C 正确; 第 2页,共 16页 故选:�. 3.某学生为制作圆台形容器,利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是 2��和 4��)铁皮材料, 通过卷曲使得��边与��边对接制成圆台形容器的侧面,则该圆台的高为( ) A. 32 �� B. 1�� C. 3�� D. 3 3 2 �� 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查圆台的结构特征,属于中档题. 根据圆台的侧面展开图求得 � = 1 � = 2 � = 2 ,再结合圆台的结构特征分析求解. 【解答】 解:设圆台的上底面半径为���,下底面半径为���,母线长为���,高为ℎ��, 由题意可得: 2�� = 12 × 2� × 2 2�� = 12 × 2� × 4 � = 2 ,解得 � = 1 � = 2 � = 2 , 所以该圆台的高为ℎ = �2 − � − � 2 = 3 �� . 故选:�. 4.若函数� = �2 − 2� − 3的定义域为 −1, � ,值域为 −4,0 ,则实数�的取值范围为( ) A. 1 ≤ � ≤ 3 B. 1 < � < 3 C. −1 < � < 3 D. −1 < � ≤ 3 【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的性质.属于中档题. 由已知利用二次函数的图象与性质进行求解. 【解答】 解:由题意得:� � = �2 − 2� − 3 为开口向上的抛物线,对称轴为直线� = 1, �(�)在( −∞,1)上单调递减,在(1, + ∞)上单调递增, �( − 1) = 1 + 2 − 3 = 0,�(3) = 32 − 2 × 3 − 3 = 0,∴ �( − 1) = �(3) = 0,�(1) = 1 − 2 − 3 =− 4,即 第 3页,共 16页 �(�)��� = �(1) =− 4, 因为� = �2 − 2� − 3 的定义域为 −1, � ,值域为 −4,0 , 根据二次函数图象,数形结合可知 1⩽�⩽3,故选 A. 5.函数�(�) = ����(5 − ��)(� > 0, � ≠ 1)在(1,3)上是减函数,则�的取值范围是( ) A. [ 53 , + ∞) B. ( 1 5 , 1) C. (1, 5 3 ) D. (1, 5 3 ] 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性,涉及对数函数的性质,属于基础题. 由条件利用对数函数的性质,复合函数的单调性,可得 � > 1 3 ≤ 5� ,由此求得�的范围. 【解答】 解:对于函数�(�) = log�(5 − ��),令� = 5 − ��,则� = �����, 又由� > 0, � ≠ 1 知� = 5 − ��在(1,3)上为减函数, 若函数函数�(�) = ����(5 − ��)在(1,3)上是减函数, 因为�(�)的定义域为 −∞, 5� ,所以 � > 1 3 ≤ 5� , 解得 1 < � ≤ 53, 即�的范围是(1, 53 ]. 故选 D. 6.已知� > 0,� > 0,� + � = 1,则2� 2−�+1 �� 的最小值为( ) A. 4 B. 143 C. 2 + 2 D. 2 2 + 1 【答案】D 【解析】【分析】 第 4页,共 16页 本题考查了基本不等式及其应用,属于中档题. 将� + � = 1 代入2� 2−�+1 �� 中,利用基本不等式求解即可. 【解答】 原式= 2� 2−�(�+�)+(�+�)2 �� = 2�2+��+�2 �� = 2� � + � �+ 1 ≥ 2 2 + 1, 当且仅当 2� � = � �,即� 2 = 2�2,� = 2 − 1, � = 2 − 2时等号可以取到, 故选 D. 7.已知函数� � = − 1 � , � < 0, � − 2 + �, � ≥ 0. 若� � 的图象上至少有两对点关于�轴对称,则实数�的取值范围是 ( ) A. −∞, 12 B. 1 2 , + ∞ C. 0, 1 2 D. 0,1 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查函数零点的个数问题,是中档题. 由题意画出� = �与� = 1� − |� − 2|的图象,结合函数图像即可求解. 【解答】 解:当� < 0 时,�(�) =− 1�,则其关于�轴对称的图象所对应的函数解析式为� = 1 �,� > 0. 由题意知当� > 0 时,� = 1�与� = |� − 2| + �的图象至少有两个公共点,即方程 1 � = |� − 2| + �在区间(0, + ∞)内至少有两个实根. 令� = �,� = 1� − |� − 2| = � + 1� − 2,0 < �⩽2, 1 � − � + 2, � > 2. 在同一平面直角坐标系中分别作出� = �与� = 1� − |� − 2| 的图象, 如图. 第 5页,共 16页 由图可知,若直线� = �与曲线� = 1� − |� − 2|(� > 0)至少有两个公共点,则 0 ≤ � ≤ 1 2, 故实数�的取值范围是[0, 12 ]. 8.如图,在三棱锥� − ���中,∠��� = 60∘,2�� = �� = �� = ��,平面��� ⊥平面���,�是��的中点, �� = 4 3,则三棱锥� − ���的外接球的表面积为( ) A. 160�3 B. 40� C. 208� 3 D. 80� 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查棱锥的外接球问题,属于一般题. 确定球心位置,求出三棱锥的外接球的半径�2,由球的表面积公式即可求解. 【解答】 解:由题意得△ ���为等边三角形,且高�� = 4 3,所以�� = �� = �� = 8. 由题意知�� = �� = 4,又∠��� = 60∘,知△ ���为等边三角形. 平面��� ⊥平面���,�� ⊥ ��,平面��� ∩平面��� = ��,�� ⊂平面���,所以�� ⊥平面���, 设△ ���的外心为�,过点�作直线� ⊥平面���,则有�//��,又△ ���为等边三角形, 则三棱锥� − ���的外接球的球心在直线�上, 设球心为点�,过点�作�� ⊥ ��于点�,则易证�为��的中点,连接��, 则三棱锥的外接球的半径�2 = ��2 = ��2 + ��2 = 42 + ( 2 33 ) 2 = 523. 所以三棱锥� − ���的外接球的表面积� = 4��2 = 208�3 , 故选 C. 9.下列命题正确的是( ) 第 6页,共 16页 A.命题“对任意� ∈ �,�2 + � + 1 < 0”的否定是“存在� ∉ �,使得�2 + � + 1 ≥ 0” B.“1� < 1”的充分不必要条件是“� > 1” C.设�, � ∈ �,则“� ≥ 2 且� ≥ 2”是“�2 + �2 ≥ 4”的充分不必要条件 D.设�, � ∈ �,则“� ≠ 0”是“�� ≠ 0”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【分析】 本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定,充分、必要、充要条件的判断,利用不等式的基本性质判 断不等关系,属于中档题. 对于�选项,用量词命题的否定可得解;对于�选项,用集合法可以判断;对于�选项,用充分条件和必要条 件的定义可以判断,对于�选项,用等价法可以判断. 【解答】 解:对于�选项,命题“对任意� ∈ �,�2 + � + 1 < 0”的否定是“存在� ∈ �,使得�2 + � + 1 ≥ 0”,故 A 错误; 对于�选项,1� < 1 ⇒ � < 0 或� > 1,因为 �|� > 1 ⫋{�|� < 0 或� > 1},所以“� > 1”是“ 1 � < 1”的充分 不必要条件,故 B 正确; 对于�选项,充分性:当� ≥ 2 且� ≥ 2 时,�2 ≥ 4 且�2 ≥ 4,则�2 + �2 ≥ 8 ≥ 4,所以具有充分性, 必要性:令� = 2, � = 1,�2 + �2 = 5 ≥ 4,但“� ≥ 2 且� ≥ 2”不成立,所以不具有必要性, 所以“� ≥ 2 且� ≥ 2”是“�2 + �2 ≥ 4”的充分不必要条件,故 C 正确; 对于�选项,因为“�� = 0”是“� = 0”的必要不充分条件,所以“� ≠ 0”是“�� ≠ 0”的必要不充分条 件,故 D 错误. 故选:��. 10.已知函数� � 的定义域为�,� � + � − � � − � = � � + 32 � � + 3 2 ,� 0 ≠ 0,则( ) A. � 32 = 0 B.函数� � 是奇函数 C. � 0 =− 2 D. � � 的一个周期为 3 【答案】AC 【解析】【分析】 本题考查抽象函数的奇偶性,求函数值,函数周期性定义,属于中档题. 根据条件等式,利用赋值法,求特殊函数值,以及判断函数的奇偶性和周期性. 第 7页,共 16页 【解答】 解:令� = � = 0,则� 0 − � 0 = �2 32 ,所以� 3 2 = 0,�选项正确; 令� = 0,则� � − � −� = � 32 � � + 3 2 = 0,即� � = � −� ,所以� � 是偶函数,�选项错误; � 3 = � −3 ,令� = � = 32,则� 3 − � 0 = � 2 3 , 令� = � =− 32,则� −3 − � 0 = � 2 0 = � 3 − � 0 ,所以�2 0 = �2 3 , 所以 �2 0 + � 0 2 = �2 0 ,因为� 0 ≠ 0,所以� 0 =− 2,� 3 = 2,�选项正确; 令� =− 32,则� � − 3 2 − � � + 3 2 = � � + 3 2 � 0 =− 2� � + 3 2 , 所以� � − 32 + � � + 3 2 = 0,� � + 3 2 + � � + 9 2 = 0,所以� � − 3 2 = � � + 9 2 ,所以�(�) = �(� + 6), � � 的一个周期为 6,�选项错误. 故选:��. 11.如图所示,在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中,�为线段�1�的中点,�,�分别为线段��1,�1�1 上的动点,则下列说法正确的是( ) A. �1� ⊥平面��� B.存在点�,�,使得��//�� C.平面���与平面����所成的角为�4 D. �� + ��的最小值为 2 2 + 1 【答案】AC 【解析】【分析】 本题考查线面垂直的判定,线线平行,平面与平面所成角和空间中距离的最小值,属于难题. 由�1�1 ⊥ �1�及�1� ⊥ ��1证得�1� ⊥平面��1�1即可判断�选项;若存在,可得�1� ⊥ ��,又∠�1�� < � 2 推出矛盾,即可判断�选项;找出∠�1��即为平面���与平面����所成角的平面角即可判断�选项;在平面 ��1�1中,由平面几何知识求出�� + ��的最小值为 5 3即可判断�选项. 【解答】 第 8页,共 16页 解:对于�,连接��1,则�为线段��1的中点,易得平面���为平面��1�1, 显然�1�1 ⊥平面�1���1,�1� ⊂平面�1���1, 则�1�1 ⊥ �1�,又�1� ⊥ ��1,��1 ∩ �1�1 = �1,��1, �1�1 ⊂平面��1�1, 则�1� ⊥平面��1�1,即�1� ⊥平面���, A 正确; 对于�,由�知,�1� ⊥平面���,又�� ⊂平面���,则�1� ⊥ ��, 若存在点�,�,使得��//��,则�1� ⊥ ��, 连接��, �1�,又�为线段�1�的中点,则�1� = ��,显然∠�1�� < � 2,矛盾, 则不存在点�,�,使得��//��, B 错误; 对于�,由�知,平面���即平面��1�1,即平面��1�1�, 则平面��� ∩平面���� = ��,连接��1,又�� ⊥ ��, �� ⊥平面�1���1,��1 ⊂平面�1���1,则�� ⊥ ��1, ∠�1��即为平面���与平面����所成角的平面角, 又∠�1�� = � 4,则平面���与平面����所成的角为 � 4, C 正确; 对于�,在平面��1�1中,作�关于�1�的对称点�,�� ∩ �1� = �, 过�作�� ⊥ �1�交�1�于点�,作��1 ⊥ �1�1交�1�1于点�1, 又��1 = 2,��1 = 2+ 2 + 2 = 6,sin∠�1��1 = 2 6 = 3 3 , 则�� = �����∠�1��1 = 3 3 ,所以�� = 2�� = 2 3 3 , 第 9页,共 16页 所以�� = ����� ∠��� = ����� ∠�1��1 = 2 3, 又因为�� + �� = �� + �� ⩾��1 = ��1 = �� + ��1 = 1 + 2 3 = 5 3, 所以�� + ��的最小值为53,D 错误. 故选:��. 12.已知� ∈ �,不等式�−3�+� ≥ 1 的解集为�,且−2 ∈ �,则�的取值范围是 . 【答案】 �| − 3⩽� < 2 【解析】【分析】 本题主要考查了元素与集合的关系,以及不等式的求解,其中解答中熟记元素与集合的关系,以及不等式 的求法是解答的关键,着重考查了运算能力,属于中档题. 根据题意,由不等式的解集可得 −2−3 −2+� ≥ 1,变形可得:(� + 3)(� − 2) ≤ 0 且� − 2 ≠ 0,解可得�的取值范 围,即可得答案. 【解答】 解:根据题意,不等式 �−3 �+� ≥ 1 的解集为�,且−2 ∈ �, 则有 −2−3 −2+� ≥ 1,即 5 �−2 ≤− 1,变形可得:(� + 3)(� − 2) ≤ 0 且� − 2 ≠ 0, 解可得:−3 ≤ � < 2, 即�的取值范围为 �| − 3⩽� < 2 ; 故答案为: �| − 3⩽� < 2 . 13.定义在�上的奇函数�(�)满足�(2) = 3,且函数�(�) = �(�) − 2�在[0, + ∞)上单调递减,则不等式�(� − 1) > 2� − 1 的解集为 . 【答案】( − ∞, − 1) 【解析】【分析】 本题考查函数的单调性与奇偶性,属于中档题. 由奇函数定义可得函数�(�)也是奇函数,从而可得�(�)在�上递减,将不等式变形,可得�(� − 1) >− �(2) = �( − 2),结合单调性解不等式即可. 【解答】 解:�(�) = �(�) − 2�,则�( − �) = �( − �) + 2� =− �(�) + 2� =− �(�),即�(�)也为奇函数, 第 10页,共 16页 又函数�(�)在[0, + ∞)上单调递减,由对称性可知,�(�)在�上递减, 又因为�(2) = 3,所以�(2) = 3 − 4 =− 1, 所以�(� − 1) > 2� − 1 ⇒ �(� − 1) − 2(� − 1) > 1, 即�(� − 1) >− �(2) = �( − 2), 所以� − 1 <− 2 ⇒ � <− 1,即解集为( − ∞, − 1). 14.已知函数�(�) = � 3, �⩾0, 2 − |2� + 1|, � < 0 .若方程� 2(�) − 2�(�) + � = 0 有 5 个实数根,则�的取值范围 为 . 【答案】 0,1 【解析】【分析】 本题考查分段函数的图象,二次方程根的分布,属于中档题. 令� = � � ,则�2 − 2� + � = 0 有两个不相等的实数根�1、�2,则且,则 0 ≤ �1 < 1 且 1 < �2 < 2,或�1 = 2 且 1 < �2 < 2,或�1 = 1 且 1 < �2 < 2,再根据二次函数根的分布问题计算可得. 