江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期暑假模拟测试数学试题

2024-2025学年度第一学期高三年级模拟考试 数 学 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知复数z₁=1-2i，z₂=a+2i(其中i为虚数单位，a∈R). 若z1·z2是纯虚数，则a=( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 2.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A},则B中包含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 3.有6名男教师和5名女教师，从中选出2名男教师、1名女教师组成一个支教小组，则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 4.若变量x，y满足（赵老师手打）约束条件3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，则z=x+2y的最小值为( ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-4 5.在△ABC中，已知∠B=30°，c=2，则“b= 2 ”是“∠C=45°”成立的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 6.已知函数   cbxaxxxf  23 ，下列结论中错误的是( ) A.   0, 00  xfRx B.函数  xfy  的图像是中心对称图形 C.若 0x 是  xf 的极小值点，则  xf 在区间  0, x 单调递减 D.若 0x 是  xf 的极值点，则   00  xf 7.已知实数 cba ,, 满足 1,0 222  cbacba ，则a的最大值是( ) A. 2 2 B. 2 1 C. 3 6 D. 3 2 8.设直线 21, ll 分别是函数       1,ln 10,ln ＞ ＜＜ xx xx xf 图像上点 21 PP， 处的切线，1l 与 2l 相交垂直于点P，且 21, ll 分别与y轴相交于点 BA, ，则则△PAB的面积的取值范围是( ) A.  10， B.  20， C.  ，0 D.  ，1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9.设函数    xgxf , 的定义域都为R，且  xf 是奇函数，  xg 是偶函数，则下列结论正确的是( ) A.    xgxf  是奇函数 B.    xgxf  是偶函数 C.    xgxf  是奇函数 D.    xgxf  是奇函数 10.若 101 ＜＜，＞＞ cba ，则( ) A. cc ba ＜ B. cc baab＞ C. cbca ab loglog ＜ D. cc ba loglog ＞ 11.已知不等式    03 2  bxax 对任意   ,0x 恒成立，其中 ba, 是整数，则 ba  的取值可以为( ) A.-4 B.-2 C.0 D.8 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分. 12.已知集合（赵老师手打）    1lg|,065| 2 ＜xxNxxxM  ，则 NM  . 13.设         ,112 10, xx xxxf ， ，＜＜ 若    1 afaf ，则       a f 1 . 14.若当 0＞x 且 1x 时，不等式 x k x x xx x     1 ln1 1 ln ＞ 恒成立，则实数k的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，若 ABDC  ，且向量 PC 与 BD夹角的余弦值为 15 15 . (1)求实数λ值； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 16.(15分) 已知向量     .,cos32sin,cos,sin,cos Rxxxxnxxm  设   nmxf  . （1）求函数  xf 的单调递增区间；（赵老师手打） （2）在△ABC中，若   BACBCABBACf  ,6,2,1 的平分线交BC于点D，求AD的长. 17.(15分) 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：  012 2 2 2 ＞＞ba b y a x  的离心率为 21,2 3 FF， 分别是椭圆的左、右焦 点，过 2F 作两条互相垂直的直线 21, ll ，直线 1l 与C交于A，B两点，直线 2l 与C交于D，E两点，且△AF₁F2 的周长是 324 . (1)求椭圆C的方程； (2)当 DEAB 2 3  时，求△ODE的面积. 18.(17分) 设函数     .,ln Raaxxaxxf  (1)若 0a ，求函数  xf 的单调区间；（赵老师手打） (2)若 0 e 2 2 ＜＜a ，试判断函数  xf 在区间  22 e,e 内的极值点的个数，并说明理由； (3)求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的     1,,  axfattx ＜ . 19.