内容正文:
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高三数学强化训练三 8.3
1.已知集合� = {� ∈ �|�2 − 3� − 4 ≤ 0},� = {�|0 < � ≤ 3},则�∩ � =( )
A. { − 1,0,1,2,3} B. {1,2,3} C. (0,3] D. [ − 1,4]
2.已知函数� � 在区间 − �2 ,
�
2 的图象如下图所示,则� � 的解析式可能为( )
A. �
3−�
2�+2−� B.
1−�2
2�+2−� C.
�cos2�
2�+2−� D.
sin2�
2�+2−�
3.某学生为制作圆台形容器,利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是 2��和 4��)铁皮材料,
通过卷曲使得��边与��边对接制成圆台形容器的侧面,则该圆台的高为( )
A. 32 �� B. 1�� C. 3�� D.
3 3
2 ��
4.若函数� = �2 − 2� − 3的定义域为 −1, � ,值域为 −4,0 ,则实数�的取值范围为( )
A. 1 ≤ � ≤ 3 B. 1 < � < 3 C. −1 < � < 3 D. −1 < � ≤ 3
5.函数�(�) = ����(5 − ��)(� > 0, � ≠ 1)在(1,3)上是减函数,则�的取值范围是( )
A. [ 53 , + ∞) B. (
1
5 , 1) C. (1,
5
3 ) D. (1,
5
3 ]
6.已知� > 0,� > 0,� + � = 1,则2�
2−�+1
�� 的最小值为( )
A. 4 B. 143 C. 2 + 2 D. 2 2 + 1
7.已知函数� � = −
1
� , � < 0,
� − 2 + �, � ≥ 0.
若� � 的图象上至少有两对点关于�轴对称,则实数�的取值范围是
( )
A. −∞, 12 B.
1
2 , + ∞ C. 0,
1
2 D. 0,1
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8.如图,在三棱锥� − ���中,∠��� = 60∘,2�� = �� = �� = ��,平面��� ⊥平面���,�是��的中点,
�� = 4 3,则三棱锥� − ���的外接球的表面积为( )
A. 160�3 B. 40� C.
208�
3 D. 80�
9.下列命题正确的是( )
A.命题“对任意� ∈ �,�2 + � + 1 < 0”的否定是“存在� ∉ �,使得�2 + � + 1 ≥ 0”
B.“1� < 1”的充分不必要条件是“� > 1”
C.设�, � ∈ �,则“� ≥ 2 且� ≥ 2”是“�2 + �2 ≥ 4”的充分不必要条件
D.设�, � ∈ �,则“� ≠ 0”是“�� ≠ 0”的充分不必要条件
10.已知函数� � 的定义域为�,� � + � − � � − � = � � + 32 � � +
3
2 ,� 0 ≠ 0,则( )
A. � 32 = 0 B.函数� � 是奇函数
C. � 0 =− 2 D. � � 的一个周期为 3
11.如图所示,在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中,�为线段�1�的中点,�,�分别为线段��1,�1�1
上的动点,则下列说法正确的是( )
A. �1� ⊥平面��� B.存在点�,�,使得��//��
C.平面���与平面����所成的角为�4 D. �� + ��的最小值为
2
2 + 1
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12.已知� ∈ �,不等式�−3�+� ≥ 1 的解集为�,且−2 ∈ �,则�的取值范围是 .
13.定义在�上的奇函数�(�)满足�(2) = 3,且函数�(�) = �(�) − 2�在[0, + ∞)上单调递减,则不等式�(� −
1) > 2� − 1 的解集为 .
14.已知函数�(�) = �
3, �⩾0,
2 − |2� + 1|, � < 0 .若方程�
2(�) − 2�(�) + � = 0 有 5 个实数根,则�的取值范围
为 .
15.已知集合� = {�|� ≤ 2�−1 ≤ 4},集合� = {�|log3(2� + 1) < 2}.
(1)当� = 12,求 ∁�� ∩ �;
(2)已知“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分不必要条件,求�的取值范围.
16.已知幂函数� � = �4�−�2(� ∈ �)的图象关于�轴对称,且� 2 < � 3 .
(1)求�的值及函数� � 的解析式;
(2)若� � + 2 < � 1 − 2� ,求实数�的取值范围.
