精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区第四十七中学2021-2022学年八年级下学期月考数学(五四制)试题

哈47中学八年级下学期数学线上作业 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若的三边，，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 菱形两条对角线、长分别是6和8，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 96 C. 24 D. 25 6. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 9. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 三角形的三边a、b、c满足，则该三角形是直角三角形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二、填空题（每题3分，共30分） 10. 方程化为一元二次方程的一般形式是______． 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m＝___． 12. 在▱ABCD中，∠B＝100°，则∠D＝_______． 13. 关于的方程有一个根是，则的值是________． 14. ，，，，是的中点，则中线的长为________． 15. 若、、分别是三边中点，，，，则的周长为______． 16. 如图，矩形沿折叠，使顶点B和点D重合．若，则的长为______． 17. 如图，四边形ABCD为菱形，顶点A、B在x轴上，AB=5，点C在第一象限，且菱形ABCD的面积为20， A坐标为（-2，0），则顶点C的坐标为________. 18. 已知平行四边形ABCD中，AB=10，BC边上的高为6，AC=3，则平行四边形ABCD的周长______． 19. 如图，在中，，点B为延长线上一点，且，连接，点F、E分别为、的中点，连接、，当，时，则的长度为______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为一边的等腰直角，点E在小正方形的顶点上，且为直角； （2）在方格纸中画出以为腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为7.5； （3）连接，请直接写出线段的长． 22. 如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里． （1）求灯塔到航线的距离； （2）在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 23. 在中，，垂足为点，点是边的中点，，交于点，，连接． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接、、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的2倍的线段． 24. 一汽车销售商店经销A、B两种型号轿车，用400万元可购进A型轿车10辆和B型轿车20辆；用300万元可购进A型轿车9辆和B型轿车14辆． （1）求A型与B型轿车每辆的进价分别为名少万元？ （2）若该汽车销售商店购进A、B两种型号的轿车共60辆，且购车资金不超过700万元，求该汽车销售商店至少购进A型轿车几辆？ 25. 在四边形中，，点E在上，连接，与交于点F，，； （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，猜想和之间的数量关系，并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，W为中点，K为中点，E为的中点，连接，，若，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，，分别在，的正半轴上，四边形为正方形，点，第二、四象限的角平分线交射线于点； （1）求点坐标； （2）若动点从点出发沿射线方向以3个单位/秒的速度匀速运动，三角形的面积为（），点运动的时间为，求与的关系式（并直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点在第二象限且在直线上，连接交轴于，若，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈47中学八年级下学期数学线上作业 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，22+32=13≠42，不符合题意； 选项B，32+42=25≠62，不符合题意； 选项C，52+122=169=132，符合题意； 选项D42+62=52≠72，不符合题意． 由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形， 故选C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程． 【详解】A选项符合一元二次方程的定义，符合题意； B选项含有2个未知数，不符合题意； C选项当时，不是一元二次方程，不符合题意； D选项是分式方程，不符合题意； 故选A． 考点：一元二次方程的定义． 3. 如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 4. 若的三边，，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理得逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间得关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵， ∴或， 则或， ∴是等腰三角形或直角三角形，  故选：． 5. 菱形两条对角线、长分别是6和8，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 96 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：菱形的对角线，， 菱形的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 6. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形． 【详解】解：如图，连接， 、、、分别是四边形边的中点， ，，，； 且； 四边形是平行四边形． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及三角形的中位线定理，解题的关键是根据已知利用三角形中位线定理得出，，，． 8. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 9. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 三角形的三边a、b、c满足，则该三角形是直角三角形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】A 【解析】 【分析】交换命题的题设和结论后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：直角三角形的三边为a、b、c，则一定满足；因为c不一定是斜边，故其逆命题不一定成立，该选项符合题意； B、逆命题为：平行四边形的两组对边分别平行，成立，该选项不符合题意； C、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立，该选项不符合题意； D、逆命题为：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，成立，该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 二、填空题（每题3分，共30分） 10. 方程化为一元二次方程的一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：为常数且，即可解答． 【详解】解：， 整理得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可以列出方程和不等式，解方程和不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程，解题关键是根据定义列出方程，注意：二次项系数不为0． 12. 在▱ABCD中，∠B＝100°，则∠D＝_______． 【答案】100°##100度 【解析】 【分析】平行四边形的两组对角分别相等，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质. 13. 关于的方程有一个根是，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解方程即可； 【详解】把x=1代入方程， 得， ∴． 故答案是2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，准确计算是解题的关键． 14. ，，，，是的中点，则中线的长为________． 【答案】8.5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理解直角三角形，是解题的关键．利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：8.5． 15. 若、、分别是三边中点，，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵、、分别是三边中点，，，， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 如图，矩形沿折叠，使顶点B和点D重合．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由折叠性质可得，，由勾股定理可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理求的长度是本题的关键． 17. 如图，四边形ABCD为菱形，顶点A、B在x轴上，AB=5，点C在第一象限，且菱形ABCD的面积为20， A坐标为（-2，0），则顶点C的坐标为________. 【答案】（6，4） 【解析】 【分析】过点C作x轴的垂线，垂足为E，由面积可求得CE的长，在Rt△BCE中可求得BE的长，可求得AE，结合A点坐标可求得AO，可求出OE，可求得C点坐标． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为E， ∵S菱形ABCD=20， ∴AB•CE=20，即5CE=20， ∴CE=4， 在Rt△BCE中，BC=AB=5，CE=4， ∴BE=3， ∴AE=AB+BE=5+3=8． 又∵A（-2，0）， ∴OA=2， ∴OE=AE-OA=8-2=6， ∴C（6，4）， 故答案为C（6，4）． 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的四边相等和菱形的面积公式是解题的关键． 18. 已知平行四边形ABCD中，AB=10，BC边上的高为6，AC=3，则平行四边形ABCD的周长______． 【答案】42 【解析】 【分析】解直角三角形得到BC的长，根据平行四边形的性质得到AD，CD的长，于是得到结论． 【详解】解：∵AE⊥BC， ∴在Rt△ABE中，∵AB=10，AE=6， ∴BE=， 在Rt△ABE中，∵AC=3，AE=6， ∴CE==3， ∴BC=BE+CE=11， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=10，AD=BC=11， ∴▱ABCD的周长为2（10+11）=42， 故答案为：42． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 19. 如图，在中，，点B为延长线上一点，且，连接，点F、E分别为、的中点，连接、，当，时，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，得到，根据三角形中位线定理得到，设，得到，根据线段中点的定义得到，推出是等腰直角三角形，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵点是的中点， ∴， 则： ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）方程移项后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解． 【小问1详解】 解：方程移项得：， 开方得：或， 解得：，． 【小问2详解】 解：方程移项得：， 配方得：，即： 开方得：或， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法及直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 21. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为一边的等腰直角，点E在小正方形的顶点上，且为直角； （2）在方格纸中画出以为腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为7.5； （3）连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所作； （2）如图所示，即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查复杂作图和勾股定理： （1）根据矩形对角线性质可作出即可， （2）由勾股定理得出，作出，且使的面积为7.5； （3）由勾股定理可得，故可得结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理得，, 所以，即为所作，且的面积为； 【小问3详解】 解： 22. 