专题11 圆中各类最值类型专项训练（含隐圆、阿氏圆问题）（11大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题11 圆中各类最值类型专项训练（含隐圆、阿氏圆问题）（11大题型） 题型一 圆中勾股定理型最值 题型二 90度隐圆最值 题型三 45度、120度与135度隐圆最值 题型四 圆中线段最值问题 题型五 圆中线段和最值问题 题型六 圆中周长、面积最值问题 题型七 利用三角形的中位线求圆中最值 题型八 圆中旋转最值问题 题型九 圆中翻折最值问题 题型十 运动路径长最值问题 题型十一 阿氏圆最值问题（含相似证明） 【经典例题一 圆中勾股定理型最值】 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 6．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 8．（2024·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ．    【经典例题二 90度隐圆最值】 1．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·一模）如图，的弦，在圆心O的两侧，的直径为4，弦，为上一动点，，若于点E，当点D从点C运动到点A的过程中，点E运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 6．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 7．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接，交于点G，且，连接并延长交于点H，则的最小值是 ． 8．（2024·山西大同·一模）如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为 ． 【经典例题三 45度、120度与135度隐圆最值】 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，，，垂足为，，．则的长（     ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．无最大值 5．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    6．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 7．（2024·湖北武汉·一模）如图，等边边长为分别是边上的一个动点，且，连接，交于点P，则的最小值为 ． 8．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，，点分别在边上，且，连接交于点，连接，则 ，的最小值是 ． 【经典例题四 圆中线段最值问题】 1．（2023·山东威海·统考二模）如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为（  ）    A． B．2 C． D． 2．（2023·山东泰安·统考一模）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（    ）    A． B． C．2 D．1 3．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，矩形中，，点P是矩形内部一动点，且始终是，则的最小值是（　　）    A． B． C． D．4 4．（2023秋·九年级单元测试）如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 5．（23-24秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为 ．    7．（2023·四川泸州·统考一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边（包括端点）和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是 ．    8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，边长为2的正方形中，动点在边上，射线上取一点，使，当动点从点出发向终点运动时，点的运动路径长为 ，线段的最大值是 ． 【经典例题五 圆中线段和最值问题】 1．（2023·山东聊城·统考二模）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ）    A． B． C．8 D．12 2．（2023·安徽合肥·统考二模）矩形中，，，点E是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点F，若于M点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．5 3．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 4．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级统考期末）如图，在中，是的直径，，，是点关于的对称点，是上的一个动点，有下列结论：①；②；③；④的最小值是10；⑤.上述结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是8，则的最大值是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 6．（2023·浙江台州·统考一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是 ．    7．（2023春·九年级单元测试）如图，A点的坐标为，以A为圆心的切x轴于点B，为上的一个动点，则的最大值= 8．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，A、是半圆上的两点，是直径，．若，，是上的一动点，则的最小值为 ． 【经典例题六 圆中周长、面积最值问题】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，的周长是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（    ）    A．21 B．33 C． D．42 5．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    6．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点位于弧的处且靠近点的位置，点、分别在线段、上，，为的中点，连接，．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为 ． 7．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ． 8．（2024·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点，点，若点P是y轴正半轴上的点，且满足，则点P的坐标为 ；若点P是坐标平面内任一点，且满足，则面积的最大值为 ．    【经典例题七 利用三角形的中位线求圆中最值】 1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 2．（2023·广西柳州·模拟预测）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24·山东临沂·二模）如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ． 7．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点的坐标为轴于点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为 ．    8．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则k的值为 【经典例题八 圆中旋转最值问题】 1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是的两条互相垂直的直径，P为上一动点，过点P分别作，垂足分别为E、F，Q为的中点．若点P从点B出发，以每秒10°的速度按顺时针方向旋转一周，当取得最大值时，点P运动的时间为（    ）秒． A．6 B．9 C．9或27 D．6或30 2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）如图，在中，且，点为的内心，点为边中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    5．（23-24秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为 ． 6．（23-24·河北唐山·统考模拟预测）一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，，取中点，连接．在内部任意转动（包括边界），则在运动过程中扫过的面积为 ，在旋转过程中，线段的最小值为 ． 7．（2023秋·天津南开·九年级校考期末）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ． 8．（2023·江西抚州·校联考三模）（1）课本再现：我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在中，点D，E分别是，的中点，连接．则与的关系是______．    （2）定理证明：请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． （3）定理应用：如图（2），在四边形中，点M，N，P分别为，，的中点，，的延长线交于点E．若，则的度数是______．    （4）如图（3），在矩形中，，，点E在边上，且．将线段绕点A旋转一定的角度（），得到线段，点M是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．    