巩固培优提升：数学好玩（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

数学好玩 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．莫比乌斯带 【知识点归纳】 莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰•李斯丁于1858年发现。就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。 普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面从两个减少到只有一个）。 2022年5月20日，日本名古屋大学等组成的研究团队在英国科学杂志上发布成果称，在世界首次合成了“莫比乌斯环”形状的碳分子，并将其命名为“莫比乌斯碳纳米带”。 2．作轴对称图形 【知识点归纳】 1．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．通过以上图形的组合就可以得到轴对称图形了． 3．作旋转一定角度后的图形 【知识点归纳】 1．旋转作图步骤： （1）明确题目要求：弄清旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）分析所作图形：找出构成图形的关键点； （3）找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点； （4）作出新图形：顺次连接作出的各点． （5）写出结论：说明作出的图形． 2．中心对称作图步骤： （1）连接原图形上的所有特殊点和对称中心； （2）再将以上连线延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等； （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形． 4．图形的放大与缩小 【知识点归纳】 1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形相比，形状相同，大小不同． 2．方法：一看、二算、三画． 5．数对与位置 【知识点归纳】 1．数对的意义：用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对． 2．用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行． 3．给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置了． 6．应用比例尺画图 【知识点归纳】 1．方法： 在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小（或扩大），再画在图纸上．要确定图上距离和相对应的实际距离的比． 2．比例尺公式： 图上距离＝实际距离×比例尺 实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺＝图上距离÷实际距离． 7．比例尺应用题 【知识点归纳】 比例尺分类： 分数比例尺和线段比例尺 缩小比例尺和放大比例尺 比例尺各部分的关系： 图上距离：实际距离＝比例尺 图上距离：比例尺＝实际距离 实际距离×比例尺＝图上距离． 第二部分 典型例题 例题1：如图的纸条照样子画2条虚线，把纸条平均分成三份，做成莫比乌斯带后再沿虚线剪开会成什么样子？如果平均分成四份呢？试着做一做。 【答案】莫比乌斯带沿三等分线的虚线剪开后，形成两个套在一起的纸环；莫比乌斯带沿四等分线的虚线剪开后，形成两个大环套在一起。 【分析】通过动手进行实际操作，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带。沿莫比乌斯带的2条三等分线和3条四等分线剪开，即可得出答案。 【详解】答：莫比乌斯带沿三等分线的虚线剪开后，形成两个套在一起的纸环；莫比乌斯带沿四等分线的虚线剪开后，形成两个大环套在一起。 【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。 例题2：我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站。位置示意图如图所示： （1）中山站在昆仑站 偏 °方向，距离是 千米。 （2）昆仑站在长城站 偏 °方向，距离是 千米。 （3）请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置。 ①泰山站在昆仑站的西偏北30°方向500千米处。 ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南20°方向1500千米处。 【答案】（1）北；西；30；500　 （2）北；东；25；2000　 （3）见详解 【分析】由图可知，上北下南，左西右东，图上1厘米表示实际500千米； （1）、（2）根据比例尺和图上距离，计算其实际距离，然后根据图上确定方向的方法确定方向，根据方向的相对性，结合图上信息，确定各点位置。 （3）根据比例尺和实际距离，分别计算图上距离，根据图上确定方向的方法确定方向，完成作图。 【详解】（1）1×500＝500（千米） 中山站在昆仑站的左上角，结合偏向角，属于北偏西30°（或西偏北60°），距离为500千米。 （2）4×500＝2000（千米） 昆仑站在长城站的右上角，结合偏向角，属于北偏东25°（或东偏北65°），距离为2000千米。 （3）500÷500＝1（厘米），1500÷500＝3（厘米） 作图如下： 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法，关键能正确判断方向。 例题3：下面是学校平面图，请根据明明提供的信息，算一算他学校的面积大约是多少平方米？看看够不够1公顷？ 【答案】12000平方米；够1公顷 【分析】根据题意，明明走2步大约是1米，那么沿学校宽边走了160步，大约是：160÷2＝80米； 沿学校长边走了300步大约是：300÷2＝150米； 利用长方形的面积公式＝长×宽，即可算出明明学校的面积大约是多少平方米，再把它转化成公顷即可。 【详解】160÷2＝80（米） 300÷2＝150（米） 150×80＝12000（平方米） 12000平方米＝1.2公顷 答：他学校的面积大约是12000平方米，够1公顷。 【点睛】此题图文结合，主要考查长方形面积公式的灵活运用以及面积单位之间的转换。 例题4：取一张长40厘米、宽4厘米的长方形纸条，在纸条中间画一条虚线（如图）。将它先做成一个莫比乌斯带，然后沿虚线剪开。一只蚂蚁从某一点开始沿着一个方向在这条纸带上爬行，它爬行多少厘米可以回到起点？（接口处长度忽略不计） 【答案】80厘米 【分析】将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到一个大环。大环的周长是原来长方形纸条长度的2倍。据此，将纸条长乘2，求出大环的周长，即蚂蚁爬行多少厘米可以回到起点。 【详解】40×2＝80（厘米） 答：它爬行80厘米可以回到起点。 【点睛】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。 1．（1）在下图中用数对标出是A、B两点的位置：A（    ）B（    ）。第三部分 高频真题 （2）以虚线为对称轴，画出小树的另一半，然后将整个图形向右平移6格。 2．南京市出租车的计价标准如下：3千米以内（含3千米）9元；超过3千米，超过部分按每千米2.4元（不足1千米的按1千米计算）收费。问小明从家出发，乘坐出租车到图书馆，需要付多少元车费？（比例尺为1∶250000） 3．下面是育才小学操场的平面图， ①先量一量（取整厘米），再算出这个操场的实际面积． ②篮球场在A点的南偏东30°方向60米处，请你在平面图上用△标出篮球场的位置． 4．学校教学楼的长是30米，宽是12米，比例尺是1∶600。 （1）请你算一算，图上画出的长是（    ）厘米，宽是（    ）厘米。 （2）请你按比例画出这座教学图的平面图。 5．下图是某社区平面图，已知快乐书店到广场的实际距离是300米。 （1）求出这幅平面图的比例尺。 （2）肯德基到广场的实际距离是多少米？ 6．动手制作一个莫比乌斯带。与同学交流一下你是怎样制作的。 7．做一做，想一想。 ①取一条尺寸为10厘米×3厘米的长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线。 ②将纸条的两端粘上，做一个莫比乌斯带。 ③沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开。纸带会变成什么样？是不是莫比乌斯带？ 8．下面的小学校园平面图是长方形，请根据这个平面图完成以下各题 （1）量一量，算一算．（测量图上距离时取整厘米．） ①校园平面图的长是________厘米，宽是________厘米． ②校园实际长________米，宽________米，占地面积是______平方米． （2）根据上面校园平面图填一填并动手操作． ①教学楼在花坛的________面，校门在跑道的________面；校园的西北角有________． ②如果在校园的东北角建一个长25米，宽10米的食堂，请在校园平面图上按比例画出食堂的位置． （3）校园的林地里一共有李子树、杏树和桃树64棵，它们的棵数之比依次是1：3：4校园里有李子树、杏树和桃树各多少棵？ 9．下图中点A用数对表示是（    ），下图中点B用数对表示是（    ），下图中点C用数对表示是（    ），点D用数对表示是（1，4），请你在图中标出它的位置。 10．下图是李红家的房屋结构平面图，请测量相关数据，并计算房屋的实际面积是多少平方米？ 11．在比例尺是1∶2000000的地图上，量得A市到B市的公路长17.5厘米，两辆车分别从两市同时出发，沿公路相向而行。快车每小时行驶80千米，慢车每小时行驶60千米，多长时间后两车相遇？ 12．学校的操场长150米，宽90米，请你选择合适的比例尺在下面的空白处画出操场的平面图。（请你先选择合适的比例尺，求出图上的长宽厘米数再画图） A、1∶1000    B、1∶3000     C、1∶9000 选择第几种比例尺？ 13．自己亲自动手做一条莫比乌斯带，在这个带子中间画一条线，用剪刀沿着这条虚线剪开，会得到一个更细更长的带子，这个新带子还是莫比乌斯带吗？你是怎样验证的？ 14． （1）如果梯形①的顶点A用（2，7）表示，那么顶点B用（ ， ）表示，顶点C用（ ， ）表示。 （2）画出梯形①绕点A顺时针旋转90°，得到的梯形②。 （3）以（8，0）为一个顶点把梯形①按2∶1放大画在方格纸上，得到梯形③。 （4）梯形①的面积是梯形③面积的（    ）%。 15．如图是动物园一角，（7，1）是大门的位置。 （1）猴山在（    ）的位置上。 （2）从大门口向北走300米，再向西走400米到达大象馆，在图上标出大象馆的位置。 16．国庆节游行队伍中有一些人高举国旗，国旗四个角上的人在队伍中用数对表示分别是（4，2）、（4，37）、（23，2）、（23，37）。请你计算：国旗下一共有多少人？ 17．按要求操作。 （1）画出图①的一条对称轴。 （2）图②是一个直角三角形，如果用数对（10，8）表示点A的位置。那么点B在（ ， ），点C在（ ， ）。 （3）画出图②向左平移4格后的图形。 （4）画出图②按3∶1放大后的图形。 18．学校要修建一个操场，长80m，宽60m。请在图中画出操场的平面图（比例尺：1∶2000），先计算，后画图，再标上线段比例尺。 19．在一张纸条的中间画一条虚线，把纸条平均分成两份，做成莫比乌斯带后再沿虚线剪开，会成什么样子？ 20．如图所示，假设学校大门在旗杆正西方向80米处，图书馆在旗杆北偏西30°的60米处。请先算出有关数据，然后在这张图纸上标出学校大门和图书馆的位置。 21．下面是公园街区的平面示意图。 （1）广场在公园（    ）偏（    ）30°方向上，实际距离是（    ）米。 （2）喷水池在广场西南方向750米处，请在图上画出位置用点标明。 22．可爱的机器人。 （1）如图是一个可爱的机器人淘淘，请将表示淘淘轮廓的数对填在下面。 A（0，0），B（5，0），C（3，1），D（3，2），E（   ，  ），F（  ，  ），G（  ，  ），H（  ，  ），I（  ，  ），J（  ，  ）。 （2）淘淘还有当当和方方两个小伙伴，观察下表中表示每个机器人轮廓的点的数对规律，把表格补充完整。 A B C D E F G H I J 当当 （0，0） （10，0） （6，1） （6，2） 方方 （0，0） （10，0） （6，2） （6，4） （3）根据表格，在下面方格纸中分别画出当当和方方的轮廓。 （4）谁的轮廓更像淘淘？ 23．龙门小学新设计了一个花坛，花坛的外围是一个直径6m的圆，圆内是一个最大的正方形。 （1）用圆规和直尺把设计好的花坛按照1∶100的比例尺画在如图的方格图中。图中圆的直径是多少厘米？ （2）圆内正方形部分用来种植月季花，种植月季花的实际面积是多少平方米？ 24．取一张长20厘米、宽6厘米的长方形纸条，沿着纸条的宽将其平均分成三份（用虚线表示），再做成一个莫比乌斯带，最后用剪刀沿纸环的虚线剪开，写出你的发现。 25．在比例尺是1∶200000的地图上。量得A市到B市的公路长17.5厘米，两辆车分别从两市同时出发，沿公路相向而行。快车每小时行驶80千米。慢车每小时行驶60千米。多长时间后两车相遇？ 26．学校的操场是一个长方形，长80米，宽40米。请根据如图所示图纸的大小，先确定一个合适的比例尺，再画出学校操场的平面图，标出图上的长和宽。 27．利用课间，贝贝学习小组的同学绘制了和平小学的校园平面图。 （1）图上1厘米表示实际距离是（    ）。 （2）在平面图中，操场的长是2.5厘米，宽是1.5厘米，操场实际的长是（    ）米，宽是（    ）米。操场的占地面积是（    ）平方米。 （3）和平小学的校园实际占地面积是多少？ （4）乐乐在另一张图纸上画出校园的平面图，他用54厘米表示校园的长。乐乐所画的平面图的比例尺是多少？ 28．下面是校园中一小片正方形空地的示意图。学校打算利用这小片空地开发出一个尽可能大的圆形种植园，圆形种植园外的部分种植凤尾竹。 ①完成种植园示意图，并在图上标清比例尺。 ②计算出种植凤尾竹的面积。 29．看图回答问题。 （1）用数对表示图①中三个点的位置： A（    ），B（    ），C（    ）。 （2）把图①先向上平移3格，再向左平移4格，得到图②，请画出图②。 （3）这时图②在图①的（    ）方向。 30．量一量希望小学平面图的长是　 　厘米，宽是　 　厘米，算出这所小学实际占地面积是多少平方米？ （2）教学楼的占地面积是6000米2，是学校占地面积的百分之几？ （3）花坛中有红、黄两种颜色的花147朵．如果两种花的数量比是3：4，两种花各有多少朵？ 31．取一张长50cm、宽4cm的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来（接头处忽略不计）。一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？ 32．（1）用数对表示正方形的顶点A，B，C，D的位置： A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ），D（ ， ）。 （2）在图中标出E（7，5），F（7，2），G（10，2），并依次连接C、F、G、E。这样就围成了一个（    ）形。 33．取一长90厘米宽8厘米的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来。一只蚂蚁从某点沿着所标出的路线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？    34．取一张长60厘米、宽5厘米的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中的一边扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来。如图所示，一只蚂蚁从某点开始沿着虚线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？ 35．