(17分) “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办 形式多样的猜灯谜活动. (1)某商户“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到 稍难的C类并答对购物打七折优惠。抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3 张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的 卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止.求该顾客取到写有B卡片的概率. (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共 会遇到n条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)，最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准 备采用如下策略：不摘前k(1≤k<n) 条灯谜，自第k+1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这 条灯谜，否则就摘最后一条.设 tnk  ，记小明摘到那 条最适合的灯谜的概率为P. ①若 2,4  kn ，求P；（赵老师手打） ②当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值. （取 k n nkk ln 1 1 1 11      ） 2024-2025学年度第一学期高三年级模拟考试 数 学 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知复数z₁=1-2i，z₂=a+2i(其中i为虚数单位，a∈R). 若z1·z2是纯虚数，则a=( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 【答案】A 2.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A},则B中包含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 【答案】D 3.有6名男教师和5名女教师，从中选出2名男教师、1名女教师组成一个支教小组，则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 【答案】C 4.若变量x，y满足（赵老师手打）约束条件3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，则z=x+2y的最小值为( ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-4 【答案】B 5.在△ABC中，已知∠B=30°，c=2，则“b= 2 ”是“∠C=45°”成立的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】B 6.已知函数   cbxaxxxf  23 ，下列结论中错误的是( ) A.   0, 00  xfRx B.函数  xfy  的图像是中心对称图形 C.若 0x 是  xf 的极小值点，则  xf 在区间  0, x 单调递减 D.若 0x 是  xf 的极值点，则   00  xf 【答案】C 7.已知实数 cba ,, 满足 1,0 222  cbacba ，则a的最大值是( ) A. 2 2 B. 2 1 C. 3 6 D. 3 2 【答案】C 8.设直线 21, ll 分别是函数       1,ln 10,ln ＞ ＜＜ xx xx xf 图像上点 21 PP， 处的切线，1l 与 2l 相交垂直于点P，且 21, ll 分别与y轴相交于点 BA, ，则则△PAB的面积的取值范围是( ) A.  10， B.  20， C.  ，0 D.  ，1 【答案】A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6分，（赵老师手打）部分选对得部分分，有选错的得 0分. 9.设函数    xgxf , 的定义域都为R，且  xf 是奇函数，  xg 是偶函数，则下列结论正确的是( ) A.    xgxf  是奇函数 B.    xgxf  是偶函数 C.    xgxf  是奇函数 D.    xgxf  是奇函数 【答案】ABC 10.若 101 ＜＜，＞＞ cba ，则( ) A. cc ba ＜ B. cc baab＞ C. cbca ab loglog ＜ D. cc ba loglog ＞ 【答案】BCD 11.已知不等式    03 2  bxax 对任意   ,0x 恒成立，其中 ba, 是整数，则 ba  的取值可以为( ) A.-4 B.-2 C.0 D.8 【答案】BD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分. 12.已知集合    1lg|,065| 2 ＜xxNxxxM  ，则 NM  . 【答案】  60， 13.设         ,112 10, xx xxxf ， ，＜＜ 若    1 afaf ，则       a f 1 . 【答案】6 14.若当 0＞x 且 1x 时，不等式 x k x x xx x     1 ln1 1 ln ＞ 恒成立，则实数k的取值范围 . 