如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里． （1）求灯塔到航线的距离； （2）在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 【答案】（1）50海里 （2）小时 【解析】 【分析】（1）由题意得到海里，求得，过点A作于T，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到，求得海里，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意可得 ，海里， 过点作于， ， ， 答：灯塔到航线的距离是50海里； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴为等腰直角三角形，且， （海里）， 在中，，根据勾股定理得， （海里）， 海里， 小时； 答：轮船从到处所用的时间为小时． 23. 在中，，垂足为点，点是边的中点，，交于点，，连接． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接、、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的2倍的线段． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴是的中点， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）图2中长度为的2倍的线段是、、． 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，得出四边形是平行四边形； （2）由HL证明和，得出，，，得出，证出四边形是平行四边形，因此，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：；理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∴（HL）， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即图2中长度为的2倍的线段是、、． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 24. 一汽车销售商店经销A、B两种型号轿车，用400万元可购进A型轿车10辆和B型轿车20辆；用300万元可购进A型轿车9辆和B型轿车14辆． （1）求A型与B型轿车每辆的进价分别为名少万元？ （2）若该汽车销售商店购进A、B两种型号的轿车共60辆，且购车资金不超过700万元，求该汽车销售商店至少购进A型轿车几辆？ 【答案】（1）每辆A型轿车10万元，每辆B型轿车15万元；（2）该汽车销售商店至少购进A型轿车40辆． 【解析】 【分析】（1）等量关系为：10辆A轿车的价钱+20辆B轿车的价钱=400万元；9辆A轿车的价钱+14辆B轿车的价钱=300万元； （2）根据（1）中求出AB轿车的单价，然后根据关键语“用不超过700万元购进A、B两种型号轿车共60辆”列出不等式，解出不等式即可； 【详解】（1）设每辆A型轿车x万元,每辆B型轿车y万元 由题意得，解得 答：每辆A型轿车10万元,每辆B型轿车15万元； （2）设该汽车销售商店购进A型轿车a辆 由题意得，解得， 答：该汽车销售商店至少购进A型轿车40辆； 【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式的运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键； 25. 在四边形中，，点E在上，连接，与交于点F，，； （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，猜想和之间的数量关系，并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，W为中点，K为中点，E为的中点，连接，，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质结合等边对等角得到，再推出，得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明是等腰直角三角形，由勾股定理得到，即可求解； （3）证明、都是等腰直角三角形，设，得到，作于M，于N，推出是等腰直角三角形，是的中位线，在中，利用勾股定理得到，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵E为的中点，∴， ∵，， ∴， ∴、都是等腰直角三角形， 设，则， ∴， 作于M，于N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵K为中点，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵W为中点， ∴， ∴， 在中，， ∵，即 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 26. 如图，在平面直角坐标系中，，分别在，的正半轴上，四边形为正方形，点，第二、四象限的角平分线交射线于点； （1）求点坐标； （2）若动点从点出发沿射线方向以3个单位/秒的速度匀速运动，三角形的面积为（），点运动的时间为，求与的关系式（并直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点在第二象限且在直线上，连接交轴于，若，时，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标及四边形为正方形，可得，，由第二、四象限的角平分线交射线于点可知为等腰直角三角形，从而得到的长度即可求解； （2）分两种情况，分别表示出的长度，在利用面积公式求解即可； （3）过点作轴于，连接，过点作交轴于，分两种情况进行证明为等腰直角三角形，可得，再证明，，可得，，设出的长度，将，用其表示，再利用勾股定理求出的值，进行判断是否满足题中条件，进一步利用勾股定理求，，，即可求得的长． 【小问1详解】 解：∵，四边形为正方形， ∴， 又∵第二、四象限的角平分线交射线于点； ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为． 【小问2详解】 当点在线段上时，即时， 可知，， ∴， 当点在线段的延长线上时，即时， 可知，， ∴， 综上，． 【小问3详解】 当点在线段上时，过点作轴于，连接， 由题意可知，，为等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，即：， 由（1）可知，，为公共边， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作交轴于， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，即：， ∴， ∴ 由题意可知：，即： ∴ ∴， 设，则：， ∴， 由勾股定理可得：，即：， 解得：，（舍去）， 由图可知，当时，点在第四象限，故此时不存满足题意情况； 当点在线段的延长上时，过点作轴于，连接，过点作交轴于， 同理可得：为等腰直角三角形，， 此时设，则：， ∴， 由勾股定理可得：，即：， 解得：（舍去），， ∴，， 由勾股定理可得：，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质及判定，勾股定理，列函数关系式，熟练的借助辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $