精品解析：河南省洛阳市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

洛阳市2023——2024学年第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．考试结束，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算求解即可. 【详解】由题，. 故选：B. 2. 若直线在平面外，则（ ） A. B. 与至多有一个公共点 C. 与没有公共点 D. 与至少有一个公共点 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系即可判断. 【详解】直线在平面外，包含两种情况：一是；二是与相交，此时与有一个公共点. 综上，与至多有一个公共点. 故选：B 3. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可. 【详解】因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 4. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角余弦公式求解，再利用余弦定理转化求解即可. 【详解】因为，所以， 又，， 所以， 所以. 故选：D 5. 如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. B. C. 1：3 D. 1：4 【答案】C 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，则由题意可知正四面体的体积等长正方体的体积减去4个三棱锥的体积，从而可求出正四面体的体积与正方体的体积之比. 【详解】设正方体的棱长为1， 则由题意可得正四面体的体积为 ， 所以此正四面体的体积与正方体的体积之比为1：3. 故选：C 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】只有已知两边及一边的对角时才可能有两解，还需通过正弦定理、三角形的性质判断． 【详解】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 故选：C． 7. 长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案. 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 8. 如图，正方形ABCD的边长为a，顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动.若，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，分别求出点的坐标，再根据题意即可得出不等式，解出即可. 【详解】设，所以点，， 所以 ，即，当且仅当时取等号， 所以a的最大值是2. 故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知z为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合共轭复数的概念及复数的乘法运算，根据模的运算求解判断AB，根据复数模长的性质分析判断CD. 【详解】对于A，，则，， 所以，所以A正确， 对于B，结合A，，，显然，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以D错误. 故选：AC 10. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 C. 若与不共线且与共线，则 D. 若，，且与的夹角为锐角，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据特殊值法判断A，D选项，应用向量的平行求参判断C选项，根据向量的数量积公式判断B选项. 【详解】对于A：，A选项不正确； 对于B：因为，所以， 所以， 所以，即，则共线反向，B选项正确； 对于C：因为不共线，共线，可得， 所以，所以，C选项正确； 对于D：当时，所成角为，不是锐角，D选项错误. 故选：BC. 11. 在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. A，P，M三点共线 D. 平面平面 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，连接，，则，根据线面平行的判定可判断；对于B，由A知M在平面内，Q不在平面内，即可判断；对于C，由A知，A，P，M三点共线；对于D，由线面平行判定定理得平面和平面，由面面平行判定定理即可证明. 【详解】对于A，如图，连接，，则，连接，，设，交于点， 由可得，交于点P，则平面，所以A选项错误； 对于B，由A知M在平面内，Q不在平面内，所以与平面，所以B选项错误； 对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确； 对于D，连接，， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 即平面，又，平面，平面， 故平面，，平面， 故平面平面，所以D选项正确. 故选：CD 12. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，内一点N满足，直线与交于点D，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】在中，由正弦定理可得，即可判断A；再由向量的线性运算可得，即可判断B；将代入和，化简即可判断C、D. 【详解】在中， ， 由正弦定理可得，故A正确； ， 可得，故B正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13 已知向量，，若与互相垂直，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】先求出的坐标，再利用向量垂直的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，，所以， 又与互相垂直，所以，解得. 故答案为：7. 14. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，利用斜二测画法“平行依旧垂改斜，横等纵半”、以及勾股定理计算求解. 【详解】如图，根据斜二测画法，因为，，所以，， 且轴，轴，是的中点，所以， 在直角中，由勾股定理有：，所以， 则的周长. 故答案为：. 15. 已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可，从而将直三棱柱补为长方体，则长方体的体对角线等于三棱柱的外接球的直径，求出半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理得， 即， 所以，所以， 所以将直三棱柱补为如图所示的长方体， 则由题意可知长方体的长，宽，高分别为， 长方体的体对角线等于三棱柱的外接球的直径， 设外接球的半径为，则 ，得， 所以三棱柱的外接球的表面积为. 故答案为： 16. 在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系并标点，利用向量数量积的坐标运算求夹角余弦值. 【详解】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系， 过作轴于M点， 由题意可得，则， 且， 则，，，，， 得，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数，，其中i是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若，求的虚部． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可； （2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为为纯虚数，所以且，综上，． 