根据下图，完成下面各题。 （1）我把（    ）作为参照点，所以学校在淘气家（    ）方向；学校和淘气家的图上距离是2厘米，则实际距离是（    ）千米。 （2）聪聪家在学校北偏西方前3000米处，请在图上画出来。 36．先写出如图所示中三角形ABC各个顶点的位置，再画出三角形ABC向下平移5个单位后的三角形A′B′C′，然后写出所得图形顶点的位置。 A（　　，　　）A′（　　，　　） B（　　，　　）B′（　　，　　） C（　　，　　）C′（　　，　　） 参考答案： 1．（1）A（1，5）；B（4，3） （2）见详解 【分析】（1）根据数对表示位置先列后行，看准数字填空即可； （2）根据对称图形的特征：对称点到对称轴的距离相等，在图形的右边找准对称点，然后按照顺序连接对称点即可；根据图形平移的特征，把整个图形的各个顶点向右平移6格，依次连线即可。 【详解】（1）A点的列对应是1，行对应是5，所以A（1，5）；B的列对应是4，行对应是3，所以B（4，3）； （2） 【点睛】此题考查了用数对表示位置、作对称图形和平移的应用。 2．49.8元 【分析】小明从家出发，乘坐出租车到图书馆的图上距离是（5＋3）厘米，根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出从小明家到图书馆的实际距离为20千米，超过3千米有（20－3）千米，用超过的距离乘超过部分的收费标准2.4元，即可求出超出部分收费的车费，再加上9元，即可求出需要付多少元车费。 【详解】（5＋3）÷ ＝8×250000 ＝2000000（厘米） 2000000厘米＝20千米 （20－3）×2.4＋9 ＝17×2.4＋9 ＝40.8＋9 ＝49.8（元） 答：需要付49.8元车费。 【点睛】此题的解题关键是掌握图上距离和实际距离之间的换算以及分段收费的解决方法。 3．（1）长为5厘米，宽为3厘米，这个操场的实际面积是13500平方米； （2）见解析 【详解】试题分析：（1）要求操场的实际面积，先测量出图上的长为5厘米，宽为3厘米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值，分别计算出操场实际的长和宽，然后根据“长方形的面积=长×宽”，代入数值，计算即可； （2）已知篮球场在A点的南偏东30°方向60米处，先根据““实际距离×比例尺=图上距离”，代入数值，求出篮球场在A点的南偏东30°方向的图上距离，画出即可． 解：（1）5÷=15000（厘米）=150（米）， 3÷=9000（厘米）=90（米）， 150×90=13500（平方米）； 答：这个操场的实际面积是13500平方米； （2）60米=6000厘米， 6000×=2（厘米）， 点评：此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 4．（1）5；2 （2）见详解 【分析】比例尺是1∶600，那么图上1厘米表示实际距离600厘米，学校教学楼的长是30米，宽是12米，也就是长3000厘米，宽1200厘米，分别除以600，得到对应的图上距离。 【详解】（1）30米＝3000厘米，12米＝1200厘米 （厘米） （厘米） （2）如图所示： 【点睛】本题考查的是比例尺的应用，比例尺指的是图上距离与实际距离的比，计算时注意单位换算。 5．（1）1∶10000；（2）500米 【分析】先分别量出快乐书店到广场的图上距离，再据“比例尺＝图上距离：实际距离”，即可求出这幅图的比例尺；进而依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求解。 【详解】（1）快乐书店到广场的图上距离是3厘米。 300米＝30000厘米 3∶30000＝1∶10000 答：这幅平面图的比例尺是1∶10000。 （2）肯德基到广场的图上距离是5厘米。 5×10000＝50000（厘米） 50000厘米＝500米 答：肯德基到广场的实际距离是500米。 【点睛】此题主要考查比例尺的意义以及图上距离、实际距离和比例尺的关系。 6．见详解 【分析】可以通过动手进行实际操作莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，即可粘成一个莫比乌斯带。 【详解】动手制作一个莫比乌斯带，我是这样制作的：把其中一端翻一个身后，两端粘在一起。 【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，有一定难度。 7．见详解 【分析】根据题中的步骤去操作，最后沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，观察形成的纸带形状，从而解题。 【详解】答：纸带会变成两个纸环，而且相互套在一起。不是莫比乌斯带。 【点睛】本题考查了莫比乌斯带。把一个莫比乌斯带沿中线剪开，剪开后变成了一个大环。将莫比乌斯带沿着三等分线剪开，会形成相互套连的两个环。 8．（1）12 ；8 ；120 ；80 ；9600 （2）南 ；东 ；草地 食堂的位置如下图所示： （3）李子树8棵、杏树24棵和桃树32棵． 【分析】（1）用直尺即可直接测量所需要的数据；再据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可分别求出长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式即可求解；（2）依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”以及图上标注的其他信息，即可解答；先依据“图上距离=实际距离×比例尺”分别求出食堂的图上距离，进而完成画图；（3）果树的棵数比已知，于是可以求出总份数，进而利用按比例分配的方法即可得解．