【经典例题九 圆中翻折最值问题】 1．（23-24秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ． 5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 6（23-24秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是 ． 【经典例题十 运动路径长最值问题】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东珠海·二模）边长为2的等边三角形中，于H，E为线段上一动点，连接．于点F，分别交于点D，G．①当E为中点时，；②；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④的最小值．正确结论是（    ） A．②③ B．②④ C．①②④ D．①③④ 3．（2023·江苏镇江·一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（    ） A． B．12 C． D． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D．2 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是 ． 6．（23-24九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．    7．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P是 上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接，当点P在弧上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长 ． 8．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是第一象限内的一个定点，点是以为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边在右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是 ． 【经典例题十一 阿氏圆最值问题（含相似证明）】 1．（23-24·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 2．（23-24九年级上·浙江·专题练习）如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．    3．（23-24九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 4．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 5．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 6．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 7．（23-24·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 8．（23-24·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆中各类最值类型专项训练（含隐圆、阿氏圆问题）（11大题型） 题型一 圆中勾股定理型最值 题型二 90度隐圆最值 题型三 45度、120度与135度隐圆最值 题型四 圆中线段最值问题 题型五 圆中线段和最值问题 题型六 圆中周长、面积最值问题 题型七 利用三角形的中位线求圆中最值 题型八 圆中旋转最值问题 题型九 圆中翻折最值问题 题型十 运动路径长最值问题 题型十一 阿氏圆最值问题（含相似证明） 【经典例题一 圆中勾股定理型最值】 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值． 【详解】连接OP、OQ，如图所示， ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ， 根据勾股定理知：PQ2=OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=4， ∴AB==4， ∴S△AOB=OA•OB=AB•OP，即OP==2， ∴PQ= 故选B． 【点睛】本题圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的切线性质及相关定理是本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知 当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ最小. 【详解】解：如图，连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 由勾股定理知， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴， ∴， ∵OQ＝2， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，过点C作于H，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解： 连接，过点C作于H， 是的切线， ， ， 当时，最小，取最小值， 为等边三角形， ， ， 的最小值为：， 故选：C． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先连接根据勾股定理知可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键． 【详解】解：连接如图： ∵是的切线， 根据勾股定理知 ∴当时， 线段最短， ∵在中， 故选：C． 5．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂线段最短、勾股定理，连接，，根据切线的性质和勾股定理推出，由于为半径是定值，则最小时，取最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，利用三角形面积求得，即可求得线段长的最小值． 【详解】解：连接，，如图所示： 为的一条切线， ， ， 为半径是定值， 当最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ，，． ， ， ，解得， ， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先确定点坐标，利用勾股定理解得的长度；连接，，切线的性质可得，所以在中，由勾股定理可得，当时，取最小值，也取最小值，然后利用面积法解得的值，进而确定长度的最小值即可． 【详解】解：对于直线：， 令，则，即， 令，则，解得，即， ∴，， ∵， ∴， 连接，，如下图， ∵为的切线，的半轻为1，即， ∴， ∴在中，， 当时，取最小值，也取最小值， 此时可有， 即，解得， ∴， ∴长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴交点问题、勾股定理、垂线段最短、切线的性质定理等知识，正确作出辅助线，结合切线的性质分析问题是解题关键． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 8．（2024·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、切线的性质、勾股定理、三角形面积公式，连接，，求出，，由勾股定理得出，由切线的性质结合勾股定理得出，当最小时，的值最小，当时，的值最小，此时的值最小，由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，，    在中，令，则，故，， 令，则，解得：，故，， ， 是的切线， ， ， 的长度为不变， 当最小时，的值最小， 当时，的值最小，此时的值最小， ， ，此时， 长度的最小值为， 故答案为：． 【经典例题二 90度隐圆最值】 1．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 2．（2024·湖北武汉·一模）如图，的弦，在圆心O的两侧，的直径为4，弦，为上一动点，，若于点E，当点D从点C运动到点A的过程中，点E运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，从而证明是等腰直角三角形，作于点N，由垂径定理求出，根据的值求出的度数，利用角度关系求出，根据于点可知，点在为直径的圆上运动，然后由的位置确定的起点和终点，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解： ，直径为4， 如图，连接，， ， ，是等腰直角三角形，由勾股定理有， 取的中点M， ， 点O经过以M为圆心，以为半径的圆上， 作半圆，当点D从点C运动到点A时，点E的起点为点，终点为点A，即点E的运动轨迹为，， 作于点N， 则， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题是圆的轨迹问题，考查了垂径定理，圆周角定理的推论，弧长公式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据锐角三角函数值求角度等，确定点的运动路径是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，连接，取的中点，连接， ，根据圆周角的性质可知点在正方形 内以为直径的上，可推出 ，由勾股定理可得 ，再结合三角形三边关系得出当且仅当、、三点共线时，线段取得最小值，解题的关键是判断出点的运动轨迹，找到使线段取最小值的位置． 【详解】解：连接，取的中点，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵正方形的边长是，点是边的中点， ∴，， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴当且仅当三点共线时，线段取得最小值， ∴线段的最小值为， 故选：． 4．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识连接， 作 ，连接，可知点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】连接， 作 ，连接， ， ∴， ∵为圆心，半径为， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上移动， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故选：． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中 ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 6．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，如图所示，由圆周角定理的推论得到，从而确定动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由点到圆周上动点距离最值的求法转化为，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 以为直径作， ，则， ， 动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示： 连接，在中，由三角形三边关系可得，从而当三点共线时，可取到最小值，为， 已知中，，， 在中，，则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及圆的性质、圆周角定理的推论、动点最值问题-圆弧型、三角形三边关系、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-圆弧型的解法步骤是解决问题的关键． 7．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接，交于点G，且，连接并延长交于点H，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的性质以及切线长定理，根据题意画出辅助圆是解题的关键． 证明得到，即可得到点G在以为直径的圆上，与相切时，最大，由勾股定理求出的最大值为1，设，则，，根据勾股定理得出x，即可得到答案． 【详解】解：∵ 四边形为正方形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 点G在以为直径的圆上， ∴ 与相切时，最大，如图所示， 此时，， 设，则，， 在中，， ∴ ， 解得， 的最大值为1，故的最小值为． 故答案为：3． 8．（2024·山西大同·一模）如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，求一点到圆上的距离的最值问题，根据题意得出，进而可得在为直径的一段弧上运动，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵，， 即 ∴ ∴在为直径的一段弧上运动， 如图所示，设为的中点，连接，则, ∴当在上时，取得最小值，最小值为， 故答案为：． 【经典例题三 45度、120度与135度隐圆最值】 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，先求出，从而证明点P在以点A为圆心，为半径的圆上，从而得到，从而得到，得出点P在以点A为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 以点A为圆心，为半径作圆，延长交圆于点Q，连接， 则， ∴， ∴点P在上，， ∴． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，，，垂足为，，．则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，连接，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算，求出，根据垂径定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，结合图形计算得到答案，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于，于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 3．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，则，，先证明点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），故当点O在线段上时，最大，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接， ∴，， ∵， ∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧）， ∴当点O在线段上时，最大， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最大值， 故选D． 【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键． 4．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．无最大值 【答案】A 【分析】首先判断出点O在经过点A，B的圆E上，求出圆的半径，过E作于G并延长，与交于点F，利用矩形的判定和性质和勾股定理求出，分析得出当O，E，D三点共线时，最大，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴点O在经过点A，B的圆E上，且， ∴，即圆E的半径为， 过E作于G并延长，与交于点F， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径，本题属于运动型问题，解题时要用动态的眼光审题，动中有静，学会构造圆，利用圆的性质分析题意． 5．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，   ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 6．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作的外接圆，    ∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：； 7．（2024·湖北武汉·一模）如图，等边边长为分别是边上的一个动点，且，连接，交于点P，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证和全等得，由此得，过点作于，过点作交的延长线于点，连接，根据等边三角形的性质得，，，以点为圆心，以为半径作，在优弧弧上取一点，连接，，连接，，则，由此得，从而得点始终在劣弧上运动，则，根据“两点之间线段最短”可得的最小值． 【详解】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 过点作于，过点作交的延长线于点，连接，如图1所示： 为等边三角形， 是的垂直平分线，， ，， ， 在中，，，， ， ， ， 以点为圆心，以为半径作，在优弧上取一点，连接，，连接，，如图2所示： 则， ， ， 点始终在劣弧上运动， 则， 根据“两点之间线段最短”得：， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，确定点在劣弧上运动是解决问题的难点． 8．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，，点分别在边上，且，连接交于点，连接，则 ，的最小值是 ． 【答案】 /120度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理、圆的有关性质等知识，首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动（，），连接交于，当点与重合时，的值最小，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题． 【详解】解：如图， ，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 在弧上任取一点，连接、，则， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 连接交于，当点与重合时，的值最小， 最小值． 故答案为：，． 【经典例题四 圆中线段最值问题】 1．（2023·山东威海·统考二模）如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为（  ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据运动过程始终保持，可知点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短（图1）；设交圆O于F，此时满足最长（图2）．据此利用勾股定理即可作答． 【详解】∵运动过程始终保持， ∴点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O， 连接，交圆O于点F，此时满足最短．如图1，          图1                              ∵等边的边长为4， ∴，， ∵点O为中点， ∴， ∴， ∴最短为：， 如图2，假如当点F运动到与的交点时，最长．    图2 ∵（直径所对的圆周角为直角）， 又， ∴F为的中点， ∴． 即长度的最大值为2． 故线段长度的最大值与最小值的差约为： ． 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，判断出点F在以为直径的圆上，是解答本题的关键． 2．（2023·山东泰安·统考一模）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出的长度及点的长度，结合点的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最小值． 【详解】解：以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小    当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． ，点的坐标为． 又点的坐标为， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离半径该点到圆心的距离是解题的关键． 3．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，矩形中，，点P是矩形内部一动点，且始终是，则的最小值是（　　）    A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】以为直径作，证出点P在上，连接，由矩形的性质得出，由勾股定理求出，当P为与圆O的交点时，，即可得出答案． 【详解】解：以为直径作，      ， 点P在上， 连接， 四边形是矩形， ， ， 当P为与圆O的交点时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识；确定点P的运动路径是解题的关键． 4．（2023秋·九年级单元测试）如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，由是直径可得，则可判断点E在以为直径的弧上运动，于是以为直径作，连接、．在中，，等号成立时，的值最小，此时、、共线． 【详解】解：如图，连接，∵是直径， ∴， ∴点E在以为直径的弧上运动， 则以为直径作，连接、． ，，， ，，． ，， 、、共线时，的值最小，最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系、圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5．（23-24秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝4+2， ∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 6．（23-24秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】如图所示，取的中点O，根据线段中点的定义得到，再根据得到点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，故当在线段上时，有最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点O， ∵， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴点P在以的圆上运动，即点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动， ∴当在线段上时，有最大值， 连接交于D，则点P运动到点D时有最大值， 由勾股定理得， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：．      【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理等等，确定点P的运功轨迹是解题的关键． 7．（2023·四川泸州·统考一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边（包括端点）和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是 ．    【答案】10.5 【分析】设与相切与点E，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，当在边上时，与B重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，最大值，即可求解． 【详解】解：设与相切与点E，连接，作垂足为交于，    此时垂线段最短，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴最小值为； 如图，当在边上时，与B重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，最大值， ∴长的最大值与最小值的差是10.5， 故答案为：10.5． 【点睛】本题考查切线的性质，三角形中位线定理等，正确找到点取得最大值、最小值时的位置是解题关键． 8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，边长为2的正方形中，动点在边上，射线上取一点，使，当动点从点出发向终点运动时，点的运动路径长为 ，线段的最大值是 ． 【答案】 π 4 【分析】以为边在正方形内作等边三角形，点为圆心，为半径作圆，可知圆的半径为2，延长，交于点，延长，交于点，连接并延长交于点，连接，可知点的运动路径为，根据弧长公式求解，的最大值为，根据圆的直角即可求解． 【详解】解：如图，以为边在正方形内作等边三角形，点为圆心，为半径作圆， 则点在上，延长，交于点，延长，交于点，连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ， 点、、在上， ， 从点运动到点，则点从运动到， 即点的运动路径为， 四边形是正方形， ，， 的长为， 圆内最长的弦为直径，由图可知最大值为， 为的直径，即， 最大值为4． 故答案为：①；②4． 【点睛】本题考查了点的运动，圆周角，弧长公式等知识，正确作出辅助线，找出点G的运动路径是解题的关键． 【经典例题五 圆中线段和最值问题】 1．（2023·山东聊城·统考二模）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ）    A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，    ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为8， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键． 2．（2023·安徽合肥·统考二模）矩形中，，，点E是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点F，若于M点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】作，，证明，推出，当D、M、B三点共线时，有最小值，最小值是的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴A、D、M、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 当D、M、B三点共线时，有最小值，最小值是的长， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 3．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解． 【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知， 点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆）， 点E的对称点为，连接,则， ∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，在中，，， ， 又， ，即的最小值为8， 故选：A． 【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键． 4．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级统考期末）如图，在中，是的直径，，，是点关于的对称点，是上的一个动点，有下列结论：①；②；③；④的最小值是10；⑤.上述结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据和是点关于的对称点，求出，求出即可判断①②；根据圆周角定理求出当和重合时即可判断③；求出点的位置，根据圆周角定理得出此时是直径，即可求出长，即可判断④；已知是上的一个动点，则的大小会随着点位置的变化而变化，即可判断⑤． 【详解】∵和是点关于的对称点， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵的度数是， ∴的度数是， ∴只有当和重合时， ∵， ∴只有当和重合时，，故③错误； 作点关于的对应点，连接，交于，连接交于，此时 的值最短，等于，连接， ∵，且弧的度数都是， ∴，， ∴， ∴是的直径，即， ∴的最小值是10，故④正确； ∵已知是上的一个动点， ∴的大小会随着点位置的变化而变化， ∴的大小不能确定，故⑤错误； 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称--最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出的位置是解此题的关键． 5．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是8，则的最大值是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】首先连接，根据圆周角定理，求出，进而判断出为等边三角形；然后根据的半径为8，可得，再根据三角形的中位线定理，求出的长度；最后判断出当弦是圆的直径时，它的值最大，进而求出的最大值是多少即可． 【详解】如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为8， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∵为定值， ∴当最大时，最大 ∵当弦是圆的直径时，它的最大值为：， ∴的最大值为：． 故选B． 【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的性质，判断出当弦GH是圆的直径时GE+FH取得最大值是关键． 6．（2023·浙江台州·统考一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】连接，可得，设，则，则问题转化为求的最大值，然后根据不等式的性质和完全平方公式的变形解答即可． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵（当且仅当时等号成立） ∴， ∴（当且仅当时等号成立）， ∴的最大值是，即的最大值是； 故答案为：．    【点睛】本题考查了勾股定理、圆的基本知识、不等式的应用和完全平方公式等知识，灵活应用转化的思想方法，求得是解题的关键． 7．（2023春·九年级单元测试）如图，A点的坐标为，以A为圆心的切x轴于点B，为上的一个动点，则的最大值= 【答案】/ 【分析】设，则点在直线上，易得直线与轴的交点坐标为，于是可判断当直线与在上方相切时，k的值最大，直线与轴交于点，切于，作轴于，于，连接，如图，则，利用直线的性质易得，则为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得，，，，所以四边形为矩形，，则，，所以以，然后在中，利用得到，解得，从而得到的最大值为． 【详解】解：设，则点在直线上，当时，，即直线与轴的交点坐标为，所以当直线与在上方相切时，k的值最大，直线与轴交于点，切于， 作轴于，于，连接，如下图， 当时，，解得，则， 直线为直线向上平移个单位得到， ， 为等腰直角三角形， 和为的切线， ，，，， 四边形为矩形，， 为等腰直角三角形， ， ， 在中， ， ，解得， 的最大值为． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，解题的关键是确定直线与A相切时的最大值． 8．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，A、是半圆上的两点，是直径，．若，，是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长交于连接交于P，连接．则的值最小，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：延长交于连接交于P，连接． ∵， ∴， ∴，此时的值最小， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用和最短路径问题，正确的作辅助线是解决本题的关键． 【经典例题六 圆中周长、面积最值问题】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式，可得四边形的面积，可得④错误，即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵为直径， ∴， ∵， ∵， ∴要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故③正确； 作，交延长线于M， ∵， ∴， ∵A、C、B、D四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵直径，，， ∴，， ∴， 四边形的面积为 ，故④错误； 综上，①②③正确； 故选：C 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题取的中点为圆心，以长为半径画圆，根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，的长度最小，利用线段中点的性质得到、，利用勾股定理算出，得到为的中点，根据直角三角形性质得到，利用勾股定理逆定理得到，结合勾股定理算出，最后根据的周长，即可解题． 【详解】解：取的中点为圆心，以长为半径画圆，当、、三点共线时，的长度最小，如图所示： 点P为内一点，且满足． ， ，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， 的周长是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、直角三角形性质、两点之间，线段最短、圆周角定理，解题的关键在于利用圆周角定理结合勾股定理逆定理得到点的运动轨迹，并根据两点之间，线段最短确定的长度最小时，点所在位置，再根据相关性质定理求解，即可解题． 3．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（    ）    A．21 B．33 C． D．42 【答案】B 【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 即，由勾股定理得：， 过C作于M，连接，    则由三角形面积公式得：， 即：， ∴， ∴圆C上点到直线的最大距离是：， ∴面积的最大值是； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 5．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共线，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，   四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， 四点共线， 恒等于， 点P在正方形对角线上运动， ， ， ， ， 为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ， 的周长的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 6．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点位于弧的处且靠近点的位置，点、分别在线段、上，，为的中点，连接，．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r,那么的圆心角所对的弧的长度为． 如图，连接，取的中点T，连接．证明是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出，，推出当O，E，F共线时，的值最小，此时点E与点T重合，求出，的长即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点T，连接． ，， ， 的长， ， ， ， ， ∴当O，E，F共线时，的值最小，此时点E与点T重合， ∴此时， ，， 是等边三角形， ， ， ， ∴此时阴影部分的周长为． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，切线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，理解等底时，高越大，面积越大，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质，可求出，根据可求出的值，因为弓形的面积是定值，当的面积最大时，阴影部分的面积最大，如图，过点作，反向延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，即最大值为的面积，根据圆的基础知识可得是等边三角形，可求出，， 根据可求出弓形的面积，由此即可求解阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵弓形的面积是定值， ∴当的面积最大时，阴影部分的面积最大， 如图，过点作，反向延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，即最大值为的面积， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴图中阴影部分面积的最大值为：， 故答案为：． 8．（2024·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点，点，若点P是y轴正半轴上的点，且满足，则点P的坐标为 ；若点P是坐标平面内任一点，且满足，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查隐圆问题，圆周角定理，勾股定理，圆上一点到直线的距离等．设中点为E，过点E在第一 象限作，构造等腰直角和，以点C为圆心，（或）长为半径作，得到点P的运动轨迹．（1）过点C作轴于点D，利用勾股定理解即可求解；（2）当点P与点C、点E在同一直线且位于x轴上方时，面积取最大值．得到点P的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：设中点为E， 点，点， ，， 过点E在第一 象限作，且，以点C为圆心，（或）长为半径作，与y轴的正半轴交于点P， 由作图知和为等腰直角三角形， ， ， ， 点P即为满足条件的点， 过点C作轴于点D，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 点P的坐标为； 当点P与点C、点E在同一直线且位于x轴上方，即图中点位置时，的面积最大， 此时， ， 故答案为：；．      【经典例题七 利用三角形的中位线求圆中最值】 1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，的长最大是解题的关键．连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理得到，则当取最大值时，的长最大，求得的最大值，即可求得长的最大值． 【详解】解：连接，    ，， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 当取最大值时，的长最大， 是半径为2的上一动点， 当过圆心时，最大， ，， ， 的半径为4， 的最大值为， 长的最大值为， 故选：． 2．（2023·广西柳州·模拟预测）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在与圆B的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：直线， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为1， 如图，在x轴上取，连接， ∵M为线段的中点，， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，即最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段上时，最小， ∵，， ∴由勾股定理， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，掌握一次函数与坐标轴交点坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最小值时点C的位置是关键． 