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以，所以， 所以的虚部为1． 18. 中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理得，，再根据余弦定理结合特殊角的余弦值求解即可； （2）根据向量运算得，再利用向量的数量积运算律及模的运算得，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，，所以，， 由余弦定理得，，又，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 即， 所以，即. 19. 已知在圆锥SO中，底面的直径，的面积为. （1）求圆锥SO的内切球的体积； （2）点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，求它爬行的最短距离. 【答案】（1） （2）蚂蚁爬行的最短距离为 【解析】 【分析】（1）根据圆锥轴截面的性质求得高和母线长，根据三角形相似及内切球的性质求出内切球的半径，代入球的体积公式求解即可； （2）将圆锥沿母线展开，结合圆心角，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 设圆锥SO的母线长为l，底面的半径为r， 因为的面积为，所以，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为D，球的半径为R， 则于E，， 则，可得， 即，解得，所以球的体积； 小问2详解】 如图，圆锥的侧面展开图为扇形SAN， 扇形SAN的弧长为，扇形SAN的圆心角，所以， 在中，由余弦定理，， 所以，因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为AM的长度， 即蚂蚁爬行最短距离为. 20. 在中，，为所在平面内的两点，，，，，， （1）以和作为一组基底表示，并求； （2）为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算求得的表示，从而利用转化法即可求得； （2）先由题意得到，再利用平面向量的线性运算求得的另一种表示，结合三角形垂心的性质得到，从而求得，由此得解. 【小问1详解】 因为，所以为线段上靠近的三等分点， 因为，所以为线段的中点， 所以， 因为，，， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为为直线上一点，设， 则 ， 所以 ， 因为直线经过的垂心，所以，即， 所以，解得， 所以， 因为，所以. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是结合图形，利用平面向量的基底法与转化法分别求得与，从而得解. 21. 如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点. （1）求证：平面平面； （2）若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）连接BH，根据中位线性质及线面平行的判定定理得和平行于面，再根据面面平行的判定定理证明即可. （2）根据平面性质作出截面四边形，结合正方体性质，根据菱形面积公式求解即可. 【小问1详解】 连接BH，且FG为的中位线，∴， ∵面，面，∴面， ∵，面，面，∴面， ∵，EF，FG都在平面EFG内，∴平面平面. 【小问2详解】 如图，四边形为所求截面. 取的中点N，连接，NE， ∴，， 取的中点M，连接AM，， ∴，， ∴，， ∴平行四边形为过A，E，三点的截面， 又，则四边形为菱形， ∴ 22. 已知平面四边形中，对角线为的平分线，与相交于点，，，． （1）求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理得出边长再结合面积公式得出边长即可； （2）先应用正弦定理得出角的正弦，再结合同角三角函数关系得出余弦值，最后应用两角和差公式求出正弦及面积公式计算. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 解得或（舍去）．∵，∴． 又，解得（负值舍去）， ∴．∵， ∴ 即．∴． 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 即，则， 由于为锐角，∴．∵，∴， 即，∴， 由余弦定理可得，解得． ∵，∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洛阳市2023——2024学年第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．考试结束，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 2. 若直线在平面外，则（ ） A. B. 与至多有一个公共点 C. 与没有公共点 D. 与至少有一个公共点 3. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. B. C. 1：3 D. 1：4 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，正方形ABCD的边长为a，顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动.若，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知z为复数，下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 10. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 C. 若与不共线且与共线，则 D. 若，，且与的夹角为锐角，则 11. 在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC中点，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. A，P，M三点共线 D. 平面平面 12. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，内一点N满足，直线与交于点D，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13 已知向量，，若与互相垂直，则______. 14. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长___________. 15. 已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为______． 16. 在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数，，其中i是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若，求的虚部． 18. 中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的值. 19. 已知在圆锥SO中，底面直径，的面积为. （1）求圆锥SO的内切球的体积； （2）点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，求它爬行的最短距离. 20. 在中，，为所在平面内的两点，，，，，， （1）以和作为一组基底表示，并求； （2）为直线上一点，设，若直线经过垂心，求，. 21. 如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点. （1）求证：平面平面； （2）若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积. 22. 已知平面四边形中，对角线为的平分线，与相交于点，，，． （1）求的长； （2）若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$