【答案】  0， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，若 ABDC  ，且向量 PC 与 BD夹角的余弦值为 15 15 . (1)求实数λ值；（赵老师手打） (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1） 2  ；（2） 10 5 . 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由DC AB   ，得 ( , 2,0)C  ，从而 ( , 2, 2)PC    代入 15cos , 15 PC BD    解得答案； （2）求出平面PCD的法向量，再求法向量与PB  的夹角的余弦值可得到答案. 【详解】（1）依题意，以A 为坐标原点， AB AD AP、 、 分别为 x y z、 、 轴建立空间直角坐标系 A xyz ， (1,0,0), (0, 2,0), (0,0, 2)B D P ，因为 DC AB   ，所以 ( , 2,0)C  ， 从而 ( , 2, 2)PC    ， ( 1, 2,0)BD    ， 则由 15cos , 15 PC BD    ，解得 10  （舍去）或 2  . （2）易得 (2,2, 2)PC    ， (0,2, 2)PD   uuur ，设平面 PCD的法向量 ( , , )n x y z  ， 则 0n PC    ， 0n PD    ，即 0x y z   ，且 0y z  ，所以 0x  ， 不妨取 1y z  ，则平面 PCD的一个法向量 (0,1,1)n   ，又易得 (1,0, 2)PB   uur ， 故 10cos , 5| || | PB nPB n PB n          ， 所以直线 PB与平面PCD所成角的正弦值为 10 5 . 16.(15分) 已知向量     .,cos32sin,cos,sin,cos Rxxxxnxxm  设   nmxf  . （1）求函数  xf 的单调递增区间； （2）在△ABC中，若   BACBCABBACf  ,6,2,1 的平分线交BC于点D，求AD的长. 【答案】（1） ( , ) 3 6 k k    ， Zk ； （2） 2AD  . 【解析】 【分析】（1）由 ( ) 2sin(2 ) 6 f x x   ，令 2 2 2 2 6 2 k x k        ， Zk ，即可得解； （2）由题意得：2sin(2 ) 1 6 BAC    ，根据三角形内角的范围可得所以 3 BAC   ，再由余弦定理得解 得 AC，根据 BAC 的平分线交BC于点D，由 BAD CAD ABCS S S    结合面积公式即可得解. 【小问1详解】（赵老师手打） 2 2 2( ) cos sin (sin 2 3 cos ) cos sin 2 3 sin cosf x x x x x x x x x      3 13 sin 2 cos 2 2( sin 2 cos 2 ) 2sin(2 ) 2 2 6 x x x x x       令 2 2 2 2 6 2 k x k        ， Zk ， 则 3 6 k x k      ， Zk ， 所以函数的单调增区间为 ( , ) 3 6 k k    ， Zk ； 【小问2详解】 由题意得： 2sin(2 ) 1 6 BAC    ， 因为0 BAC   ，所以 132 6 6 6 BAC      ， 即 52 6 6 BAC     ，所以 3 BAC   ， 在 ABC 中，由余弦定理得： 2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC BAC      ， 即 26 4 2AC AC   ，解得 3 1AC   ， 因为 BAC 的平分线交BC于点D，所以 BAD CAD ABCS S S △ △ △ ， 所以 1 1 1sin sin sin 2 6 2 6 2 3 AB AD AC AD AC AB          ， 所以 1 3 1 3( 3 1) 2 4 2 AD AD   ，解得 2AD  ． 17.(15分) 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：  012 2 2 2 ＞＞ba b y a x  的离心率为 21,2 3 FF， 分别是椭圆的左、右焦 点，过 2F 作两条互相垂直的直线 21, ll ，直线 1l 与C交于A，B两点，直线 2l 与C交于D，E两点，且△AF₁F2 的周长是 324 . (1)求椭圆C的方程； (2)当 DEAB 2 3  时，求△ODE的面积. 【答案】（1） 2 2 1 4 x y  （2） 2 2 3 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出 ,a b，得椭圆C的方程； （2）设直线 1l ， 2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和 3 2 AB DE 求出DE和 2l 的方程，再求出O到直 线 2l 的距离，可求 ODE 的面积.