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17.已知函数� � = 2� − � ⋅ 2−�是定义在�上的偶函数.
(1)求� � 的解析式;
(2)若不等式[� � ]2 − �� � + 1 ≥ 0 对� ∈ �恒成立,求�的取值范围.
18.如图,在直三棱柱��� − �1�1�1中,点�,�分别是��,�1�1中点,平面���1�1 ∩平面��� = �.
(1)证明:�/ /��;
(2)若�� = �� = 2 2,平面���1�1 ⊥平面���1�1,且��1 ⊥ ��,求直线�与平面�1�1�所成角的余弦值.
19.函数�(�)和�(�)的图象关于原点对称,且�(�) =− �2 + 2�.
(1)求函数�(�)的解析式;
(2)解不等式�(�) − �(�) ≤ |� − 1|;
(3)若ℎ(�) = �(�) − ��(�) + 1 在[ − 1,1]上是增函数,求实数�的取值范围.
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1.已知集合� = {� ∈ �|�2 − 3� − 4 ≤ 0},� = {�|0 < � ≤ 3},则�∩ � =( )
A. { − 1,0,1,2,3} B. {1,2,3} C. (0,3] D. [ − 1,4]
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了集合的表示方法以及集合的基本运算,属于基础题.
先求出集合�,再根据交集运算即可求得结论.
【解答】
解:∵集合� = {� ∈ �|�2 − 3� − 4 ≤ 0}
= {� ∈ �| − 1 ≤ � ≤ 4}
= { − 1,0,1,2,3,4},
� = {�|0 < � ≤ 3},
∴ �⋂� = {1,2,3}.
故选:�.
2.已知函数� � 在区间 − �2 ,
�
2 的图象如下图所示,则� � 的解析式可能为( )
A. �
3−�
2�+2−� B.
1−�2
2�+2−� C.
�cos2�
2�+2−� D.
sin2�
2�+2−�
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别,余弦型函数的奇偶性,指数函数的单调性与最值,属于中档题.
结合函数图像,根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果.
【解答】
解:当 0 < � < 1 时,�3 − � < 0,所以� = �
3−�
2�+2−� < 0,由图可知�不符合;
因为
1− −� 2
2−�+2− −� =
1−�2
2�+2−�,所以� =
1−�2
2�+2−�为偶函数,由题给图象可知函数是奇函数,故 B 不符合;
当� = �2时,� =
sin2�
2�+2−� =
sin2�2
2
�
2+2−
�
2
= 0,由图可知�不符合;
由奇函数定义可知函数� = �cos2�2�+2−�为奇函数,当 0 < � <
�
4时� =
�cos2�
2�+2−� > 0,
当� = �2时,� =
�cos2�
2�+2−� =
�
2cos 2×
�
2
2
�
2+2−
�
2
< 0,选项 C 符合图像特征,故 C 正确;
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故选:�.
3.某学生为制作圆台形容器,利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是 2��和 4��)铁皮材料,
通过卷曲使得��边与��边对接制成圆台形容器的侧面,则该圆台的高为( )
A. 32 �� B. 1�� C. 3�� D.
3 3
2 ��
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆台的结构特征,属于中档题.
根据圆台的侧面展开图求得
� = 1
� = 2
� = 2
,再结合圆台的结构特征分析求解.
【解答】
解:设圆台的上底面半径为���,下底面半径为���,母线长为���,高为ℎ��,
由题意可得:
2�� = 12 × 2� × 2
2�� = 12 × 2� × 4
� = 2
,解得
� = 1
� = 2
� = 2
,
所以该圆台的高为ℎ = �2 − � − � 2 = 3 �� .
故选:�.
4.若函数� = �2 − 2� − 3的定义域为 −1, � ,值域为 −4,0 ,则实数�的取值范围为( )
A. 1 ≤ � ≤ 3 B. 1 < � < 3 C. −1 < � < 3 D. −1 < � ≤ 3
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的性质.属于中档题.
由已知利用二次函数的图象与性质进行求解.
【解答】
解:由题意得:� � = �2 − 2� − 3 为开口向上的抛物线,对称轴为直线� = 1,
�(�)在( −∞,1)上单调递减,在(1, + ∞)上单调递增,
�( − 1) = 1 + 2 − 3 = 0,�(3) = 32 − 2 × 3 − 3 = 0,∴ �( − 1) = �(3) = 0,�(1) = 1 − 2 − 3 =− 4,即
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�(�)��� = �(1) =− 4,
因为� = �2 − 2� − 3 的定义域为 −1, � ,值域为 −4,0 ,
根据二次函数图象,数形结合可知 1⩽�⩽3,故选 A.
5.函数�(�) = ����(5 − ��)(� > 0, � ≠ 1)在(1,3)上是减函数,则�的取值范围是( )
A. [ 53 , + ∞) B. (
1
5 , 1) C. (1,
5
3 ) D. (1,
5
3 ]
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性,涉及对数函数的性质,属于基础题.
由条件利用对数函数的性质,复合函数的单调性,可得
� > 1
3 ≤ 5�
,由此求得�的范围.
【解答】
解:对于函数�(�) = log�(5 − ��),令� = 5 − ��,则� = �����,
又由� > 0, � ≠ 1 知� = 5 − ��在(1,3)上为减函数,
若函数函数�(�) = ����(5 − ��)在(1,3)上是减函数,
因为�(�)的定义域为 −∞, 5� ,所以
� > 1
3 ≤ 5�
,
解得 1 < � ≤ 53,
即�的范围是(1, 53 ].
故选 D.
6.已知� > 0,� > 0,� + � = 1,则2�
2−�+1
�� 的最小值为( )
A. 4 B. 143 C. 2 + 2 D. 2 2 + 1
【答案】D
【解析】【分析】
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本题考查了基本不等式及其应用,属于中档题.
将� + � = 1 代入2�
2−�+1
�� 中,利用基本不等式求解即可.
【解答】
原式= 2�
2−�(�+�)+(�+�)2
�� =
2�2+��+�2
�� =
2�
� +
�
�+ 1 ≥ 2 2 + 1,
当且仅当
2�
� =
�
�,即�
2 = 2�2,� = 2 − 1, � = 2 − 2时等号可以取到,
故选 D.
7.已知函数� � = −
1
� , � < 0,
� − 2 + �, � ≥ 0.
若� � 的图象上至少有两对点关于�轴对称,则实数�的取值范围是
( )
A. −∞, 12 B.
1
2 , + ∞ C. 0,
1
2 D. 0,1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数零点的个数问题,是中档题.
由题意画出� = �与� = 1� − |� − 2|的图象,结合函数图像即可求解.
【解答】
解:当� < 0 时,�(�) =− 1�,则其关于�轴对称的图象所对应的函数解析式为� =
1
�,� > 0.
由题意知当� > 0 时,� = 1�与� = |� − 2| + �的图象至少有两个公共点,即方程
1
� = |� − 2| + �在区间(0, +
∞)内至少有两个实根.
令� = �,� = 1� − |� − 2| =
� + 1� − 2,0 < �⩽2,
1
� − � + 2, � > 2.
在同一平面直角坐标系中分别作出� = �与� = 1� − |� − 2|
的图象,
如图.
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由图可知,若直线� = �与曲线� = 1� − |� − 2|(� > 0)至少有两个公共点,则 0 ≤ � ≤
1
2,
故实数�的取值范围是[0, 12 ].
8.如图,在三棱锥� − ���中,∠��� = 60∘,2�� = �� = �� = ��,平面��� ⊥平面���,�是��的中点,
�� = 4 3,则三棱锥� − ���的外接球的表面积为( )
A. 160�3 B. 40� C.
208�
3 D. 80�
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查棱锥的外接球问题,属于一般题.
确定球心位置,求出三棱锥的外接球的半径�2,由球的表面积公式即可求解.
【解答】
解:由题意得△ ���为等边三角形,且高�� = 4 3,所以�� = �� = �� = 8.
由题意知�� = �� = 4,又∠��� = 60∘,知△ ���为等边三角形.
平面��� ⊥平面���,�� ⊥ ��,平面��� ∩平面��� = ��,�� ⊂平面���,所以�� ⊥平面���,
设△ ���的外心为�,过点�作直线� ⊥平面���,则有�//��,又△ ���为等边三角形,
则三棱锥� − ���的外接球的球心在直线�上,
设球心为点�,过点�作�� ⊥ ��于点�,则易证�为��的中点,连接��,
则三棱锥的外接球的半径�2 = ��2 = ��2 + ��2 = 42 + ( 2 33 )
2 = 523.
所以三棱锥� − ���的外接球的表面积� = 4��2 = 208�3 ,
故选 C.
9.下列命题正确的是( )
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A.命题“对任意� ∈ �,�2 + � + 1 < 0”的否定是“存在� ∉ �,使得�2 + � + 1 ≥ 0”
B.“1� < 1”的充分不必要条件是“� > 1”
C.设�, � ∈ �,则“� ≥ 2 且� ≥ 2”是“�2 + �2 ≥ 4”的充分不必要条件
D.设�, � ∈ �,则“� ≠ 0”是“�� ≠ 0”的充分不必要条件
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定,充分、必要、充要条件的判断,利用不等式的基本性质判
断不等关系,属于中档题.
对于�选项,用量词命题的否定可得解;对于�选项,用集合法可以判断;对于�选项,用充分条件和必要条
件的定义可以判断,对于�选项,用等价法可以判断.
【解答】
解:对于�选项,命题“对任意� ∈ �,�2 + � + 1 < 0”的否定是“存在� ∈ �,使得�2 + � + 1 ≥ 0”,故 A
错误;
对于�选项,1� < 1 ⇒ � < 0 或� > 1,因为 �|� > 1 ⫋{�|� < 0 或� > 1},所以“� > 1”是“
1
� < 1”的充分
不必要条件,故 B 正确;
对于�选项,充分性:当� ≥ 2 且� ≥ 2 时,�2 ≥ 4 且�2 ≥ 4,则�2 + �2 ≥ 8 ≥ 4,所以具有充分性,
必要性:令� = 2, � = 1,�2 + �2 = 5 ≥ 4,但“� ≥ 2 且� ≥ 2”不成立,所以不具有必要性,
所以“� ≥ 2 且� ≥ 2”是“�2 + �2 ≥ 4”的充分不必要条件,故 C 正确;
对于�选项,因为“�� = 0”是“� = 0”的必要不充分条件,所以“� ≠ 0”是“�� ≠ 0”的必要不充分条
件,故 D 错误.
故选:��.
10.已知函数� � 的定义域为�,� � + � − � � − � = � � + 32 � � +
3
2 ,� 0 ≠ 0,则( )
A. � 32 = 0 B.函数� � 是奇函数
C. � 0 =− 2 D. � � 的一个周期为 3
【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性,求函数值,函数周期性定义,属于中档题.
根据条件等式,利用赋值法,求特殊函数值,以及判断函数的奇偶性和周期性.
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【解答】
解:令� = � = 0,则� 0 − � 0 = �2 32 ,所以�
3
2 = 0,�选项正确;
令� = 0,则� � − � −� = � 32 � � +
3
2 = 0,即� � = � −� ,所以� � 是偶函数,�选项错误;
� 3 = � −3 ,令� = � = 32,则� 3 − � 0 = �
2 3 ,
令� = � =− 32,则� −3 − � 0 = �
2 0 = � 3 − � 0 ,所以�2 0 = �2 3 ,
所以 �2 0 + � 0
2
= �2 0 ,因为� 0 ≠ 0,所以� 0 =− 2,� 3 = 2,�选项正确;
令� =− 32,则� � −
3
2 − � � +
3
2 = � � +
3
2 � 0 =− 2� � +
3
2 ,
所以� � − 32 + � � +
3
2 = 0,� � +
3
2 + � � +
9
2 = 0,所以� � −
3
2 = � � +
9
2 ,所以�(�) = �(� + 6),
� � 的一个周期为 6,�选项错误.
故选:��.
11.如图所示,在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中,�为线段�1�的中点,�,�分别为线段��1,�1�1
上的动点,则下列说法正确的是( )
A. �1� ⊥平面��� B.存在点�,�,使得��//��
C.平面���与平面����所成的角为�4 D. �� + ��的最小值为
2
2 + 1
【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定,线线平行,平面与平面所成角和空间中距离的最小值,属于难题.