此题是一道综合性的题目，涉及到了比例尺的应用，地图上的方向辨别方法，以及按比例分配的方法，要求学生要细心审题，仔细作答． 【详解】（1）①量得校园平面图的长是12厘米，宽是8厘米． ②12÷ =12000（厘米）=120（米）， 8÷ =8000（厘米）=80（米）， 120×80=9600（平方米）； 答：校园实际长120米，宽80米，占地面积是9600平方米． （2）①教学楼在花坛的南面，校门在跑道的东面；校园的西北角有草地． ②25米=2500厘米，10米=1000厘米， 则2500× =2.5厘米，1000× =1厘米， 所以食堂的位置如下图所示： （3）解：64× =8（棵）， 64× =24（棵）， 64﹣8﹣24=32（棵）； 答：校园里有李子树8棵、杏树24棵和桃树32棵． 9．（3，1）；（6，4）；（4，4）；画图见详解 【分析】用数对来表示点的位置的方法：用两个数加小括号表示，将点所在的列数写前，行数写后。点A在3列1行，用数对表示是（3，1）。点B在6列4行，用数对表示是（6，4）。点C在4列4行，用数对表示是（4，4）。点D用数对表示是（1，4），表示点D在1列4行。 【详解】点A用数对表示是（3，1），点B用数对表示是（6，4），点C用数对表示是（4，4）。 【点睛】本题考查用数对来表示点的位置的方法。数对中表示列的数在前，表示行的数在后。 10．60.16平方米 【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比，从上图比例尺1∶200，可以看出实际距离是图上距离的200倍，所以先量出厨房、客厅和卫生间及卧室的长和宽，然后再乘200，即可得到它们实际的长和宽，把单位“厘米”要换算成“米”，再用“长×宽”即可算出厨房、客厅和卫生间及卧室的面积，最后把结果相加即可求解。 【详解】厨房、客厅和卫生间的宽和长： 1.8×200＝360（厘米） 360厘米＝3.6米 2.8×200＝560（厘米） 560厘米＝5.6米 卧室的宽和长： 2×200＝400（厘米） 400厘米＝4米 2.5×200＝500（厘米） 500厘米＝5米 3.6×5.6＋4×5×2 ＝20.16＋40 ＝60.16（平方米） 答：房屋的实际面积是60.16平方米。 【点睛】本题考查比例尺相关应用题，根据比例尺的意义先求出实际距离是此题的解题关键。 11．2.5小时 【分析】首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两市之间的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答。 【详解】17.5÷ ＝17.5×2000000 ＝35000000（厘米） 35000000厘米＝350千米 350÷（80＋60） ＝350÷140 ＝2.5（小时） 答：2.5小时后两车相遇。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及相遇问题的基本数量关系及应用。 12．B 据此作平面图如下： 【分析】已知学校的操场长150米，宽90米，如果选择1∶1000的比例尺，平面图稍大；如果选择1∶9000的比例尺，平面图太小，所以在下面空白处画操场平面图选择1∶3000的比例尺比较合适，然后据图上距离：实际距离＝比例尺计算出平面图的长、宽之后进行作图即可。 【详解】根据学校操场长宽的实际长度，选择1∶3000的比例尺比较合适。 3000厘米＝30米，所以： 平面图的长为：150÷30＝5（厘米）； 平面图的宽为：90÷30＝3（厘米）； 据此作平面图如下： 答：选择B。 【点睛】本题考查的是依据比例尺做平面图的方法，在做平面图的时候要根据实际长度确定合适的比例尺作图。 13．见详解 【分析】通过动手进行实际操作，发现：如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环。 【详解】用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开， 发现：纸带会变成一个更大的细纸环。 【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。 14．（1）（4，5）；（6，5）；（2）见详解；（3）见详解；（4）25； 【分析】（1）数对的表示方法：（列数，行数），分别找出顶点B和顶点C在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 （2）根据旋转的特征，将梯形①绕点A顺时针旋转90°，点A位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的梯形②。 （3）把梯形①按2∶1扩大，即梯形的每一条边扩大到原来的2倍，原梯形的上底、下底和高分别乘2，得出扩大后梯形的上底、下底和高，据此画出扩大后的梯形③。 （4）假设一小格的长度是1厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别计算出梯形①和梯形③的面积，再用梯形①的面积除以梯形③的面积，即可得解。 【详解】（1）顶点B用（4，5）表示，顶点C用（6，5）表示。 （2）（3）作图如下： （4）（2＋6）×2÷2 ＝8×2÷2 ＝8（平方厘米） 2×2＝4（厘米） 6×2＝12（厘米） 2×2＝4（厘米） （4＋12）×4÷2 ＝16×4÷2 ＝32（平方厘米） 8÷32＝0.25＝25% 即梯形①的面积是梯形③面积的25%。 【点睛】此题主要考查用数对表示位置、图形的放大与缩小、图形的旋转以及求一个数是另一个数的百分之几的计算方法。 15．（1）（1，6） （2）见详解 【分析】根据数对的位置，先表示第几列，再表示第几行，表示出来即可。然后再根据路线，找到相应的数对，表示出大象馆的位置即可。 【详解】（1）猴山在第1列，第6行。用数对（1，6）表示。 （2）从大门口向北走300米，即向上走3格，此时在第7列，第4行；再向西走400米到达大象馆，即向左走4格，此时在第3列，第4行；如图： 【点睛】考查数对的表示和综合应用。 16．720人 【分析】根据利用数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后。据此先求出一共有多少列，一共有多少行。然后根据整数乘法的意义，用乘法解答。 【详解】23－4＋1 ＝19＋1 ＝20（列） 37－2＋1 ＝35＋1 ＝36（行） 36×20＝720（人） 答：国旗下一共有720人。 【点睛】此题解答关键是求出国旗下面的人数有多少列，多少行，然后用每行的人数乘列数就是国旗下面的人数。 17．（1）（3）（4）见详解；（2）（12，8），（10，9） 【分析】（1）画对称轴的步骤：找出轴对称图形的任意一组对称点；连接对称点；画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 （2）数对的表示方法：（列数，行数），分别找出点B和点C在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 （3）根据平移的特征，将图②向左平移4格后，依次连接即可得到平移后的图形。 （4）把图②按3∶1放大后，即三角形的每一条边扩大到原来的3倍，原三角形的底和高分别乘3，得出扩大后三角形的底和高，据此画出扩大后的图形。 【详解】（1）（3）（4）如图： （2）点B在（12，8），点C在（10，9）。 【点睛】此题主要考查对称轴的画法、图形的放大与缩小、作平移后的图形、用数对表示位置，涉及知识点多，综合性强，学生需在平时多总结。 18．见详解 【分析】操场的长和宽实际长度，以及比例尺已知，依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出操场长和宽的图上距离，进而就可以画出操场的平面图。 【详解】80米＝8000厘米，60米＝6000厘米 8000×＝4（厘米） 6000×＝3（厘米） 如图如下： 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，先求出图上距离，就能完成作图。 19．将莫比乌斯带沿虚线剪开，结果是一个两倍长的纸环。 【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。 【详解】答：将莫比乌斯带沿虚线剪开，结果是一个两倍长的纸环。 【点睛】熟知莫比乌斯带的特点是解决本题的关键。 20．见详解 【分析】实际距离已知，先根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出学校大门和图书馆分别距旗杆的图上距离，再根据各自具体的方位及角度，确定其位置。 【详解】根据图上距离＝实际距离×比例尺， 80米＝8000厘米，60米＝6000厘米， （1）学校大门距旗杆的图上距离； 8000×＝2（厘米） （2）图书馆距旗杆的图上距离：6000×＝1.5（厘米） 再根据各自的方向和角度，于是可以在图上标出学校大门、图书馆的具体位置，如所示： 【点睛】此题是利用比例尺的知识算出所需的数据，再利用具体方位和角度知识确定所在的位置。 21．（1）北；西；900 （2）图见详解 【分析】（1）先计算出公园到广场的实际距离，再根据地图上方向的规定：上北下南，左西右东；以公园为观察点，说出广场的位置； （2）根据实际距离和图上距离的换算，以公园为观察点，画出喷水池的位置。 【详解】（1）经过测量，公园到广场的图上距离是3厘米； 3÷ ＝3×30000 ＝90000（厘米） 90000厘米＝900米 广场在公园北偏西30°方向上，实际距离是900米。 （2）作图如下： 750米＝75000厘米 75000×＝2.5（厘米） 【点睛】本题考查根据方向，角度和距离确定物体位置，以及实际距离与图上距离的换算。 22．见详解 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示点所在的列，第二个数字表示点所在的行，据此填写。 （2）通过观察可知：当当和淘气相同字母所表示的位置，所在的行相同，所在列不同，同一个字母所表示的列，当当是淘气的2倍； 方方和淘气相同字母所表示的位置，所在的行和列是淘气的2倍。 （3）根据（2）中的当当和方方的每个轮廓点所表示的列和行，在方格纸中准确标出即可。 （4）观察方格中的轮廓，和（1）中的轮廓比较好可。 【详解】（1）E（5，4）；F（4，4）；G（1，4）；H（0，4）；I（2，2）；J（2，1） （2）当当：E（10，4）；F（8，4）；G（2，4）；H（0，4）；I（4，2）；J（4，1） 方方：E（10，8）；F（8，8）；G（2，8）；H（0，8）；I（4，4）；J（4，2） （3） （4）通过观察比较，方方的轮廓更像淘淘。 