【解答】 解:因为�(�) = � 3, �⩾0, 2 − |2� + 1|, � < 0 , 所以� � 的图象如下所示: 因为方程�2 � − 2� � + � = 0 有 5 个实数根,令� = � � , 则�2 − 2� + � = 0 有两个不相等的实数根�1、�2, 则 0 ≤ �1 < 1 且 1 < �2 < 2,或�1 = 2 且 1 < �2 < 2,或�1 = 1 且 1 < �2 < 2; 令� � = �2 − 2� + �, (1)当 0 ≤ �1 < 1 且 1 < �2 < 2 时, 则 � 0 ≥ 0 � 1 < 0 � 2 > 0 ,即 � ≥ 0 1 − 2 + � < 0 � > 0 ,解得 0 < � < 1; (2)当�1 = 2 且 1 < �2 < 2,则� 2 = � = 0,此时�2 − 2� = 0, 第 11页,共 16页 解得�1 = 2,�2 = 0,不符合题意; (3)当�1 = 1 且 1 < �2 < 2 时, 则� 1 =− 1 + � = 0,解得� = 1, 此时�2 − 2� + 1 = 0,解得�1 = �2 = 1,不符合题意; 综上可得若方程�2(�) − 2�(�) + � = 0 有 5 个实数根, 则�的取值范围为 0,1 . 故答案为: 0,1 . 15.(本小题 12 分) 已知集合� = {�|� ≤ 2�−1 ≤ 4},集合� = {�|log3(2� + 1) < 2}. (1)当� = 12,求 ∁�� ∩ �; (2)已知“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分不必要条件,求�的取值范围. 【答案】解:(1)当� = 12时, 则� = {�| 12 ≤ 2 �−1 ≤ 4} = {�| − 1 ≤ � − 1 ≤ 2} = {�|0 ≤ � ≤ 3}, 则∁ �� = {�|� < 0 或� > 3}, � = {�|log3(2� + 1) < 2} = {�|0 < 2� + 1 < 9} = {�| − 12 < � < 4}, 故(∁ ��) ∩ � = {�| − 1 2 < � < 0 或 3 < � < 4}; (2)因为“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分不必要条件, 所以�是�的真子集, 若� = ⌀,则� > 4,符合题意; 若� ≠ ⌀,则� ≤ 4, 由� = {�|� ≤ 2�−1 ≤ 4}, 得� = {�|2log2 � ≤ 2�−1 ≤ 22} = {�|log2� + 1 ≤ � ≤ 3}, 结合(1)知,只需log2� + 1 >− 1 2,即2 −32 < � ≤ 4, 第 12页,共 16页 综上,� > 2− 3 2 = 24 , 即�的取值范围为( 24 , + ∞). 【解析】本题考查了交并补混合运算和充分不必要条件的应用,属于中档题. (1)当� = 12,得出集合�,可得∁ ��,再得出集合�,由集合的运算可得结果; (2)由“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分不必要条件,得�是�的真子集,分� = ⌀和� ≠ ⌀两种情况求解即可. 16.(本小题 12 分) 已知幂函数� � = �4�−�2(� ∈ �)的图象关于�轴对称,且� 2 < � 3 . (1)求�的值及函数� � 的解析式; (2)若� � + 2 < � 1 − 2� ,求实数�的取值范围. 【答案】解:(1)由题意,函数� � = �4�−�2(� ∈ �)的图象关于�轴对称,且� 2 < � 3 , 所以� � 在区间(0, + ∞)上单调递增, 所以�2 − 4� < 0,解得 0 < � < 4, 由� ∈ �,得� = 1 或 2 或 3, 又函数� � = �4�−�2的图象关于�轴对称, 所以 4� −�2为偶数, 所以� = 2,所以� � = �4. (2)因为函数� � = �4图象关于�轴对称,且在区间(0, + ∞)上单调递增, 所以不等式� � + 2 < � 1 − 2� ,等价于|� + 2| < |1 − 2�|, 解得� > 3 或� <− 13, 所以实数�的取值范围是( − ∞, − 13 ) ∪ (3, + ∞). 【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数单调性的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档 题. (1)由函数�(�)的图象关于�轴对称,且� 2 < � 3 ,得到函数在区间(0, + ∞)上单调递增,即�2 − 4� < 0, 再由� ∈ �且 4� −�2为偶数求得�的值. (2)根据函数� � = �4图象关于�轴对称,且在区间(0, + ∞)上单调递增,将不等式� � + 2 < � 1 − 2� , 转化为|� + 2| < |1 − 2�|求解. 第 13页,共 16页 17.(本小题 12 分) 已知函数� � = 2� − � ⋅ 2−�是定义在�上的偶函数. (1)求� � 的解析式; (2)若不等式[� � ]2 − �� � + 1 ≥ 0 对� ∈ �恒成立,求�的取值范围. 【答案】解:(1)因为函数� � = 2� − � ⋅ 2−�是定义在�上的偶函数, 所以� −� = � � ,可得2−� − � ⋅ 2� = 2� − � ⋅ 2−�恒成立, 即2� ⋅ 1 + � = 2−� ⋅ 1 + � ,所以 2� − 2−� 1 + � = 0, 所以 1 + � = 0,� =− 1, 所以� � = 2� + 2−�. (2)由(1)知� � = 2� + 2−�,令� = 2�,则� > 0,� = � + 1� ≥ 2. 因为不等式 � � 2 − �� � + 1 ≥ 0 恒成立,等价于�2 − �� + 1 ≥ 0 恒成立, 所以� ≤ � 2+1 � = � + 1 �恒成立,则� ≤ � + 1 � min , 又因为� ≥ 2,所以 � + 1� min = 52,此时� = 2, 所以� ≤ 52. 【解析】本题考查函数的奇偶性,是中档题 (1)根据� −� = � � 求解参数即可. (2)通过参变分离,把原不等式转化成� ≤ � 2+1 � = � + 1 �,然后求解� + 1 �中�的范围,进而求出� + 1 �的最小值. 18.(本小题 12 分) 如图,在直三棱柱��� − �1�1�1中,点�,�分别是��,�1�1中点,平面���1�1 ∩平面��� = �. (1)证明:�/​ /��; (2)若�� = �� = 2 2,平面���1�1 ⊥平面���1�1,且��1 ⊥ ��,求直线�与平面�1�1�所成角的余弦值. 第 14页,共 16页 【答案】解(1)取 ��中点�,连接 ��, �1�, ∵ �,�分别是 ��, ��中点,∴ ��//��且 �� = 12��, 又∵ �1�//��且 �1� = 1 2��,∴ �1�//��且 �1� = ��, ∴四边形 ���1�为平行四边形,∴ ��//�1�, 又 �� ⊄平面 ���1�1 , �1� ⊂平面 ���1�1 ,∴ �� //平面 ���1�1 , ∵ �� ⊂平面 ���,平面 ��� ∩平面 ���1�1 = �,∴ ��//�; (2)由三棱柱为直棱柱,∴ ��1 ⊥平面 �1�1�1 , ∵ �1�1、�1�1 ⊂平面 �1�1�1 ,∴ ��1 ⊥ �1�1 , ��1 ⊥ �1�1 , ∵平面 ���1�1 ⊥平面 ���1�1 ,平面 ���1�1 ∩平面 ���1�1 = ��1 , �1�1 ⊂平面 ���1�1 , ∴ �1�1 ⊥平面 ���1�1 ,�1�1 ⊂平面 ���1�1 ,∴ �1�1 ⊥ �1�1 , 故以 �1 为坐标原点,以 �1�1 , �1�1 , ��1 分别为 �, �, �轴建立空间直角坐标系, 设 ��1 = �,则 �1(0,2 2, 0), �( 2, 0,0), �( 2, 2, �), �(0,0, �), 所以 ��1 = (0,2 2, − �), �� = (0, − 2, − �), 又 ��1 ⊥ ��,则 ��1 ⋅ �� = 0,解得 � = 2, 所以 �( 2, 2, 