3．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作射线交于、，连接．因为，所以，所以当最大时，最大，可知当M运动到时，最大，由此即可解决问题． 【详解】如图，作射线交于、，连接， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当M运动到时，最大， 此时的最大值， 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题． 4．（23-24·山东临沂·二模）如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3， ∵∠ACB=90°， 即在中，， ∵E是斜边AB上的中点， ∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴， ∴在中，，即； 当C、M、E三点共线时有或者； 即， ∴CM最小值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 5．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，圆外一点到圆上点的距离的最值，把求的最值转化为求的最值是关键；确定点M的运动路径；延长到E，使，连接，交于点F、G；利用三角形中位线定理及圆的基本性质即可求得线段长度的取值范围． 【详解】解：∵， ∴在以B为圆心4为半径的圆上运动； ∵四边形为矩形， ∴； 延长到E，使，连接，交于点F、G； ∵N为的中点， ∴； 当M与F重合时，最小，且最小值为长；当M与G重合时，最大，且最大值为长； ∵，， ∴； ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， 则线段长度的取值范围是．    故答案为：． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则． 【详解】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当三点共线且点F在上时，有最小值， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点的坐标为轴于点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，根据三角形中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，    则点是的中点， 点为线段的中点， , 当最小时，最小， 由题意可得点在以为圆心，5为半径的圆上运动， 当在同一条直线上，且点在中间时，最小， ， ， 最小为， 最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的中位线，画出图形，确定最小时，的位置是解题的关键． 8．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则k的值为 【答案】 【分析】连接，根据中位线定理可得长的最大值为，当过圆心C时，最长，过B作轴与D，设，则 即 根据勾股定理可得列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：连接，由对称性得：， 而Q是的中点， ∴ ∵的长的最大值为3，则长的最大值为， 如图所示： 当过圆心C时，最长，过B作轴与D， ， ，B在直线上， 设，则 即 在 中，由勾股定理得： 整理得：， 解得：（舍去），或， ∴ ， ∵B在反比例函数的图像上， 故答案为 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的中位线的性质，圆的基本性质等，综合性比较强，难度较大． 【经典例题八 圆中旋转最值问题】 1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是的两条互相垂直的直径，P为上一动点，过点P分别作，垂足分别为E、F，Q为的中点．若点P从点B出发，以每秒10°的速度按顺时针方向旋转一周，当取得最大值时，点P运动的时间为（    ）秒． A．6 B．9 C．9或27 D．6或30 【答案】D 【分析】连接．首先证明点点Q在，，当时，的值最大，分两种情形分别求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵， ∴点Q在上，， ∴点Q在以O为圆心，长为半径的圆上， ∴当为小圆的切线时，的值最大，即当时，的值最大， ∵， ∴， ∴或时，的值最大， ∴（秒）或（秒） 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题，矩形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可知，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点在一条直线上时，有最小值． 【详解】解：如图所示：连接． ∵四边形为正方形， ∴． ∵点D与点M关于对称， ∴． ∴点M在以A为圆心，以长为半径的圆上． 如图所示，当点在一条直线上时，有最小值． ∴的最小值1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键． 3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）如图，在中，且，点为的内心，点为边中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据三角形内心的性质，得出，得出点P在过A、B的圆弧上运动，此时圆心为点E，半径为，连接交于点F，交于点G，连接，，，先求出，根据垂径定理得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值， ∴点P在过A、B的圆弧上运动，此时圆心为点E，半径为，连接交于点F，交于点G，连接，，，如图所示： 当点P在点F时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，， 根据旋转可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，找出点P的运动轨迹，使取最小值时，点P的位置． 4．（23-24秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    【答案】 【分析】连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，根据旋转的性质得出，进而可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则线段的最大值与最小值的和为，进而勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，    ∵线段绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ 则点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴线段的最大值与最小值的和为 在中， ∴， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作于点，    则四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴ ∴，， 在中，， ∴线段的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，求一点到圆上的距离的最值，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（23-24秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为 ． 【答案】﹣1 【分析】根据点D和点M关于AE对称，即可得到AD与AM相等，确定点M的运动轨迹是以A为圆心AD为半径的圆上，通过圆外一点到圆的最短距离是A、M、C三点共线时，再算出AC长和AM相减，即可求出结果． 【详解】解：如图所示，连接AM， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为1， ∴AC==， ∵点D与点M关于AE对称， ∴AM=AD=1， ∴点M在以A为圆心，AD长为半径的圆上， ∴连接AC与圆A的交点即为CM最小时M的位置， ∴CM的最小值=AC=AM=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查旋转的性质、圆的性质及点和圆的位置关系、轴对称性质、勾股定理，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键． 6．（23-24·河北唐山·统考模拟预测）一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，，取中点，连接．在内部任意转动（包括边界），则在运动过程中扫过的面积为 ，在旋转过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 ， 【分析】由在内部任意转动（包括边界），可得F在以C为圆心，以CF为半径的圆上且运动的圆心角最大为45°的扇形，求出CF的长度，就可求出在运动过程中扫过的面积．由图知，CF、OC不变，所以当C、O、F三点共线时，OF最小，问题得解． 【详解】如图1 ∵在内部任意转动（包括边界） ∴在运动过程中扫过的图形面积是扇形CF1F2的面积． 由图易知∠F1CF2=45°，CF== ∴在运动过程中扫过的面积==． 如图2 在RT△ABC中，∵∠C=90°∠A=30° ∴ 又∵O是AB的中点 ∴OC= 由图易知（当C、O、F三点共线时取等号，在题的条件下可以取此三点共线） 所以OF的最小值为． 【点睛】本题考查画扇形和计算扇形面积，还考查几何中的最值问题．计算扇形面积时先要弄准扇形的半径长和圆心角的度数，才能代入公式计算；对于求距离最值问题可分为两步，第一步确定在什么情况下取最值，第二步是计算最值．