23．（1）图见详解；直径6厘米 （2）18平方米 【分析】（1）圆的实际直径是6米，6米＝600厘米，根据图上距离＝实际距离×比例尺”用可求出这个圆直径的图上距离，进而即可画出这个圆。圆内是一个最大的正方形。这个正方形的对角线长为圆的直径。据此即可画出这个设计图。 （2）求种植月季花的实际面积是多少平方米，就是求圆内最大正方形的面积，根据正方形面积计算公式无法解答，可把它看作两个底为圆直径、高为圆半径的两个三角形，根据三角形面积＝底×高÷2即可解答。 【详解】（1）6米＝600厘米 600×＝6（厘米） 答：图中圆的直径是6厘米。 画图如下： （2）6÷2×6÷2×2 ＝3×6÷2×2 ＝18（平方米） 答：种植月季花的实际面积是18平方米。 【点睛】（1）图1关键是根据比例尺及圆直径的实际长求出图上直径，然后再画图。（2）关键是把正方形转化成两个三角形，再根据三角形面积计算公式解答。 24．见详解 【分析】通过动手进行实际操作，发现：如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。 【详解】莫比乌斯带沿虚线剪开后，形成两个套在一起的纸环，其中一个是窄一点的大纸环，长是40厘米，不是莫比乌斯带。另一个窄一点的小纸环仍是莫比乌斯带，长是20厘米。 【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。 25．0.25小时 【分析】首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两市之间的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答。 【详解】17.5÷＝3500000（厘米） 3500000厘米＝35千米 35÷（80＋60） ＝35÷140 ＝0.25（小时） 答：0.25小时后两车相遇。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及相遇问题的基本数量关系及应用。 26．见详解 【分析】操场的长和宽已知，依据比例尺的意义，即“图上距离∶实际距离＝比例尺”即可选出合适的比例尺，进而依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可分别求出操场的长和宽的图上距离，于是可以画出操场的平面图。 【详解】因为40米＝4000厘米，80米＝8000厘米， 所以可以选用1∶2000的比例尺， 所以4000×＝2（厘米）， 8000×＝4（厘米）， 答：图纸上的长应画4厘米，宽应画2厘米。 画图如下： 【点睛】解答此题的关键是依据比例尺的意义以及实际情况，选出合适的比例尺，进而画出平面图，解答时要注意单位的换算。 27．（1）18米 （2）45；27；1215 （3）5832平方米 （4）1∶200 【分析】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离可求得实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得1厘米表示18米； （2）已知1厘米表示18米，则由长和宽的图上距离×18即可得出实际的长和宽，根据长方形面积＝长×宽即可计算出操场的占地面积； （3）观察图形可知，和平小学图上的长是6厘米，宽是3厘米，根据比例尺可求得其实际的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽代入数据即可计算出和平小学的校园实际的占地面积； （4）乐乐画的平面图用54厘米表示出的校园的长，与贝贝的平面图用6厘米表示的校园的长，实际长度是一样的，因此可先用贝贝的比例尺求出校园的实际长度，再用乐乐的图上距离∶实际距离求出乐乐画的平面图的比例尺。 【详解】（1）1÷＝1×1800＝1800厘米 1800厘米＝18米，即图上1厘米表示实际距离18米； （2）2.5×18＝45（米） 1.5×18＝27（米） 45×27＝1215（平方米） 则操场实际的长是45米，宽是27米，操场的占地面积是1215平方米； （3）3÷＝3×1800＝5400厘米 5400厘米＝54米 6÷＝6×1800＝10800（厘米） 10800厘米＝108米 54×108＝5832（平方米） 答：和平小学的校园实际占地面积是5832平方米。 （4）6÷＝6×1800＝10800（厘米） 54∶10800＝1∶200 答：乐乐所画的平面图的比例尺是1∶200。 【点睛】 28．①见详解；②344平方米。 【分析】①首先求出这幅图的比例尺，实际距离已知，量出图上距离，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”即可求出这幅图的比例尺。正方形内最大的圆的直径等于正方形边长，以正方形对角线的交点O为圆心，以正方形边长的为半径即可画出种植园示意图，并标上比例尺。 ②种植凤尾竹的面积等于边长为10米的正方形面积减半径为米的圆面积。根据正方形面积计算公式、圆计算公式即可解答。 【详解】①量得图中正方形的边长是5厘米 40米＝4000厘米 5厘米∶4000厘米＝1∶800 完成种植园示意图，并在图上标清比例尺（下图）： ②402﹣3.14×（）2 ＝402﹣3.14×202 ＝1600﹣3.14×400 ＝1600﹣1256 ＝344（平方米） 答：种植凤尾竹的面积是344平方米。 