2), �(0,0,2),则 �1�1 = (0,2 2, 0), �1� = ( 2, 2, 2), 设平面 �1�1�法向量为 � = (�, �, �), 所以 � ⋅ �1�1 = 0 � ⋅ �1� = 0 ,即 2 2� = 0 2� + 2� + 2� = 0 ,取 � = 2,得 � = ( 2, 0, − 1), 由(1)知直线 ��//�,则�方向向量为 �� = (0, − 2, − 2), 第 15页,共 16页 设直线�与平面 ���1�1 所成角为 �, 则 sin � = |cos  � , �� | = | � ⋅�� |� |⋅|�� | | = 23 , 则 cos � = 1 − sin2� = 73 , 所以直线�与平面 ���1�1 所成角的余弦值为 7 3 . 【解析】本题考查线面平行的判定与性质,直线与平面所成角的求法,属于中档题. (1)取 ��中点�,连接 ��, �1�,证得�� //平面 ���1�1 ,由线面平行的性质可证�/​ /��; (2)以 �1 为坐标原点,以 �1�1 , �1�1 , ��1 分别为 �, �, �轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法 可求得直线�与平面�1�1�所成角的余弦值. 19.(本小题 12 分) 函数�(�)和�(�)的图象关于原点对称,且�(�) =− �2 + 2�. (1)求函数�(�)的解析式; (2)解不等式�(�) − �(�) ≤ |� − 1|; (3)若ℎ(�) = �(�) − ��(�) + 1 在[ − 1,1]上是增函数,求实数�的取值范围. 【答案】解:(1)设函数� = �(�)的图象上任意一点�(�0, �0)关于原点的对称点为�(�, �), 则 �0+� 2 = 0 �0+� 2 = 0 ,即 �0 =− � �0 =− � , ∵点�(�0, �0)在函数� = �(�)的图象上, ∴− � =− �2 − 2�, 即� = �2 + 2�,故�(�) = �2 + 2�; (2)由�(�) − �(�) ≤ |� − 1|, 可得 2�2 ≤ |� − 1|, 当� ≥ 1 时,2�2 − � + 1 ≤ 0,此时不等式无解, 当� < 1 时,2�2 + � − 1 ≤ 0, 解得−1 ≤ � ≤ 12, 因此,原不等式的解集为 −1, 12 ; (3)ℎ(�) =− (1 + �)�2 + 2(1 − �)� + 1, ①当� =− 1 时,ℎ(�) = 4� + 1 在[ − 1,1]上是增函数,符合题意, 第 16页,共 16页 ②当� ≠− 1 时,对称轴的方程为� = 1−�1+�, ⅰ)当� <− 1 时,1−�1+� ≤− 1,解得� <− 1, ⅱ)当� >− 1 时,1−�1+� ≥ 1,解得−1 < � ≤ 0. 综上,实数�的取值范围为� ≤ 0. 【解析】本题考查利用函数的单调性解决参数问题,函数的对称性,绝对值不等式,属中档题. (1)设函数� = �(�)的图象上任意一点�(�0, �0)关于原点的对称点为�(�, �),利用函数�(�)和�(�)的图象关 于原点对称,可求得对称点之间的坐标关系,利用�(�) = − �2 + 2�,可求函数�(�)的解析式; (2)将� � 和� � 解析式代入转化为 2�2 ≤ � − 1 ,再通过分类讨论去掉绝对值,转化为一元二次不等式 求解; (3)ℎ(�) =− (1 + �)�2 + 2(1 − �)� + 1,其对称轴方程为� = 1−�1+�,利用ℎ(�) = �(�) − ��(�) + 1 在� ∈ [ − 1,1]上是增函数,可求实数�的取值范围.

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江苏省南通市第一中学2024-2025学年高三上学期8月强化训练三数学试题
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