确定在什么情况下取最值时，先要分清那些量是常量那些量是变量，再根据学过的有关图形最值的知识——如两点之间线段最短，垂线段最短等来解决问题． 7．（2023秋·天津南开·九年级校考期末）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ． 【答案】2﹣2 【分析】连接MD，由垂径定理可得MD⊥EF，即∠ODM=90°，然后根据勾股定理可知：点D在以A点为圆心、2为半径的圆上；再根据点与圆的位置关系可知，当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，最后计算即可． 【详解】解：如图:连接MD ∵D为EF的中点， ∴MD⊥EF， ∴∠ODM＝90°， ∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆上， 当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小， ∵AC= ∴CD＝AC﹣2＝2﹣2，即CD的最小值为2﹣2． 故答案为：2﹣2． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线并灵活应用相关定理是解答本题的关键． 8．（2023·江西抚州·校联考三模）（1）课本再现：我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在中，点D，E分别是，的中点，连接．则与的关系是______．    （2）定理证明：请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． （3）定理应用：如图（2），在四边形中，点M，N，P分别为，，的中点，，的延长线交于点E．若，则的度数是______．    （4）如图（3），在矩形中，，，点E在边上，且．将线段绕点A旋转一定的角度（），得到线段，点M是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．    【答案】（1）且；（2）证明过程见解析；（3）；（4）旋转过程中线段长的最大值为4，最小值为1． 【分析】（1）根据三角形中位线可直接进行求解； （2）延长至点F，使，连接，由题意可证，然后可得，进而可证四边形是平行四边形，最后问题可求证； （3）由题意易得，，然后问题可求解； （4）延长至点H，使，连接，，由题意易得，然后可得点F在以点A为圆心，3为半径的圆上，进而根据圆的最值问题可求解． 【详解】（1）且， 故答案为：，； （2）证明：如图（1）延长至点F，使，连接．    又，， ∴ ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （3）解：∵点M，P分别为，的中点， ∴， ∴， ∵点N，P分别为，的中点， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； （4）如图（2），延长至点H，使，连接，．    ∵，． ∴． 由勾股定理得， ∵，． ∴， ∴点F在以点A为圆心，3为半径的圆上（不与点E重合）． ∴当点F在线段上时，最小，最小值为； 当点F在线段的延长线上时，最大，最大值为． 故长的最大值为4，最小值为1． 【点睛】本题主要考查三角形中位线、平行四边形的判定与性质及圆的基本性质，熟练掌握三角形中位线及圆的基本性质是解题的关键． 【经典例题九 圆中翻折最值问题】 1．（23-24秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先点是的中点，得，则点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，找到的最小和最大时的点，分别通过勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ， 将沿所在直线翻折得到△， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图）， 此时即为最小值，过作，交的延长线于， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 当与重合时，最大， 此时，， 在中，由勾股定理得： ， 当与重合时，不存在， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点的运动路径是解题的关键． 2．（23-24·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可． 【详解】解：连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值， ∵点D是边的中点， ∴, 在Rt△ACD中， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F的运动轨迹是解题的关键． 3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，得点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，可知当点三点共线时，最小． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴ ， ∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，最小， 连接，设， ∵ ∴ 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据可知点M在以为直径的上，作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长，然后利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：由折叠可知，，即， ∴点M在以为直径的上，如图， 作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理以及圆外一点到圆上一点的最短距离问题，判断出点M的运动轨迹是解题的关键． 5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】过点M作交延长线于点H，连接，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出，再由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得点在以M为圆心，为半径的圆上，从而得到当点在线段上时，长度有最小值，是解题的关键． 【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接， 菱形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴点在以M为圆心，为半径的圆上， ∴当点在线段上时，长度有最小值， ∴长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 6（23-24秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是 ． 【答案】8 【分析】先由折叠可知，则可得点在以为圆心，以的长为半径的圆上，然后结合已知条件求出、、的长度，最后求出的长的最小值． 【详解】解：由折叠可知， ∴点在以为圆心，以的长为半径的圆上，如图，连接，交圆于点，此时的长取最小值， ∵，，点为的中点， ∴，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，以及构造圆解决线段最值问题．熟练掌握折叠的性质，以及到定点等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，是解题的关键． 【经典例题十 运动路径长最值问题】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， 在中，，则， 的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则 当与重合时，；当与重合时，与重合； 走过的路程为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键． 2．（2023·广东珠海·二模）边长为2的等边三角形中，于H，E为线段上一动点，连接．于点F，分别交于点D，G．①当E为中点时，；②；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④的最小值．正确结论是（    ） A．②③ B．②④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质逐个分析即可． 【详解】①当时结合可得平分， 过作于， ∵E为中点， ∴， ∵ ∴不可能平分， ∴，故①错误； ②连接， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴点F的运动轨迹是以中点为圆心，半径为的圆， ∴点E从点B运动到点H，点F经过路径长为，故③错误； ④取中点，连接，，则 ∵， ∴ ∵ ∴的最小值，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是准确处理，属于中考压轴题． 3．（2023·江苏镇江·一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，根据菱形及等边三角形得性质可得，，可得出，可得必经过点，根据，可得点在以为直径的圆上，根据、的速度及菱形性质可得当点达到点时，点达到点，，可得点点运动路径长是的长，利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可得答案． 【详解】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、， ∵菱形的边长为，， ∴，是等边三角形， ∵点为边的中点， ∴，，， ∵点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴必经过点， ∵，， ∴点在以为直径的圆上，且、、、四点共圆， ∵当点达到点时，点达到点，， ∴点点运动路径长是的长， ∵，， ∴， ∴，即点点运动路径长是． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点的运动轨迹是解题关键． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】取的中点O、的中点E、的中点F，连接，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，则，，再根据等腰三角形的性质得，则，于是根据圆周角定理得到点M在以为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形为正方得到，所以M点的路径为以为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长． 【详解】解：取的中点O、的中点E、的中点F，连接，如图， ∵在等腰中，， ∴， ∴在上， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴点M在以为直径的圆上， 点P在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，得四边形为正方形，， ∴M点的路径为以为直径的半圆， ∴点M运动的路径长． 故选：C． 【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆． 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是 ． 【答案】 【分析】 本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识．如图，连接、交于点．当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合，当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，设，因为的外心在线段的垂直平分线上，观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是，由此即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接、交于点． 当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合， 当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，则垂直平分，， 设， 中，， ， 解得， ， 在矩形中，， ， ， 的外心在线段的垂直平分线上， 观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是． 故答案为． 6．（23-24九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．    【答案】/ 【分析】三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接，由内心定义得，继而证明，再由全等三角形的对应角相等解得，接着计算的度数，得到，过、、三点作，求得的度数，求出，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根据弧长公式解题即可． 【详解】解：如图，连接，   是内心， ， ，， ， ， ， ， ， ， 过、、三点作，连接， ， 当点从点运动到点时，内心所经过的路径长为的长， 过点作，过作，垂足分别为M、N， ，， ，， ，． ，， ， 在等腰直角三角形中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的内心性质、不共线三点确定一个圆、弧 长公式等知识，是重要考点，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键． 7．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P是 上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接，当点P在弧上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长 ． 【答案】 【分析】首先证明，推出当点P在弧上从点B运动到点C时，点M在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上（ ），利用弧长公式计算即可解决问题． 【详解】∵的内心为M， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． ∵，而， ∴， ∴， 所以当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以为弦， 并且所对的圆周角为的劣弧上（ ），点M在扇形内时， 过C、M、O三点作，连，在优弧取点D，连， ∵， ∴， ∴，而， ∴ ， ∴弧的长 = ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 8．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是第一象限内的一个定点，点是以为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边在右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到点的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到，即可求出路径长． 【详解】如图，连接、，将绕点逆时针旋转，得线段，连接、， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 即为动点运动的路径， 当点在上运动一周时，点运动的路径长是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”． 【经典例题十一 阿氏圆最值问题（含相似证明）】 1．（23-24·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·浙江·专题练习）如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形；方法一，，作，，确定的最大值和最小值．方法二，延长交于点，求得，得到，，当与相切时，取得最大和最小，据此求解即可． 【详解】解：方法一，作于，作于，   ，， ， ， ， ， ， ， 当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 如图，    由上知：，， ， ， ， ． 故答案为：． 方法二：延长交于点，    ∵，，、分别垂直于的两边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 连接，作， 可得：四边形是正方形， ， 在中，，， ， ∴的最大值为， 同理，的最小值为．   ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 4．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 【答案】 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2， 取OB的中点I，连接PI， ∴OI＝IB＝， ∵， ， ∴ ，∠O是公共角， ∴△BOP∽△POI， ∴， ∴PI＝PB， ∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小， 作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°， ∴IE＝BE＝BI＝1， ∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝， ∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB）， ∴PA＋PB的最小值是AI＝． 故答案是． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 5．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 6．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 【答案】5 【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可． 【详解】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝， ∴∠ACB=∠PCO， ∴△BCP∽△ACQ， ∴ ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴即EQ＝QD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴， ∴DQ+CQ的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解. 7．（23-24·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 【答案】． 【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题． 【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT． ∵PA＝2．AT＝1，AB＝4， ∴PA2＝AT•AB， ∴＝， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴， ∴＝＝， ∴PT＝PB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt中， ∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4， ∴CT＝＝， ∴PB+PC≥， ∴PB+PC的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 8．（23-24·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 学科网（北京）股份有限公司 $$