由�1�1 ⊥ �1�及�1� ⊥ ��1证得�1� ⊥平面��1�1即可判断�选项;若存在,可得�1� ⊥ ��,又∠�1�� <
�
2
推出矛盾,即可判断�选项;找出∠�1��即为平面���与平面����所成角的平面角即可判断�选项;在平面
��1�1中,由平面几何知识求出�� + ��的最小值为
5
3即可判断�选项.
【解答】
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解:对于�,连接��1,则�为线段��1的中点,易得平面���为平面��1�1,
显然�1�1 ⊥平面�1���1,�1� ⊂平面�1���1,
则�1�1 ⊥ �1�,又�1� ⊥ ��1,��1 ∩ �1�1 = �1,��1, �1�1 ⊂平面��1�1,
则�1� ⊥平面��1�1,即�1� ⊥平面���, A 正确;
对于�,由�知,�1� ⊥平面���,又�� ⊂平面���,则�1� ⊥ ��,
若存在点�,�,使得��//��,则�1� ⊥ ��,
连接��, �1�,又�为线段�1�的中点,则�1� = ��,显然∠�1�� <
�
2,矛盾,
则不存在点�,�,使得��//��, B 错误;
对于�,由�知,平面���即平面��1�1,即平面��1�1�,
则平面��� ∩平面���� = ��,连接��1,又�� ⊥ ��,
�� ⊥平面�1���1,��1 ⊂平面�1���1,则�� ⊥ ��1,
∠�1��即为平面���与平面����所成角的平面角,
又∠�1�� =
�
4,则平面���与平面����所成的角为
�
4, C 正确;
对于�,在平面��1�1中,作�关于�1�的对称点�,�� ∩ �1� = �,
过�作�� ⊥ �1�交�1�于点�,作��1 ⊥ �1�1交�1�1于点�1,
又��1 = 2,��1 = 2+ 2 + 2 = 6,sin∠�1��1 =
2
6 =
3
3 ,
则�� = �����∠�1��1 =
3
3 ,所以�� = 2�� =
2 3
3 ,
第 9页,共 16页
所以�� = ����� ∠��� = ����� ∠�1��1 =
2
3,
又因为�� + �� = �� + ��
⩾��1 = ��1 = �� + ��1 = 1 +
2
3 =
5
3,
所以�� + ��的最小值为53,D 错误.
故选:��.
12.已知� ∈ �,不等式�−3�+� ≥ 1 的解集为�,且−2 ∈ �,则�的取值范围是 .
【答案】 �| − 3⩽� < 2
【解析】【分析】
本题主要考查了元素与集合的关系,以及不等式的求解,其中解答中熟记元素与集合的关系,以及不等式
的求法是解答的关键,着重考查了运算能力,属于中档题.
根据题意,由不等式的解集可得
−2−3
−2+� ≥ 1,变形可得:(� + 3)(� − 2) ≤ 0 且� − 2 ≠ 0,解可得�的取值范
围,即可得答案.
【解答】
解:根据题意,不等式
�−3
�+� ≥ 1 的解集为�,且−2 ∈ �,
则有
−2−3
−2+� ≥ 1,即
5
�−2 ≤− 1,变形可得:(� + 3)(� − 2) ≤ 0 且� − 2 ≠ 0,
解可得:−3 ≤ � < 2,
即�的取值范围为 �| − 3⩽� < 2 ;
故答案为: �| − 3⩽� < 2 .
13.定义在�上的奇函数�(�)满足�(2) = 3,且函数�(�) = �(�) − 2�在[0, + ∞)上单调递减,则不等式�(� −
1) > 2� − 1 的解集为 .
【答案】( − ∞, − 1)
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性,属于中档题.
由奇函数定义可得函数�(�)也是奇函数,从而可得�(�)在�上递减,将不等式变形,可得�(� − 1) >− �(2) =
�( − 2),结合单调性解不等式即可.
【解答】
解:�(�) = �(�) − 2�,则�( − �) = �( − �) + 2� =− �(�) + 2� =− �(�),即�(�)也为奇函数,
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又函数�(�)在[0, + ∞)上单调递减,由对称性可知,�(�)在�上递减,
又因为�(2) = 3,所以�(2) = 3 − 4 =− 1,
所以�(� − 1) > 2� − 1 ⇒ �(� − 1) − 2(� − 1) > 1,
即�(� − 1) >− �(2) = �( − 2),
所以� − 1 <− 2 ⇒ � <− 1,即解集为( − ∞, − 1).