（赵老师手打） 【小问1详解】 由题意知， 2 2 2 2 2 4 2 3 3 2 a c c a b a c            ，解得 2, 1, 3a b c   ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y  ； 【小问2详解】 若直线 1l 的斜率不存在，则直线 2l 的斜率为0，不满足 3 2 AB DE ， 直线 1l 的的斜率为0，则 1 2, ,A F F 三点共线，不合题意， 所以直线 1l 的斜率存在且不为0，设直线 1l 的方程为 3x my  ， 由 2 2 3 1 4 x my x y         ，消去 x得 2 2 3 11 0 4 2 4 m my y          ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 2 3 2 1 4 m y y m     ， 1 2 2 1 4 1 4 y y m    ，     22 22 2 1 2 1 2 2 2 4 14 11 4 1 . 4 4 mmAB m y y y y m m m             同理可得  22 2 2 14 1 4 1 .1 1 44 mmDE m m        ， 由 3 2 AB DE ，得     2 2 2 2 4 1 4 13 4 2 1 4 m m m m       ，解得 2 2m  ，则 4 3 DE  ， ∴直线 2l 的方程为  2 3y x   ，（赵老师手打） ∴坐标原点O到直线 2l 的距离为 6 2 3 d   ， 1 4 2 22 . 2 3 3ODE S     即 ODE 的面积的面积为 2 2 3 . 18.(17分) 设函数     .,ln Raaxxaxxf  (1)若 0a ，求函数  xf 的单调区间； (2)若 0 e 2 2 ＜＜a ，试判断函数  xf 在区间  22 e,e 内的极值点的个数，并说明理由； (3)求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的     1,,  axfattx ＜ . 【答案】（1）减区间(0,1)，增区间 (1, ) （2） ( )f x 在  2 2e ,e 内有一个极值点 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求解 ( ) lnf x x  ，利用 ( ) 0f x  ， ( ) 0f x  ，解不等式求解单调递增区间，单调递减区 间． （2） ( ) ln af x x x    ，其中 0x  ，再次构造函数令 ( ) lng x x x a  ，分析 ( )g x 的零点情况． ( ) ln 1g x x   ，令 ( ) 0g x  ， 1 e x  ，列表分析得出 ( )g x 单调性，判断 min 1 1( ) ( e e )g x g a    ，由 2 2 0 e a   ，可判 断 ( )f x 的零点个数，即可判断 ( )f x 的极值点个数． （3）先猜想 (1,1 )x a  ， ( ) 1f x a  恒成立．再运用导数判断证明．令 ( ) ln 1G x x x   ， 1x  ． 1( ) 1 0G x x     ，求解最大值，得出  ( ) 1 0G x G  即可． 【小问1详解】（赵老师手打） 当 0a  时， ( ) lnf x x x x  ， ( ) lnf x x  ， 令 ( ) 0f x  ， 1x  ，列表分析 x (0,1) 1 (1, ) ( )f x  0  ( )f x 单调递减 单调递增 故 ( )f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为 (1, ) ； 【小问2详解】     lnf x x a x x a    ， ln( ) ln a x x af x x x x     ，其中 0x  ， 令 ( ) lng x x x a  ， ( ) ln 1g x x   ，令 ( ) 0g x  ， 1 e x  ， 列表分析： x 1(0, ) e 1 e 1( , ) e  ( )g x  0  ( )g x 单调递减 单调递增 min 1 1( ) ( e e )g x g a    ， 而 e e 1 1( ) ln e 1 ef a a      ， 2 2 2(e ) 2 e (2 e )f a a       ， 2 22 2 1 e e (e ) 2 (2e )af a     ， 若 2 2 0 e a   ，则 1 1( ) ln 0 e e e f a    ， 2 2(e ) (2 e ) 0f a     ， 2 22 1(e ) (2 0 e e )f a    ， 因此 ( )f x 在  2 2e ,e 上有一个零点，所以 ( )f x 在  2 2e ,e 内有一个极值点； 【小问3详解】 猜想： (1,1 )x a  ， ( ) 1f x a  恒成立． 证明如下： 由（2）得 ( )g x 在 1( , ) e  上（赵老师手打）单调递增，且 (1) 0g a   ，      1 1 ln 1g a a a a     ． 因为当 1x  时， 1ln 1 (*)x x   ， 所以 1(1 ) (1 )(1 ) 0 1 g a a a a        ． 故 ( )g x 在 (1,1 )a 上存在唯一的零点，设为 0x ．由 x 0(1, )x 0x 0( ,1 )x a ( )f x  0  ( )f x 单调递减 单调递增 知， (1,1 )x a  ，       max 1 , 1f x f f a  ， 又 (1 ) ln(1 ) 1f a a    ，而 1x  时， ln 1(**)x x  ， 所以 (1 ) ( 1) 1 1 1f a a a f        （1）． 即 (1,1 )x a  ， ( ) 1f x a  ． 