【点睛】此题考查的知识有：比例尺的意义及求法、正方形面积的计算、圆面积的计算等。 29．（1）A（6，1），B（9，1），C（7，3） （2）见详解 （3）西北 【分析】用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行。 （1）用数对表示图①中三个点的位置A表示第6列第1行，B表示第9列第1行，C表示第7列第3行。 （2）把图①三角形的每个顶点都向上平移3格，再向左平移4格后连线。 （3）图上方位是：上北下南，左西右东，先确定观测点，再根据目的地与观测点的位置关系确定方向。 【详解】（1）用数对表示图①中三个点的位置： A（6，1），B（9，1），C（7，3）。 （2）如图： （3）这时图②在图①的西北方向。 【点睛】熟悉用数对表示位置的方法及图形平移的方法是解决本题的关键。 30．（1）这所小学实际占地面积是44928平方米； （2）是学校占地面积的13.4%； （3）红花有63朵，黄花有84朵． 【详解】试题分析：（1）属于已知图上距离和比例尺求实际距离，求出实际的长和宽，即可求出实际占地面积； （2）属于求一个数是另一个数的百分之几，关键是确定单位“1”，根据条件可确定把学校实际占地面积看作单位“1”，用除法解答； （3）属于按比例分配问题，根据具体数量列式解答即可． 解：（1）7.8÷=7.8×4000=31200（厘米）=312（米）； 3.6÷=3.6×4000=14400（厘米）=144（米）； 312×144=44928（平方米）； （2）6000÷44928≈0.134=13.4%； （3）3+4=7， 147×=63（朵）， 147×=84（朵）； 答：（1）这所小学实际占地面积是44928平方米； （2）是学校占地面积的13.4%； （3）红花有63朵，黄花有84朵． 点评：此题包括的知识点较多，解答时要弄清题意，进一步分析数量，根据有关数据列式解答即可． 31．见详解 【分析】根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的长50厘米。据此解答。 【详解】根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面。一面长为50cm，两面则是100cm。 【点睛】本题主要考查旋转的应用，关键考查学生的观察能力和想象能力。 32．（1）（4，1）；（6，4）；（3，6）；（1，3）；（2）见详解；四边 【分析】（1）用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此解答； （2）根据数对标出相应的位置，再依次连线，判断出这是个四边形。 【详解】（1）A（4，1）；B（6，4）；C；（3，6）；D（1，3） （2）如图： 围成了一个四边形。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。 33．180厘米 【分析】根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面一面长为90厘米，两面则是180厘米。 【详解】90×2＝180（厘米） 答：它爬行的距离大约是180厘米。 【点睛】根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的两个长。据此解答 34．120厘米 【分析】看图，蚂蚁爬行的距离是两条长的距离。据此，将长乘2，即可求出蚂蚁爬行的距离。 【详解】60×2＝120（厘米） 答：它爬行的距离大约是120厘米。 【点睛】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。 35．（1）淘气家，西偏南35°，1 （2）图形见详解 【分析】（1）由题意可知，以淘气家为观测点，可知学校在淘气家的西偏南35°方向上，图上的1厘米表示实际的500米，据此可知学校到淘气家的实际距离为2×500＝1000米； （2）由题意可知，聪聪家到学校的图上距离为3000÷500＝6厘米，再结合“上北下南，左西右东”及角度信息作图即可。 【详解】（1）2×500＝1000（米） 则我把淘气家作为参照点，所以学校在淘气家西偏南35°方向；学校和淘气家的图上距离是2厘米，则实际距离是1千米。 （2）3000÷500＝6（厘米） 如图所示： 【点睛】本题考查位置和方向，明确“上北下南，左西右东”及角度信息是解题的关键。 36．A（3，7）；A′（3，2）； B（2，9）；B′（2，4）； C（8，9）；C′（8，4）。 图见详解 【分析】先找出A、B、C分别在第几列，第几行，再根据数对的写法，即可得出答案； 由图△A′B′C′，找出点A′、B′、C′分别在第几列，第几行，再根据数对表示位置的方法∶第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此解决问题。 【详解】因为，A在第3列，第7行，所以用数对表示为（3，7），B在第2列，第9行，所以，用数对表示为（2，9），因为C在第8列，第9行，所以，用数对表示为（8，9）； 如图，三角形ABC向下平移5个单位后的图形△A′B′C′， 平移后的三角形的三个顶点的数对位置分别是：A′（3，2）；B′（2，4）；C′（8，4）。 【点睛】此题考查了数对的写法，即先看在第几列，这个数就是数对中的第一个数；再看在第几行，这个数就是数对中的第二个数。 学科网（北京）股份有限公司 $$