14.已知函数�(�) = �
3, �⩾0,
2 − |2� + 1|, � < 0 .若方程�
2(�) − 2�(�) + � = 0 有 5 个实数根,则�的取值范围
为 .
【答案】 0,1
【解析】【分析】
本题考查分段函数的图象,二次方程根的分布,属于中档题.
令� = � � ,则�2 − 2� + � = 0 有两个不相等的实数根�1、�2,则且,则 0 ≤ �1 < 1 且 1 < �2 < 2,或�1 = 2
且 1 < �2 < 2,或�1 = 1 且 1 < �2 < 2,再根据二次函数根的分布问题计算可得.
【解答】
解:因为�(�) = �
3, �⩾0,
2 − |2� + 1|, � < 0 ,
所以� � 的图象如下所示:
因为方程�2 � − 2� � + � = 0 有 5 个实数根,令� = � � ,
则�2 − 2� + � = 0 有两个不相等的实数根�1、�2,
则 0 ≤ �1 < 1 且 1 < �2 < 2,或�1 = 2 且 1 < �2 < 2,或�1 = 1 且 1 < �2 < 2;
令� � = �2 − 2� + �,
(1)当 0 ≤ �1 < 1 且 1 < �2 < 2 时,
则
� 0 ≥ 0
� 1 < 0
� 2 > 0
,即
� ≥ 0
1 − 2 + � < 0
� > 0
,解得 0 < � < 1;
(2)当�1 = 2 且 1 < �2 < 2,则� 2 = � = 0,此时�2 − 2� = 0,
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解得�1 = 2,�2 = 0,不符合题意;
(3)当�1 = 1 且 1 < �2 < 2 时,
则� 1 =− 1 + � = 0,解得� = 1,
此时�2 − 2� + 1 = 0,解得�1 = �2 = 1,不符合题意;
综上可得若方程�2(�) − 2�(�) + � = 0 有 5 个实数根,
则�的取值范围为 0,1 .
故答案为: 0,1 .
15.(本小题 12 分)
已知集合� = {�|� ≤ 2�−1 ≤ 4},集合� = {�|log3(2� + 1) < 2}.
(1)当� = 12,求 ∁�� ∩ �;
(2)已知“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分不必要条件,求�的取值范围.
【答案】解:(1)当� = 12时,
则� = {�| 12 ≤ 2
�−1 ≤ 4}
= {�| − 1 ≤ � − 1 ≤ 2} = {�|0 ≤ � ≤ 3},
则∁ �� = {�|� < 0 或� > 3},
� = {�|log3(2� + 1) < 2} = {�|0 < 2� + 1 < 9}
= {�| − 12 < � < 4},
故(∁ ��) ∩ � = {�| −
1
2 < � < 0 或 3 < � < 4};
(2)因为“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分不必要条件,
所以�是�的真子集,
若� = ⌀,则� > 4,符合题意;
若� ≠ ⌀,则� ≤ 4,
由� = {�|� ≤ 2�−1 ≤ 4},
得� = {�|2log2 � ≤ 2�−1 ≤ 22}
= {�|log2� + 1 ≤ � ≤ 3},
结合(1)知,只需log2� + 1 >−
1
2,即2
−32 < � ≤ 4,
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综上,� > 2−
3
2 = 24 ,
即�的取值范围为( 24 , + ∞).
【解析】本题考查了交并补混合运算和充分不必要条件的应用,属于中档题.
(1)当� = 12,得出集合�,可得∁ ��,再得出集合�,由集合的运算可得结果;
(2)由“� ∈ �”是“� ∈ �”的充分不必要条件,得�是�的真子集,分� = ⌀和� ≠ ⌀两种情况求解即可.
16.(本小题 12 分)
已知幂函数� � = �4�−�2(� ∈ �)的图象关于�轴对称,且� 2 < � 3 .
(1)求�的值及函数� � 的解析式;
(2)若� � + 2 < � 1 − 2� ,求实数�的取值范围.