所以对任意的正数 a，都存在实数 1t  ，使对任意的 ( , )x t t a  ，使 ( ) 1f x a  ． 补充证明 (*) : 令 1( ) ln 1F x x x    ， 1x  ． 2 2 1 1 1( ) 0xF x x x x      ， 所以 ( )F x 在[1, ) 上单调递增． 所以 1x  时，  ( ) 1 0F x F  ，即 1ln 1x x   ． 补充证明 (**) 令 ( ) ln 1G x x x   ， 1x  ． 1( ) 1 0G x x     ， 所以 ( )G x 在[1, ) 上单调递减． 所以 1x  时，  ( ) 1 0G x G  ，即 ln 1x x  ． 19.(17分) “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办 形式多样的猜灯谜活动. (1)某商户“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到 稍难的C类并答对购物打七折优惠。抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3 张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的 卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止.求该顾客取到写有B卡片的概率.（赵老师手打） (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共 会遇到n条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)，最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准 备采用如下策略：不摘前k(1≤k<n) 条灯谜，自第k+1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这 条灯谜，否则就摘最后一条.设 tnk  ，记小明摘到那 条最适合的灯谜的概率为P. ①若 2,4  kn ，求P； ②当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值. （取 k n nkk ln 1 1 1 11      ） 【答案】（1） 3 5 （2）① 5 12 ；②P的最大值为 1 e ，此时t的值为 1 e . 【解析】 【分析】（1）由分类加法原理和分步乘法原理求解； （2）①由题意可知，要摘到最适合他的灯谜，有两种情况，最适合他的灯谜是第3条和最适合他的灯谜是 最后1条，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果； ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，根据条件概率和全概率公式求出  P A ，再用导数求出最值即可. 【小问1详解】 8张完全相同的卡片，3张写有A 字母，3张写有 B字母，2张写有C字母，由抽取规则可知， 该顾客取到写有 B卡片的概率为 3 3 3 3 2 3 3 2 1 3 3 8 8 7 8 7 6 8 7 6 5 5 P            . 【小问2详解】 ①这4条灯谜的位置从第1条到第4条排序，有 44A 24 种情况. 要摘到最适合的灯谜，有以下两种情况：（赵老师手打） 最适合的灯谜是第3条，其他的灯谜随意在哪个位置，有 33A 6 种情况， 最适合的灯谜是最后1条，第二适合的灯谜是第1条或第2条，其他的灯谜随意在哪个位置，有 222A 4 种情 况 故所求概率为 6 4 5 24 12 P   . ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，事件 jB 表示最适合的灯谜在灯谜中排在第 j条， 因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，所以   1jP B n ， 以给定所在位置的序号作为条件，         1 1 1| | n n j j j j j P A P A B P B P A B n     当1 j k  时，最适合的灯谜在前k条灯谜之中，不会被摘到，此时  | 0.jP A B  当 1k j n   时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前 1j  条灯谜中的最适合的一条在前k条灯谜中时， 此时  | 1j kP A B j   ， 由全概率公式知   1 1 1 1 ln 1 n n j k j k k k k nP A n j n j n k          ， 令函数    ln 0x ng x x n x   ，   1 1ln ng x n x n    ， 令 ( ) 0g x  ，则 e nx  ， 当 0, e nx      时， ( ) 0g x  ，当 , e nx n     时， ( ) 0g x  ， 所以 ( )g x 在 0, e n      上单调递增，在 , e n n     上单调递减. 所以  max 1 e e ng x g       ，（赵老师手打） 所以当 e nk  时，   lnk nP A n k  取得最大值，最大值为 1 e ，此时 1t e  即P的最大值为 1 e ，此时t的值为 1 e .