【答案】解:(1)由题意,函数� � = �4�−�2(� ∈ �)的图象关于�轴对称,且� 2 < � 3 ,
所以� � 在区间(0, + ∞)上单调递增,
所以�2 − 4� < 0,解得 0 < � < 4,
由� ∈ �,得� = 1 或 2 或 3,
又函数� � = �4�−�2的图象关于�轴对称,
所以 4� −�2为偶数,
所以� = 2,所以� � = �4.
(2)因为函数� � = �4图象关于�轴对称,且在区间(0, + ∞)上单调递增,
所以不等式� � + 2 < � 1 − 2� ,等价于|� + 2| < |1 − 2�|,
解得� > 3 或� <− 13,
所以实数�的取值范围是( − ∞, − 13 ) ∪ (3, + ∞).
【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数单调性的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档
题.
(1)由函数�(�)的图象关于�轴对称,且� 2 < � 3 ,得到函数在区间(0, + ∞)上单调递增,即�2 − 4� < 0,
再由� ∈ �且 4� −�2为偶数求得�的值.
(2)根据函数� � = �4图象关于�轴对称,且在区间(0, + ∞)上单调递增,将不等式� � + 2 < � 1 − 2� ,
转化为|� + 2| < |1 − 2�|求解.
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17.(本小题 12 分)
已知函数� � = 2� − � ⋅ 2−�是定义在�上的偶函数.
(1)求� � 的解析式;
(2)若不等式[� � ]2 − �� � + 1 ≥ 0 对� ∈ �恒成立,求�的取值范围.
【答案】解:(1)因为函数� � = 2� − � ⋅ 2−�是定义在�上的偶函数,
所以� −� = � � ,可得2−� − � ⋅ 2� = 2� − � ⋅ 2−�恒成立,
即2� ⋅ 1 + � = 2−� ⋅ 1 + � ,所以 2� − 2−� 1 + � = 0,
所以 1 + � = 0,� =− 1,
所以� � = 2� + 2−�.
(2)由(1)知� � = 2� + 2−�,令� = 2�,则� > 0,� = � + 1� ≥ 2.
因为不等式 � � 2 − �� � + 1 ≥ 0 恒成立,等价于�2 − �� + 1 ≥ 0 恒成立,
所以� ≤ �
2+1
� = � +
1
�恒成立,则� ≤ � +
1
� min
,
又因为� ≥ 2,所以 � + 1� min
= 52,此时� = 2,
所以� ≤ 52.
【解析】本题考查函数的奇偶性,是中档题
(1)根据� −� = � � 求解参数即可.
(2)通过参变分离,把原不等式转化成� ≤ �
2+1
� = � +
1
�,然后求解� +
1
�中�的范围,进而求出� +
1
�的最小值.
18.(本小题 12 分)
如图,在直三棱柱��� − �1�1�1中,点�,�分别是��,�1�1中点,平面���1�1 ∩平面��� = �.
(1)证明:�/ /��;
(2)若�� = �� = 2 2,平面���1�1 ⊥平面���1�1,且��1 ⊥ ��,求直线�与平面�1�1�所成角的余弦值.
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【答案】解(1)取 ��中点�,连接 ��, �1�,
∵ �,�分别是 ��, ��中点,∴ ��//��且 �� = 12��,
又∵ �1�//��且 �1� =
1
2��,∴ �1�//��且 �1� = ��,
∴四边形 ���1�为平行四边形,∴ ��//�1�,
又 �� ⊄平面 ���1�1 , �1� ⊂平面 ���1�1 ,∴ �� //平面 ���1�1 ,
∵ �� ⊂平面 ���,平面 ��� ∩平面 ���1�1 = �,∴ ��//�;
(2)由三棱柱为直棱柱,∴ ��1 ⊥平面 �1�1�1 ,
∵ �1�1、�1�1 ⊂平面 �1�1�1 ,∴ ��1 ⊥ �1�1 , ��1 ⊥ �1�1 ,
∵平面 ���1�1 ⊥平面 ���1�1 ,平面 ���1�1 ∩平面 ���1�1 = ��1 , �1�1 ⊂平面 ���1�1 ,
∴ �1�1 ⊥平面 ���1�1 ,�1�1 ⊂平面 ���1�1 ,∴ �1�1 ⊥ �1�1 ,
故以 �1 为坐标原点,以 �1�1 , �1�1 , ��1 分别为 �, �, �轴建立空间直角坐标系,
设 ��1 = �,则 �1(0,2 2, 0), �( 2, 0,0), �( 2, 2, �), �(0,0, �),
所以 ��1 = (0,2 2, − �), �� = (0, − 2, − �),
又 ��1 ⊥ ��,则 ��1 ⋅ �� = 0,解得 � = 2,
所以 �( 2, 2, 2), �(0,0,2),则 �1�1 = (0,2 2, 0), �1� = ( 2, 2, 2),
设平面 �1�1�法向量为 � = (�, �, �),
所以
� ⋅ �1�1 = 0
� ⋅ �1� = 0
,即
2 2� = 0
2� + 2� + 2� = 0
,取 � = 2,得 � = ( 2, 0, − 1),
由(1)知直线 ��//�,则�方向向量为 �� = (0, − 2, − 2),
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设直线�与平面 ���1�1 所成角为 �,
则 sin � = |cos � , �� | = | � ⋅��
|� |⋅|�� |
| = 23 ,
则 cos � = 1 − sin2� = 73 ,
所以直线�与平面 ���1�1 所成角的余弦值为
7
3 .
【解析】本题考查线面平行的判定与性质,直线与平面所成角的求法,属于中档题.
(1)取 ��中点�,连接 ��, �1�,证得�� //平面 ���1�1 ,由线面平行的性质可证�/ /��;
(2)以 �1 为坐标原点,以 �1�1 , �1�1 , ��1 分别为 �, �, �轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法
可求得直线�与平面�1�1�所成角的余弦值.
19.(本小题 12 分)
函数�(�)和�(�)的图象关于原点对称,且�(�) =− �2 + 2�.
(1)求函数�(�)的解析式;
(2)解不等式�(�) − �(�) ≤ |� − 1|;
(3)若ℎ(�) = �(�) − ��(�) + 1 在[ − 1,1]上是增函数,求实数�的取值范围.
【答案】解:(1)设函数� = �(�)的图象上任意一点�(�0, �0)关于原点的对称点为�(�, �),
则
�0+�
2 = 0
�0+�
2 = 0
,即
�0 =− �
�0 =− � ,
∵点�(�0, �0)在函数� = �(�)的图象上,
∴− � =− �2 − 2�,
即� = �2 + 2�,故�(�) = �2 + 2�;
(2)由�(�) − �(�) ≤ |� − 1|,
可得 2�2 ≤ |� − 1|,
当� ≥ 1 时,2�2 − � + 1 ≤ 0,此时不等式无解,
当� < 1 时,2�2 + � − 1 ≤ 0,
解得−1 ≤ � ≤ 12,
因此,原不等式的解集为 −1, 12 ;
(3)ℎ(�) =− (1 + �)�2 + 2(1 − �)� + 1,
①当� =− 1 时,ℎ(�) = 4� + 1 在[ − 1,1]上是增函数,符合题意,
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②当� ≠− 1 时,对称轴的方程为� = 1−�1+�,
ⅰ)当� <− 1 时,1−�1+� ≤− 1,解得� <− 1,
ⅱ)当� >− 1 时,1−�1+� ≥ 1,解得−1 < � ≤ 0.
综上,实数�的取值范围为� ≤ 0.
【解析】本题考查利用函数的单调性解决参数问题,函数的对称性,绝对值不等式,属中档题.
(1)设函数� = �(�)的图象上任意一点�(�0, �0)关于原点的对称点为�(�, �),利用函数�(�)和�(�)的图象关
于原点对称,可求得对称点之间的坐标关系,利用�(�) =
− �2 + 2�,可求函数�(�)的解析式;
(2)将� � 和� � 解析式代入转化为 2�2 ≤ � − 1 ,再通过分类讨论去掉绝对值,转化为一元二次不等式
求解; (3)ℎ(�) =− (1 + �)�2 + 2(1 − �)� + 1,其对称轴方程为� = 1−�1+�,利用ℎ(�) = �(�) −
��(�) + 1 在� ∈ [ − 1,1]上是增函数,可求实数�的取值范围.